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sgn (signum, del latín signum - signo) es una función constante por partes de un argumento real. designado_ Definido de la siguiente manera: $\operatorname{signo} x$

\operatorname{sgn} x={\begin{casos}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{casos}}

La función no es elemental .

Representación de uso frecuente

\operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|

En este caso , la derivada del módulo en cero, que, estrictamente hablando, no está definida, se define además por la media aritmética de las derivadas correspondientes a la izquierda y a la derecha .

La función tiene aplicaciones en la teoría del procesamiento de señales , estadísticas matemáticas y otras áreas de las matemáticas donde se requiere una notación compacta para indicar el signo de un número.

Historia y designaciones

La función fue introducida por Leopold Kronecker en 1878, al principio la designó de manera diferente: . En 1884, Kronecker necesitaba utilizar en un artículo, junto con , la función " parte entera ", que también se indicaba entre corchetes. Para evitar confusiones, Kronecker introdujo la notación , que (menos el punto delante del argumento) se fijó en la ciencia. A veces se hace referencia a una función como . $\operatorname{signo} x$ $[X]$ $\operatorname{signo}$ $sgn.x$ $\operatorname {signo} x$

Propiedades de la función

Dominio de definición : . $\matemáticas {R}$
Rango de valores : . ${\ estilo de visualización \ {-1; 0; +1 \}}$
Suave en todos los puntos excepto cero.
La función es impar .
El punto es un punto de discontinuidad de primera especie, ya que los límites a la derecha ya la izquierda del cero son iguales y respectivamente. $x=0$ $+1$ $-una$
$|x|=\nombre del operador{sgn} x\cdot x$ y para _ En otras palabras, $x=\nombre del operador{sgn} x\cdot |x|$ $\forall x\in {\mathbb {R}}$

\operatorname {sgn} x={x \over |x|}={|x|  \sobre x}

en .

x \ ne 0

${\frac {d}{dx}}\nombre del operador{sgn} x=2\cdot \delta (x)$ , donde es la función delta de Dirac . $\delta(x)$
$\operatorname{sgn} x\cdot \operatorname{sgn} y=\operatorname{sgn}(x\cdot y)$ .
$\operatorname{sgn} x={\frac {2}{\pi }}\int _{{0}}^({\infty}}{\frac {\sin tx}{t}}dt$ .

Generalizaciones de funciones para un argumento complejo

Actuación

\operatorname {sgn} z={\begin{casos}{\frac {z}{|z|}},&z\neq 0\\0,&z=0\end{casos}}

da una de las posibles generalizaciones de la función signum al conjunto de números complejos . En este caso , donde es el argumento del número complejo . Cuando el resultado de la función es el punto del círculo unitario más cercano al número . El significado de esta generalización es usar el radio vector de unidad de longitud para mostrar la dirección en el plano complejo correspondiente al número . La misma dirección en coordenadas polares define el ángulo . La dirección indefinida correspondiente al número se expresa por el valor cero de la función. Por ejemplo, así se define la función signum en la biblioteca estándar de números complejos en el lenguaje Haskell [1] . ${\frac {z}{|z|}}=\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }$ ${\ estilo de visualización \ varphi = \ nombre del operador {Arg} z}$ $z$ $z\neq 0$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sgn} z}$ $z$ $z$ $\varphi$ $z=0$

Otra versión de la generalización de funciones, denotada como , se define de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {csgn}}$

\operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\operatorname {Re} z>0\\-1,&\operatorname {Re} z<0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Im} z&\operatorname {Re} z=0\end{casos}}

Esta generalización se utiliza, por ejemplo, en las aplicaciones Mathcad y Maple [2] .

Véase también

Función Heaviside

Notas

↑ Simon Peyton Jones (editor) et al. 13. Números complejos // Lenguaje y bibliotecas Haskell 98: el informe revisado. — 2002.
↑ Documentación de Maple V. 21 de mayo de 1998

Literatura

Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Manual de matemáticas. — M .: Nauka, 1964. — 608 p.
Vodnev V. T., Naumovich A. F., Naumovich N. F. Fórmulas matemáticas básicas. Directorio. - Minsk: Escuela Superior, 1988. - 269 p.