Filtro adaptativo

Un filtro adaptativo es un sistema con un filtro lineal que tiene una función de transferencia controlada por parámetros variables y medios para configurar estos parámetros de acuerdo con un algoritmo de optimización . Debido a la complejidad de los algoritmos de optimización, casi todos los filtros adaptativos son filtros digitales . Se requieren filtros adaptables para algunas aplicaciones porque algunos parámetros de la operación de procesamiento deseada (por ejemplo, la ubicación de las superficies reflectantes en el espacio reverberante ) no se conocen de antemano o cambian. El filtro de bucle cerrado adaptativo utiliza retroalimentación de error para optimizar la función de transferencia.

En términos generales, el proceso adaptativo de circuito cerrado implica aplicar la función de costo , que es un criterio para el rendimiento óptimo del filtro, para ser utilizado en un algoritmo que determina cómo modificar la función de transferencia del filtro para minimizar el costo en la próxima iteración. La función de precio más utilizada es el valor RMS de la señal de error.

A medida que ha aumentado la potencia de los procesadores de señales digitales , los filtros adaptables se han vuelto más comunes y ahora se usan comúnmente en dispositivos como teléfonos móviles y otros dispositivos de comunicación, videocámaras y cámaras digitales, y equipos de monitoreo médico.

Ejemplo de aplicación

El registro de los latidos del corazón ( ECG ) puede contener ruido de CA. La frecuencia exacta de la tensión de red y sus armónicos pueden cambiar de vez en cuando.

Una forma de eliminar el ruido es filtrar la señal utilizando un filtro de parada de banda para la frecuencia de la red y sus alrededores, lo que puede estropear mucho la calidad del ECG, ya que el latido del corazón puede tener componentes de frecuencia cercanos a la región de corte. .

Para eludir estas posibles pérdidas de información, se puede utilizar un filtro adaptativo. Un filtro adaptativo podría recibir tanto las señales del paciente como las de la red y podría rastrear la frecuencia real del ruido, así como sus fluctuaciones, y sustraer el ruido de la grabación. Esta técnica adaptativa generalmente permite el uso de filtros con una banda de corte más estrecha, lo que en este caso significa una señal de salida más precisa para fines médicos [1] [2] .

Diagrama de caja

La idea de un filtro adaptativo de lazo cerrado es que el filtro variable se ajuste hasta que el error (la diferencia entre la salida del filtro y la señal deseada) sea mínimo. El filtro de error cuadrático medio mínimo (MSK filter, ing. Least Mean Squares , LMS) y el filtro de error cuadrático medio recursivo (RSK filter, ing. Recursive Least Square , RLS) son filtros adaptativos.

Hay dos entradas de filtro adaptativo: d k y x k , que a veces se denominan entrada principal y entrada de referencia, respectivamente [3] .

d_{k}

que incluye la señal deseada más la interferencia no deseada y

x_{k}

que incluye señales que se correlacionan con alguna interferencia no deseada en .

d_{k}

k representa un número de instancia discreta.

El filtro está controlado por un conjunto de coeficientes o pesos L+1.

{\displaystyle \mathbf {W} _{k}=\left[w_{0k},\,w_{1k},\,...,\,w_{Lk}\right]^{T))

representan un conjunto de vectores o pesos que controlan el filtro en el tiempo k. donde se refiere al -ésimo peso en el tiempo k.

{\ Displaystyle w_ {lk}}

yo

{\ estilo de visualización \ mathbf {\ Delta W} _ {k}}

representan los cambios en los pesos que ocurren como resultado del ajuste en el tiempo k. Estos cambios se aplicarán después del tiempo k y antes de que se utilicen en el tiempo k+1.

La salida suele ser , pero puede ser o incluso filtrar coeficientes [4] . ${\ estilo de visualización \ epsilon _ {k}}$ ${\ Displaystyle y_ {k}}$

Las señales de entrada se definen de la siguiente manera:

{\displaystyle d_{k}=g_{k}+u_{k}+v_{k))

{\displaystyle x_{k}=g_{k}^{'}+u_{k}^{'}+v_{k}^{'))

dónde: g = señal deseada, g' = señal correlacionada con la señal deseada g , u = señal no deseada añadida a g pero no correlacionada con g o g' u' = señal correlacionada con la señal no deseada u pero no correlacionada con g o g' , v = señal no deseada (generalmente ruido aleatorio) no correlacionada con g , g' , u , u' o v' , v' = señal no deseada (generalmente ruido aleatorio) no correlacionada con g , g' , u , u' o v .

Las señales de salida se definen de la siguiente manera:

y_{k}={\sombrero {g}}_{k}+{\sombrero {u}}_{k}+{\sombrero {v}}_{k}

{\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k))

. dónde

{\ estilo de visualización {\ sombrero {g))}

= filtrar la salida si solo se ingresa g' ,

{\ estilo de visualización {\ sombrero {u}}}

= filtrar la salida si solo se ingresa u' ,

{\ estilo de visualización {\ sombrero {v}}}

= filtrar la salida si solo v' es la entrada .

Filtro FIR con línea de retardo seccional

Si el filtro variable tiene una línea de retardo seccional con una estructura que tiene una respuesta de impulso finita (FIR, ing. Finite Impulse Response , FIR), entonces la respuesta de impulso es igual a los coeficientes del filtro. La salida del filtro viene dada por la expresión

y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{(kl)}={\sombrero {g}}_{k}+{\sombrero {u} }_{k}+{\sombrero {v}}_{k}

donde se refiere al -ésimo peso en el tiempo k.

{\ Displaystyle w_ {lk}}

yo

Caso ideal

Idealmente _ Todas las señales no deseadas en están representadas por valores . El valor consiste completamente en la señal correlacionada con la señal no deseada en . $v\equiv 0,v'\equiv 0,g'\equiv 0$ $d_{k}$ ${\ Displaystyle u_ {k}}$ ${\ estilo de visualización \ x_ {k}}$ ${\ Displaystyle u_ {k}}$

La salida del filtro variable es idealmente igual a

y_{k}={\sombrero {u}}_{k}

La señal de error o función de precio es la diferencia entre y $d_{k}$ ${\ Displaystyle y_ {k}}$

\epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}+u_{k}-{\sombrero {u}}_{k}

. La señal deseada g k pasa sin cambios.

La señal de error se minimiza en el sentido rms cuando se minimiza. En otras palabras, es la mejor estimación rms de . Idealmente, y todo lo que queda después de la resta es , que es la señal deseada sin cambios con todas las señales no deseadas eliminadas. ${\ estilo de visualización \ epsilon _ {k}}$ $[u_{k}-{\sombrero {u}}_{k}]$ ${\sombrero {u}}_{k}$ ${\ Displaystyle u_ {k}}$ $u_{k}={\sombrero {u}}_{k}$ ${\ estilo de visualización \ epsilon _ {k} = g_ {k}}$ $gramo$

Componentes de la señal en la entrada de referencia

En algunos casos, la entrada de control incluye los componentes de la señal deseada. Esto significa g' ≠ 0. $x_k$

La eliminación completa de la interferencia no deseada es imposible en este caso, pero es posible mejorar la señal en términos de nivel de interferencia. La salida será

\epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}-{\sombrero {g}}_{k}+u_{k}-{\sombrero {u}}_ {k}

. La señal deseada será modificada (generalmente reducida).

La relación de salida a interferencia tiene una fórmula simple llamada inversión de potencia .

\rho_{\mathsf {out}}(z)={\frac {1}{\rho_{\mathsf {ref}}(z)))

. dónde

{\ estilo de visualización \ rho _ {\ mathsf {fuera}} (z) \ }

= relación de la señal de salida y la interferencia de interferencia.

\rho_{\mathsf {ref}}(z)\

= la relación de la señal piloto y la interferencia de interferencia.

{\ estilo de visualización z \}

= frecuencia en el dominio z.

Esta fórmula significa que la relación de la señal de salida y la interferencia de interferencia en una frecuencia particular es opuesta a la relación de la señal piloto y la interferencia de interferencia [5] .

Ejemplo: un restaurante de comida rápida tiene un camino de entrada para atender a los automovilistas. Antes de llegar a la ventana, los usuarios hacen su pedido hablando por un micrófono. El micrófono también capta el motor y el ruido ambiental. Este micrófono capta la señal principal. La intensidad de la señal de la voz del usuario y del motor es la misma. Dificultad para que el personal del restaurante entienda al usuario. Para reducir la cantidad de ruido de interferencia en el micrófono principal, el segundo micrófono se coloca donde capta el sonido del motor. También recoge la voz del usuario. Este micrófono es la fuente de la señal de control. En este caso, el ruido del motor es 50 veces mayor que la voz del cliente. Después de eliminar el ruido, la relación señal principal/interferencia mejorará de 1:1 a 50:1.

Dispositivo de fusión lineal adaptable

Un combinador lineal adaptativo (ALC) es similar a un filtro FIR adaptativo con una línea de retardo seccional, excepto que no hay suposiciones sobre la relación entre los valores X. Si los valores X se obtienen como salida de la línea de retardo seccional , entonces la combinación de la línea de retardo seccional y el ALC podría constituir un filtro adaptativo. Sin embargo, los valores X pueden ser una matriz de píxeles o pueden ser las salidas de varias líneas de retardo seccionales. ALC encuentra aplicación como formador de haz adaptativo para conjuntos de hidrófonos o antenas.

{\displaystyle y_{k}=\sum_{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{lk}=\mathbf {W}_{k}^{T}\mathbf {x}_{ k))

donde significa el -ésimo peso en el tiempo k.

{\ Displaystyle w_ {lk}}

yo

Algoritmo MSC

Si el filtro variable tiene una estructura FIR con una línea de retardo seccional, entonces el algoritmo de actualización de MSC es especialmente simple. Normalmente, después de la llegada de cada elemento, los coeficientes del filtro FIR se vuelven a calcular de la siguiente manera [6] :

por

{\ estilo de visualización l = 0 \ puntos L}

{\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{kl))

µ se llama factor de convergencia .

El algoritmo MSC no requiere que los valores de X tengan ninguna relación. Por lo tanto, se puede utilizar para un dispositivo de fusión lineal, así como para un filtro FIR. En este caso, la fórmula de actualización se escribe de la siguiente manera:

{\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{lk))

El efecto del algoritmo MSC es que en cada tiempo k se realiza un pequeño cambio en los pesos. La dirección del cambio se elige para reducir el error si el algoritmo se hubiera aplicado en el tiempo k. La cantidad de cambio para cada peso depende de μ, el valor asociado de X y el error en el tiempo k. Los pesos que contribuyen más a la salida cambian más. Si el error es cero, no se modifican los pesos. Si el valor asociado de X es cero, cambiar los pesos no tiene efecto, por lo que no cambian. ${\ Displaystyle y_ {k}}$

Convergencia

El valor de μ controla qué tan rápido y qué tan bien converge el algoritmo a los coeficientes de filtro óptimos. Si μ es demasiado grande, el algoritmo no convergerá. Si μ es demasiado pequeño, el algoritmo converge lentamente y es posible que no pueda realizar un seguimiento de los cambios. Si μ es grande pero no demasiado grande para divergir, el algoritmo alcanza un estado estable rápidamente pero constantemente realiza cambios excesivos en el vector de peso. A veces, μ primero se hace grande para una convergencia rápida y luego se reduce gradualmente para minimizar el "sobreimpulso".

Widrow y Cearns afirmaron en 1985 que no conocían una prueba de que el algoritmo MSC converge en todos los casos [7] .

Sin embargo, bajo algunos supuestos de estacionariedad e independencia, se puede demostrar que el algoritmo converge si

{\displaystyle 0<\mu <{\frac {1}{\sigma ^{2))))

dónde

{\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{l=0}^{L}\sigma _{l}^{2))

= suma de todos los valores de entrada

{\ estilo de visualización \ sigma _ {l}}

es el valor de la raíz cuadrada media ( RMS) de la -ésima entrada

{\ estilo de visualización l}

En el caso de un filtro de línea de retardo seccional, cada entrada tiene el mismo valor de CK porque son el mismo valor resultante del retardo. En este caso, el valor total de la señal es

{\ estilo de visualización \ sigma ^ {2} = (L + 1) \ sigma _ {0} ^ {2}}

dónde

\sigma _{0}

es el valor CK del flujo de entrada [7] .

x_k

Esto conduce al algoritmo MSC normalizado:

w_{l,k+1}=w_{lk}+\left({\frac {2\mu_{\sigma}}{\sigma ^{2}}}\right)\epsilon_{k }\x_{kl}

y en este caso el criterio de convergencia se convierte en . ${\ estilo de visualización 0<\ mu _ {\ sigma} <1}$

Aplicaciones de filtros adaptativos

Cancelación de ruido activa
Predicción de señal
Cancelación de retroalimentación acústica adaptativa
cancelación del eco

Implementaciones de filtros

Filtro de error cuadrático medio mínimo
Filtro de error cuadrático medio mínimo recursivo
Filtro de bloques con adaptación al dominio de la frecuencia con retardos

Véase también

Filtros adaptativos 2D
Filtro (procesamiento de señales)
filtro Kalman
Filtro adaptativo nuclear
Predicción lineal
Estimación de Viena
Ecuación de Wiener-Hopf

Notas

↑ Thakor, Zhu, 1991 , pág. 785–794.
↑ Widrow y Stearns 1985 , p. 329.
↑ Widrow y Stearns 1985 , p. 304.
↑ Widrow y Stearns 1985 , p. 212.
↑ Widrow y Stearns 1985 , p. 313.
↑ Thakor, Zhu, 1991 , pág. 786.
↑ 1 2 Widrow, Stearns, 1985 , p. 103.

Literatura

Thakor NV, Yi-Sheng Zhu. Aplicaciones del filtrado adaptativo al análisis de ECG: cancelación de ruido y detección de arritmias // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 1991. - Agosto ( vol. 38 , número 8 ). — ISSN 0018-9294 . -doi : 10.1109/ 10.83591 .
Bernard Widrow, Samuel D. Stearns. Procesamiento adaptativo de señales. — 1er. - Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .
Monson H. Hayes. Procesado y Modelado Estadístico de Señales Digitales. - Wiley, 1996. - ISBN 0-471-59431-8 .
Simón Haykin. Teoría del filtro adaptativo. - Prentice Hall, 2002. - ISBN 0-13-048434-2 .

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