Proyección estereográfica
La proyección estereográfica es un mapeo de cierto tipo de una esfera con un punto perforado en un plano.
Definición
El punto (polo norte de la esfera) es el punto a la máxima distancia del plano . A través de cada punto de la esfera hay una sola línea recta que conecta y . La línea corta al plano en un solo punto , que es así la imagen estereográfica del punto. Como resultado, se obtiene un mapeo uno a uno de una esfera con un punto perforado en un plano .
Para obtener un mapeo uno a uno de toda la esfera, es necesario complementar el plano con un elemento que sea la imagen de un punto perforado . Este elemento es el llamado punto en el infinito , denotado por el símbolo . Un plano complementado por un elemento se llama plano extendido . La proyección estereográfica de una esfera completa sobre un plano extendido es un mapeo homeomorfo , con la imagen inversa aspirando a su imagen .
Propiedades
- Una proyección estereográfica es un mapeo conforme : conserva los ángulos entre las curvas y la forma de las figuras infinitesimales. La proyección estereográfica asigna círculos en un plano a círculos en una esfera, y líneas rectas en un plano a círculos que pasan por el centro de la proyección .
- Los mapas de proyección estereográfica conjugan lápices de meridianos y paralelos en una esfera en lápices conjugados elípticos e hiperbólicos de círculos en un plano.
- La proyección estereográfica realiza el homeomorfismo de la línea proyectiva compleja sobre la esfera bidimensional: para esto, es necesario considerar el plano real bidimensional (sobre el campo) con coordenadas como la línea unidimensional (sobre el campo ). de la variable compleja .
- Los movimientos de la esfera de proyección estereográfica generan transformaciones de Möbius en el plano complejo , al igual que la proyección Gnomónica genera transformaciones proyectivas en el plano. [una]
Aplicaciones
En fotografía
La proyección estereográfica se utiliza para mostrar panoramas esféricos. Esto conduce a resultados interesantes: las áreas alejadas del centro de la proyección se estiran mucho, produciendo los llamados "efectos de planeta pequeño". En comparación con otras proyecciones de acimut , las proyecciones estereográficas suelen producir los panoramas más agradables; esto se debe a la transferencia exacta de formas como resultado de la conformidad de la proyección.
En cristalografía
La proyección estereográfica se utiliza para visualizar grupos de cristales de simetría puntual .
Historia
La proyección estereográfica fue descubierta por Apolonio de Perga c. 200 aC mi. Las propiedades de esta proyección fueron descritas por Claudio Ptolomeo en el tratado "Planispherius". Los astrónomos antiguos usaban la proyección estereográfica para representar la esfera celeste en un plano en el astrolabio .
Variaciones y generalizaciones
La proyección estereográfica es aplicable a la n -esfera S n en ( n + 1) espacio euclidiano dimensional E n + 1 . Si Q es un punto en S n y E es un hiperplano en E n + 1 , entonces la proyección estereográfica del punto P ∈ S n − { Q } es el punto P ′ de la intersección de la recta con E .
La proyección estereográfica generalizada se utiliza, por ejemplo, para representar gráficamente las 3 esferas y el haz de Hopf .
Véase también
Literatura
- Rosenfeld B. A., Sergeeva N. D. Proyección estereográfica . Serie Conferencias populares de matemáticas , vol. 53. M.: Nauka, 1973.
Notas
- ↑ G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. New_encounters_with_geometry_1978 (indefinido) . - Moscú "Nauka", 1978. - S. 225. (enlace inaccesible) (pág. 186)
Enlaces
 diccionarios y enciclopedias |
|
|---|---|
| En catálogos bibliográficos |
|