Control H∞

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H at infinity or es un método de teoría de control para la síntesis de controladores óptimos . El método es de optimización y trata de una descripción matemática rigurosa del comportamiento esperado de un sistema cerrado y su estabilidad . El método se destaca por su rigurosa base matemática, naturaleza de optimización y aplicabilidad tanto al control clásico como al robusto . ${\mathcal {H}}_{\infty}$

${\ matemáticas {H}}$ es la norma en el espacio de Hardy . "Infinito" se refiere al cumplimiento de las condiciones minimax en el dominio de la frecuencia . es la norma de un sistema dinámico, que tiene el significado de la ganancia máxima del sistema en términos de energía. En el caso de los sistemas MIMO , es igual al valor máximo singular de la función de transferencia del sistema, en el caso de los sistemas SISO , es igual al valor máximo de la amplitud de su respuesta en frecuencia . ${\mathcal {H}}_{\infty}$

Planteamiento del problema

Primero, el sistema debe llevarse a la forma estándar:

El objeto de control tiene dos entradas, dos influencias externas , que incluyen la señal de referencia y las perturbaciones. La variable controlada está etiquetada . Este es el vector de señal de salida del sistema, que consta de la señal de error , que se debe minimizar, y la variable medida , que se utiliza en el lazo de control. utilizado en K para contar la variable . ${\ estilo de visualización \ P}$ $\w$ $\u$ $\z$ $\v$ $\v$ $\u$

Ecuación del sistema:

{\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=P(s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_ {11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{ bmatriz}}

u=K(s)\,v

Así, es posible expresar la dependencia de : $\z$ $\w$

z=F_{l}(P,K)\,w

Y además:

F_{l}(P,K)=P_{11}+P_{12}\,K\,(I-P_{22}\,K)^{-1}\,P_{21}

Por lo tanto, el objetivo del control óptimo es sintetizar un controlador de este tipo , que minimice la norma del sistema. Lo mismo se aplica a la gestión. La norma en el infinito de una matriz se define como: ${\mathcal {H}}_{\infty}$ $\K$ ${\ estilo de visualización \ F_ {l} (P, K)}$ ${\mathcal {H}}_{\infty}$ ${\mathcal {H}}_{2}$ ${\ estilo de visualización \ F_ {l} (P, K)}$

||F_{l}(P,K)||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{l}(P,K)(j\ omega))

donde es el máximo valor singular de la matriz . ${\ estilo de visualización {\ bar {\ sigma}}}$ ${\ estilo de visualización \ F_ {l} (P, K) (j \ omega)}$

El controlador encontrado de esta manera es óptimo en el sentido. También hay una serie de aplicaciones en las que se resuelve el llamado " problema de pequeña ganancia " . Como parte de esta tarea, es necesario encontrar un controlador que asegure el cumplimiento de la condición. ${\mathcal {H}}_{\infty}$

min(||F_{l}(P,K)||_{\infty})\leq 1

Esta tarea a veces también se denomina " tarea de control estándar". ${\mathcal {H}}_{\infty}$

Ventajas y desventajas

El control H∞ tiene varias características en comparación con otros métodos de síntesis de controladores robustos. Los beneficios incluyen:

El método trabaja con la estabilidad y sensibilidad del sistema.
Un algoritmo simple de un paso.
Conformación precisa de la respuesta de frecuencia de salida.

Las desventajas incluyen el hecho de que el método requiere prestar especial atención a la robustez paramétrica del objeto de control.

Propiedades del controlador ${\mathcal {H}}_{\infty}$

1. La función de peso del controlador -óptimo es un filtro de fase , es decir, para el valor singular más pequeño del sistema , se cumple la relación: ${\mathcal {H}}_{\infty}$ ${\bar {\sigma\}}$

{\bar {\sigma\}}(F_{l}(P,K))=1

para cualquiera

{\ estilo de visualización \ omega \ \ en R}

2. -El controlador óptimo tiene el orden máximo , donde es el orden del objeto de control . ${\mathcal {H}}_{\infty}$ ${\ estilo de visualización \ n-1}$ ${\ estilo de visualización \ n}$

Condiciones para la existencia de controladores ${\mathcal {H}}_{\infty}$

Para que exista un controlador en una tarea estándar: ${\mathcal {H}}_{\infty}$

min(||F_{l}(P,K)||_{\infty})\leq 1

es necesario y suficiente que se cumplan las siguientes condiciones:

1. Representamos un sistema cerrado en forma de ecuaciones en el espacio de estados :

\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)

\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)

Debe existir una ley de control proporcional tal que el mayor valor singular de la matriz del sistema cerrado satisfaga la desigualdad ${\ estilo de visualización \ F (s) = K}$ ${\ estilo de visualización \ D}$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {n} \ (D) <1}$

2. Ecuación de Riccati para el control

La ecuación de Riccati para el control estatal debe tener una solución definida positiva real . ${\ estilo de visualización P \ geq 0}$

3. Ecuación de Riccati para un observador

La ecuación de Riccati para un observador que trabaja en tándem con un controlador debe tener una solución definida positiva real . ${\ estilo de visualización S \ geq 0}$

4. Restricción de números propios:

El mayor valor propio del producto de dos soluciones (para el controlador y el observador) de las ecuaciones de Riccati debe ser menor que uno: ${\ estilo de visualización \ lambda _ {max} (PD) <1}$

Véase también

control robusto

Bibliografía

Egupov N. D., Pupkov K. A. Métodos de la teoría clásica y moderna del control automático. Síntesis de reguladores de sistemas de control automático. En 5 vols. Vol. 3, Ed.2. 2004.616 pág.
RY Chiang, Teoría moderna de control robusto. doctorado D. Disertación: USC, 1988.