Energía aditiva

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La energía aditiva es una característica numérica de un subconjunto del grupo que ilustra la estructuración del conjunto con respecto a la operación del grupo. El término fue acuñado por Terence Tao y Wang Wu [1] .

Definición

Que sea un grupo. ${\ estilo de visualización (G, +)}$

La energía aditiva de los conjuntos y se denota como y es igual a [2] el número de soluciones de la siguiente ecuación: ${\ estilo de visualización A \ subconjunto G}$ ${\ estilo de visualización B \ subconjunto G}$ ${\ estilo de visualización E_ {+} (A, B)}$

a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}(a_{1},a_{2}\en A,b_{1},b_{2}\en B)

De manera similar, se puede definir la energía multiplicativa (por ejemplo, en un anillo ) como el número de soluciones de la ecuación: $E_{\times}(A,B)$

a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}(a_{1},a_{2}\en A,b_{1},b_{2}\en B)

Valores extremos

Alcanza su valor más pequeño cuando todas las sumas son diferentes (porque entonces la ecuación es válida solo para ) - por ejemplo, cuando y es un conjunto de diferentes generadores de un grupo de algún conjunto generador mínimo . Después ${\ estilo de visualización E_ {+} (A, B)}$ $a+b\ (a\en A,b\en B)$ $\{a_{1},b_{1}\}=\{a_{2},b_{2}\}$ $A=B$ $A$ $GRAMO$ $E(A,A)={\frac {|A|^{2}+|A|}{2))$

El mayor valor se alcanza cuando y es un subgrupo de . En este caso, para cualquier número de soluciones de la ecuación es , entonces ${\ estilo de visualización E_ {+} (A, B)}$ $A=B$ $A$ $GRAMO$ $x \ en A$ ${\ estilo de visualización a + b = x \ (a, b \ en A)}$ $|A|$ ${\displaystyle E_{+}(A,A)=|A|^{3))$

En consecuencia, valores intermedios de orden de crecimiento entre y pueden ser considerados como un indicador mayor o menor de la proximidad de la estructura a la estructura del subgrupo. Para algunos grupos , ciertas restricciones sobre la energía aditiva permiten probar teoremas estructurales sobre la existencia de subgrupos suficientemente grandes en su interior (o algún conjunto derivado de él) y sobre la incrustabilidad (o algún conjunto derivado de él) en subgrupos suficientemente pequeños . [3] Las restricciones de estos teoremas están relacionadas con el exponente de torsión del grupo y sus generadores individuales. Sin embargo, para grupos cíclicos y libres de torsión, existen teoremas similares que consideran progresiones aritméticas generalizadas en lugar de subgrupos . $E_{+}(A,A)$ $|A|^{2}$ ${\ estilo de visualización | A | ^ {3}}$ $A$ $GRAMO$ $GRAMO$ $A$ $A$ $GRAMO$ $GRAMO$ $GRAMO$

Propiedades básicas

E_{+}(A,B)=E_{+}(A,-B)=E_{-}(A,B)

{\displaystyle E_{+}(A,B)|A+B|\geq |A|^{2}|B|^{2))

, donde [2]

A+B=\left\lbrace {a+b:a\in A,b\in B}\right\rbrace

Prueba

Denotemos . $\lambda (x)=\#\left\lbrace {(a,b)\in A\times B:a+b=x}\right\rbrace$

Entonces y, según la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky , $E_{+}(A,B)=\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)^{2))$

$E_{+}(A,B)\geq {\frac {1}{|A+B|}}\sum \left({\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)}}\right)^{2}={\frac{1}{|A+B|}}(|A||B|)^{2}$

Para un anillo de residuos primos , la energía aditiva se puede expresar en términos de sumas trigonométricas . Denotemos . Después $G={\mathbb {F} }_{p}$ $e_{p}(k)=e^{2\pi {\frac {k}{p}}i}$

E_{+}(A,B)={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits_{b\in B}{ e_{p}(tb)}}{\Bigg\vert}}^{2}}

Prueba

Usaremos la notación de Iverson y la identidad del indicador .

E_{+}(A,B)=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\en A,b_{1},b_{2}\en B}{[a_{1 }+b_{1}=a_{2}+b_{2}]}=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\en A,b_{1},b_{2}\en B }{{\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2} -b_{2))}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{\sum \limits _{a_{1},a_{ 2 }\en A,b_{1},b_{2}\en B}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2})))}}

={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p} (ta)))\right){\overline {\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right)}}\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\right){\overline {\left({\sum \limits_{b\in B}{e_{p}(tb)}}\ derecha)))={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A {e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)} }{\Bigg\vert}}^{2}}

Tenga en cuenta que la expresión en términos de sumas trigonométricas es válida solo para la energía aditiva, pero no para la energía multiplicativa, ya que utiliza explícitamente las propiedades de la suma en . ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

Aplicaciones

Las energías aditiva y multiplicativa se utilizan en combinatoria aritmética y aditiva para analizar sumas combinatorias y productos de conjuntos , en particular para demostrar el teorema de suma-producto . $A+B=\left\lbrace {a+b:A+B}\right\rbrace$

Energías mayores

Hay dos generalizaciones principales de la ecuación que define la energía aditiva: por el número de términos y por el número de igualdades:

E_{k}(A)=\#\left\lbrace {a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=\dots =a_{k}-b_{k} \ :\ a_{i},b_{i}\in A}\right\rbrace =\sum \limits _{s}{|A\cap (A+s)|^{k}}

T_{k}(A)=\#\left\lbrace {\sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}=\sum \limits _{i=1}^ {k}{y_{i}}\ :\ x_{i},y_{i}\in A}\right\rbrace

Se denominan energías superiores [4] y, en ocasiones, es posible obtener estimaciones para ellas sin obtener estimaciones para la energía aditiva habitual. [5] [6] Al mismo tiempo , la desigualdad de Hölder permite (con un deterioro significativo) estimar la energía ordinaria en términos de las superiores.

Para el parámetro en , a veces se consideran números reales, y no solo números enteros (simplemente mediante sustitución en la última expresión). [7] $k$ $E_k$

Véase también

teorema de la suma del producto
Teorema estructural de Chang

Literatura

Yu. N. Shteinikov. Estimaciones de sumas trigonométricas sobre subgrupos y algunas de sus aplicaciones // Apuntes matemáticos. - 2015. - T. 98 , núm. 4 . - S. 606-625 . (Ruso)

I. D. Shkredov. Varios resultados nuevos sobre energías superiores (inglés) // Actas de la Sociedad Matemática de Moscú. - 2013. - Vol. 74 , edición. 1 . - Pág. 35-73 .

Notas

↑ co.combinatorics - ¿Dónde se originó el término "energía aditiva"? - Desbordamiento matemático . Consultado el 23 de agosto de 2019. Archivado desde el original el 23 de agosto de 2019. (indefinido)
↑ 1 2 M. Z. Garaev, Sumas y productos de conjuntos y estimaciones de sumas trigonométricas racionales en campos de primer orden, Uspekhi Mat. Nauk, 2010, volumen 65, número 4 (394) , página 25 (según la paginación)
↑ Conferencias del laboratorio de Chebyshev, curso "Combinatoria aditiva" (Fyodor Petrov), conferencia 6 , desde el momento 1:11:30
↑ Shkrédov, 2013 .
↑ Shteinikov, 2015 , pág. 607, teorema 4.
↑ arXiv : 1808.08465v4 Misha Rudnev, George Shakan, Ilya Shkredov, "Desigualdades de suma-producto más fuertes para conjuntos pequeños", p. 5, corolario 7
↑ Shkrédov, 2013 , pág. 59, Teorema 6.3.