Geometría birracional

La geometría birracional  es una rama de la geometría algebraica cuya tarea principal es la clasificación de variedades algebraicas hasta la equivalencia birracional [1] . Esto se reduce a estudiar aplicaciones que están dadas por funciones racionales , no por polinomios. El mapeo puede no estar definido en algunos puntos que son polos de una función racional.

Mapeos birracionales

Un mapeo racional de una ( irreducible ) variedad X a otra variedad Y (escrito como una flecha punteada X ⇢ Y ) se define como un morfismo de un subconjunto abierto no vacío U de la variedad X a Y. Según la definición de la topología de Zariski , utilizada en geometría algebraica, un subconjunto U abierto no vacío es siempre el complemento de un subconjunto X de menor dimensión. Concretamente, un mapeo racional se puede escribir en coordenadas usando funciones racionales.

Una aplicación biracional de X a Y  es una aplicación racional f : X ⇢ Y tal que existe una aplicación racional Y ⇢ X inversa a f . Un mapa biracional genera un isomorfismo de un subconjunto X abierto no vacío en un subconjunto Y abierto no vacío . En este caso, se dice que X e Y son biracionalmente equivalentes . En términos algebraicos, dos variedades sobre un campo k son biracionalmente equivalentes si y solo si sus campos de función son ​​isomorfos como extensiones del campo k .

Un caso especial es un morfismo biracional f : X → Y , lo que significa un morfismo que es biracional. Entonces f está definida en todo X , pero su inversa puede no estar definida en todo Y . Esto suele suceder cuando un morfismo biracional reduce algunas subvariedades de X en puntos en Y.

Se dice que una variedad X es racional si es racionalmente equivalente a un espacio afín (o, equivalentemente, un espacio proyectivo ) de la misma dimensión. La racionalidad es una propiedad completamente natural: significa que X sin algún subconjunto de dimensión inferior puede identificarse con un espacio afín sin algún subconjunto de dimensión inferior. Por ejemplo, el círculo definido por la ecuación x 2 + y 2 − 1 = 0 es una curva racional, ya que las fórmulas

definir un mapeo birracional de una línea en un círculo. (Si sustituimos t por números racionales , obtenemos ternas pitagóricas ). El mapa inverso lleva ( x , y ) a (1 − y )/ x .

Más generalmente, una hipersuperficie X cuadrática suave (grado 2) de cualquier dimensión n es racional en vista de la proyección estereográfica (para una variedad cuadrática X sobre un campo k , se debe suponer que tiene un punto racional k Esto se cumple automáticamente si k es algebraicamente cerrado. Para definir una proyección estereográfica, suponga que p es  un punto en X. Entonces, una aplicación biracional de X a un espacio proyectivo P de n líneas a través de p está dada por una aplicación desde un punto q en X a una línea a través de p y q . Esta aplicación es una equivalencia birracional, pero no un isomorfismo múltiple, ya que no está definida para q = p (y la aplicación inversa no está definida para líneas a través de p y situadas en X ).

Modelos mínimos y características de resolución

Cualquier variedad algebraica es biracionalmente equivalente a una variedad proyectiva ( lema de Chow ). Así, para una clasificación biracional, es suficiente trabajar solo con variedades proyectivas, y este es el supuesto más común.

Mucho más profundo, por el teorema de resolución de singularidad de Hironaki  — sobre un campo de característica 0 (como los números complejos) cualquier variedad es biracionalmente equivalente a una variedad proyectiva suave Con esto en mente, es suficiente clasificar las variedades proyectivas suaves hasta la equivalencia birracional.

En la dimensión 1, si dos curvas proyectivas suaves son biracionalmente equivalentes, son isomorfas. Sin embargo, este no es el caso en las dimensiones 2 y superiores debido a la construcción hinchable . Cuando se expande, cualquier variedad proyectiva suave de dimensión 2 o más es biracionalmente equivalente a un número infinito de variedades "más grandes", como aquellas con números de Betti más grandes .

Esto lleva a la idea de modelos mínimos  : ¿existe una sola variedad más simple en cada clase de equivalencia racional? La definición moderna de un modelo mínimo es que una variedad proyectiva X es mínima si el paquete de líneas canónicas K X tiene un grado no negativo en cualquier curva en X . En otras palabras, K X es un nef-bundle . Es fácil comprobar que los colectores hinchados nunca son mínimos.

Esta idea funciona bien para superficies algebraicas (variedades de dimensión 2). En términos modernos, el resultado central de la escuela italiana de geometría algebraica en 1890-1910, parte de la clasificación , fue el hecho de que cualquier superficie X es biracionalmente equivalente al producto P 1  ×  C para alguna curva C o una superficie mínima Y [2] . Estos dos casos son mutuamente excluyentes e Y es único si existe. Si Y existe, se llama modelo de superficie mínima de X.

Invariantes birracionales

En primer lugar, no está muy claro cómo mostrar que existe una superficie algebraica no racional. Para probar esto, necesitamos usar algunos invariantes de variedades algebraicas.

Un conjunto útil de invariantes birracionales es el género plural . El haz canónico una variedad lisa X de dimensión n es el haz lineal n - formas K X = Ω n , que es la enésima potencia exterior del haz canónico la variedad X . Para un entero d , la potencia tensorial d- ésima de K X es nuevamente un paquete lineal. Para d ≥ 0, el espacio vectorial de secciones globales H 0 ( X , K X d ) tiene la notable propiedad de que un mapeo biracional f : X ⇢ Y entre variedades proyectivas suaves genera un isomorfismo H 0 ( X , K X d ) ≅ H 0 ( Y , K Y d ) [3] .

Para d ≥ 0, definimos el dth plurirod P d como la dimensión del espacio vectorial H 0 ( X , K X d ). Entonces los plurigenos son invariantes birracionales de variedades proyectivas suaves. En particular, si algún plurirod P d no es igual a cero para d > 0, entonces X no es una variedad racional.

El invariante birracional fundamental es la dimensión Kodaira , que mide el crecimiento de las pluralidades P d a medida que d tiende a infinito. La dimensión de Kodaira divide todas las variedades de dimensión n en n + 2 tipos con dimensiones de Kodaira −∞, 0, 1, …, n . Este invariante muestra la complejidad de la variedad, mientras que el espacio proyectivo tiene dimensión Kodaira −∞. Las variedades más complejas son aquellas cuya dimensión de Kodaira es la misma que la dimensión del espacio n , y estas variedades se denominan variedades de tipo general .

Más generalmente, cualquier sumando directo natural E (Ω 1 ) de la r -ésima potencia tensorial del haz cotangente Ω 1 con r ≥ 0, el espacio vectorial de secciones globales H 0 ( X , E (Ω 1 )) es un invariante biracional para variedades proyectivas suaves. En particular, los números de Hodge h r ,0 = dim H 0 ( X , Ω r ) son invariantes birracionales de X . (La mayoría de los otros números de Hodge h p, q no son invariantes birracionales, como se muestra en la ampliación ).

El grupo fundamental π 1 ( X ) es un invariante biracional para variedades proyectivas complejas suaves.

El "teorema de factorización débil" probado por Abramovich, Karu, Matsuki y Wlodarczyk [4] establece que cualquier mapeo biracional entre dos variedades proyectivas complejas suaves se puede descomponer en un número finito de explosiones o explosiones de subvariedades suaves. Es importante saber esto, pero sigue siendo una tarea difícil determinar si dos variedades proyectivas uniformes son biracionalmente equivalentes.

Modelos minimalistas en grandes dimensiones

Una variedad proyectiva X se llama minimal si el paquete canónico K X es un paquete nef . Para X de dimensión 2, basta con considerar variedades suaves. En las dimensiones 3 y superiores, se debe permitir que las variedades mínimas tengan algunas singularidades débiles para las cuales K X se comporta bien. Se llaman funciones terminales .

Sin embargo , la validez de la conjetura del modelo mínimo implicaría que cualquier variedad X está cubierta por curvas racionales o es biracionalmente equivalente a una variedad mínima Y. Si existe, Y se llama el modelo mínimo de X.

Los modelos mínimos no son únicos en dimensiones 3 y superiores, pero dos variedades mínimas birracionales están muy cerca. Por ejemplo, son subconjuntos exteriores isomórficos de codimensión 2 y superior, y más precisamente, están conectados por una secuencia de volteretas . Entonces, la conjetura del modelo mínimo proporcionaría información esencial sobre la clasificación birracional de las variedades algebraicas.

Mori demostró la conjetura para la dimensión 3 [5] . Hay mucho progreso en dimensiones superiores, aunque el principal problema sigue abierto. En particular, Birkar, Cassini, Hakon y McKernan [6] probaron que cualquier variedad de tipo general sobre un campo de característica 0 tiene un modelo mínimo.

Colectores no revestidos

Una variedad se llama no lineal si está cubierta por curvas racionales. Una variedad no lineal no tiene un modelo mínimo, pero hay un buen sustituto: Birkar, Cassini, Hakon y McKernan demostraron que cualquier variedad no lineal sobre un campo con característica cero es una fibración birracional de Fano [7] . Esto lleva al problema de la clasificación birracional de las fibraciones de Fano y (como el caso más interesante) las variedades de Fano . Por definición, una variedad proyectiva X es una variedad Fano si la gavilla anticanónica K X * es amplia . Las variedades Fano pueden considerarse como las más cercanas a los espacios proyectivos.

En la dimensión 2, cualquier triple de Fano (conocido como superficie del Pezzo ) sobre un campo algebraicamente cerrado es racional. El principal descubrimiento de la década de 1970 fue que, a partir de la dimensión 3, existen muchas variedades de Fano que no son racionales . En particular, los 3 pliegues cúbicos suaves, según Clemens y Griffiths [8] , no son racionales, y los 3 pliegues suaves de cuarto grado no son racionales, según Iskovskikh y Manin [9] . Aún así, la tarea de determinar exactamente qué variedades de Fano son racionales está lejos de estar resuelta. Por ejemplo, no se sabe si existe una hipersuperficie cúbica lisa no racional en P n +1 con n ≥ 4.

Grupos de automorfismos biracionales

Las variedades algebraicas difieren considerablemente en el número de sus automorfismos birracionales. Cualquier variedad de tipo general es muy rígida en el sentido de que su grupo de automorfismos birracionales es finito. En el otro extremo, el grupo de automorfismos birracionales del espacio proyectivo P n sobre un campo k , conocido como grupo de Cremona Cr n ( k ), es grande (de dimensión infinita) para n ≥ 2. Para n = 2, el El grupo Cremona complejo Cr 2 ( C ) se genera mediante la "transformación cuadrática"

[ x , y , z ] ↦ [1/ x , 1/ y , 1/ z ]

junto con el grupo de automorfismos PGL (3, C ) de P 2 , según Max Noether y Guido Castelnuovo . En contraste, el grupo de Cremona en dimensión n ≥ 3 es muy misterioso; no se conoce ningún conjunto explícito de generadores para él.

Iskovskikh y Manin [9] demostraron que el grupo de automorfismos birracionales de hipersuperficies suaves (cuartas) de cuarto orden de 3 variedades es igual a su grupo de automorfismos, que es finito. En este sentido, las variedades tridimensionales de cuarto orden están lejos de ser racionales, ya que el grupo de automorfismos birracionales de una variedad racional es enorme. Desde entonces, este fenómeno de "rigidez biracional" se ha descubierto para muchos espacios Fano fibrosos.

Notas

  1. ↑ Dolgachev, Iskovskikh, 1977 , p. 463.
  2. ↑ Kollár, Mori, 1998 , p. Teorema 1.29.
  3. ↑ Hartshorne, 1977 , pág. Ejercicio II.8.8.
  4. ↑ Abramovich, Karu, Matsuki, Wlodarczyk, 2002 .
  5. ↑ Mori, 1988 .
  6. ↑ Birkar, Cascini, Hacon, McKernan, 2010 .
  7. ↑ ( Birkar, Cascini, Hacon, McKernan 2010 ); El corolario 1.3.3 implica que cualquier variedad no lineal con característica cero es biracional a una fibración de Fano, utilizando el simple hecho de que una variedad X no lineal está cubierta por una familia de curvas para las que K X tiene un grado negativo. Esta afirmación se puede encontrar en el libro de Debarre ( Debarre 2001 ), Corolario 4.11 y Ejemplo 4.7(1).
  8. ↑ Clemens, Griffiths, 1972 .
  9. ↑ 1 2 Iskovskikh, Manin, 1971 , p. 140-166.

Literatura