Espacio K(G,n)

$K(G,n)$ Los espacios (o espacios de Eilenberg-MacLane) son espacios topológicos con un único grupo de homotopía no trivial en dimensión . $GRAMO$ $norte$

El nombre de Samuel Eilenberg y Saunders McLane , quienes consideraron estos espacios a fines de la década de 1940.

Definición

Sea un grupo y sea un entero positivo. Un espacio topológico conectado por caminos se llama espacio si tiene un -ésimo grupo de homotopía isomorfo a , y todos los demás grupos de homotopía son triviales. $GRAMO$ $norte$ $X$ $K(G,n)$ $norte$ $\pi_{n}(X)$ $GRAMO$ $X$

Si , entonces debemos suponer que es conmutativo. $n>1$ $GRAMO$

Existencia y singularidad

Dado y , se puede construir un espacio de ejemplo en etapas, como un complejo CW , comenzando con un montón de esferas bidimensionales , una para cada generador del grupo , y luego agregando celdas (posiblemente un número infinito) de dimensiones más altas para matar todos los grupos de homotopía innecesarios, comenzando con dimension . $GRAMO$ $norte$ $K(G,n)$ $norte$ $GRAMO$ $n+1$

Ejemplos

El círculo es el espacio. ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle K (\ mathbb {Z}, 1)}$

Un espacio proyectivo real de dimensión infinita es un espacio. ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty))$ ${\ Displaystyle K (\ mathbb {Z} _ {2}, 1)}$

La suma de un ramo de k círculos es para un grupo libre con k generadores. ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{k}\mathbb {S} ^{1))$ ${\ estilo de visualización K (G, 1)}$ $GRAMO$

El complemento de todo nudo en una esfera tridimensional es un espacio; esto se deriva de la asfericidad de los nodos: el teorema de Christos Papakiriakopoulos demostrado por él en 1957. ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización K (G, 1)}$

Cualquier variedad compacta conexa M de curvatura seccional no positiva es , donde es el grupo fundamental de M. ${\ estilo de visualización K (\ gamma, 1)}$ ${\ estilo de visualización \ gamma = \ pi _ {1} (M)}$
- Lo mismo se aplica a los espacios CAT(0) locales .

Un espacio proyectivo complejo de dimensión infinita es un espacio. Su anillo de cohomología es un anillo libre de polinomios con un generador en dimensión 2. Este generador se puede representar en la cohomología de de Rham mediante la forma 2 de Fubini-Study . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty))$ ${\ Displaystyle K (\ mathbb {Z}, 2)}$ $\matemáticas {Z} [x]$ $X$

Propiedades

$K(G,n)$ el espacio es único hasta equivalencia de homotopía débil .

El producto de y espacios es un espacio. $K(G,n)$ ${\ Displaystyle K (H, n)}$ $K(G\veces H,n)$

Suponga que es un espacio y es un complejo CW arbitrario. Entonces, para el conjunto de clases de mapeo de homotopía, existe una biyección natural con un grupo de cohomología . Esta afirmación es análoga al lema de Yoneda en la teoría de categorías . $X$ $K(G,n)$ $k$ ${\ estilo de visualización K \ a X}$ $H^{n}(K,G)$

El espacio de los bucles del espacio del espacio es el espacio. $K(G,n)$ ${\ Displaystyle K (G, n-1)}$

Véase también

Un espacio asférico es un espacio K(G,1).
esfera homologa

Literatura

Fuchs D. B., Fomenko A. T., Gutenmakher V. L. Topología de homotopía. - M. : MGU, 1969.

Eilenberg, Samuel & MacLane, Saunders (1945), Relaciones entre grupos de espacios de homología y homotopía , Annals of Mathematics , (Segunda serie) Vol. 46 (3): 480–509 , DOI 10.2307/1969165

Eilenberg, Samuel & MacLane, Saunders (1950), Relaciones entre grupos de espacios de homología y homotopía. II , Annals of Mathematics , (segunda serie) volumen 51 (3): 514–533 , DOI 10.2307/1969365

Morita, Kiiti. Cohomología Čech y dimensión de cobertura para espacios topológicos (inglés) // Fundamenta Mathematicae : revista. - 1975. - vol. 87 . - P. 31-52 . -doi : 10.4064 / fm-87-1-31-52 .

Papakyriakopoulos, CD Sobre el lema de Dehn y la asfericidad de los nudos (inglés) // Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América : revista. - 1957. - vol. 43 , núm. 1 . - pág. 169-172 . -doi : 10.1073/ pnas.43.1.169. —PMID 16589993 .

Papakyriakopoulos, CD Sobre el lema de Dehn y la asfericidad de los nudos (inglés) // Ann. Matemáticas. : diario. - 1957. - vol. 66 , núm. 1 . - P. 1-26 . -doi : 10.2307/ 1970113.