Función de peso

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Una función de ponderación es una construcción matemática que se usa al sumar, integrar o promediar para dar a ciertos elementos más peso en el valor resultante que a otros elementos. El problema surge a menudo en estadística y cálculo , estrechamente relacionado con la teoría de la medida . Las funciones de peso se pueden utilizar tanto para cantidades discretas como continuas.

Funciones de peso discretas

Definiciones generales

Una función de peso discreta es una función positiva definida en un conjunto discreto de valores , que suele ser finito o contable . La función de peso corresponde a la situación no ponderada , cuando todos los elementos del conjunto tienen pesos iguales. Si una función se define en el dominio de los números reales , entonces la suma no ponderada en se define como ${\displaystyle w:A\to {\mathbb {R} }^{+))$ $A$ ${\ estilo de visualización w (a): = 1}$ $f:A\to {\mathbb {R} }$ $F$ $A$

{\ estilo de visualización \ suma _ {a \ en A} f (a)}

;

a diferencia de la suma ponderada , definida como ${\displaystyle w:A\to {\mathbb {R} }^{+))$

\sum _{a\in A}f(a)w(a)

Algunas de las aplicaciones más comunes de las sumas ponderadas son la integración numérica y el filtrado digital .

Si B es un subconjunto finito del conjunto A , entonces la cardinalidad clásica del conjunto |B| puede ser reemplazado por potencia ponderada

{\ estilo de visualización \ suma _ {a \ en B} w (a).}

Si A es un conjunto finito no vacío , podemos introducir un análogo de la media aritmética

{\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)

en forma de media aritmética ponderada

{\frac {\sum_{a\in A}f(a)w(a)}{\sum_{a\in A}w(a))).

En los problemas de optimización multicriterio , la suma ponderada también se utiliza para pasar de un conjunto de valores particulares de criterios de calidad a un solo criterio integral (por ejemplo, costo). A veces [1] , si los rangos de valores de los indicadores de calidad parciales difieren significativamente (en varios órdenes de magnitud), antes de encontrar el valor numérico del criterio integral, se normalizan los indicadores de calidad parciales (el rango de cambio de cada uno de ellos ). ellos se reduce al intervalo ): , y el criterio integral se calcula como , lo que logra lo mismo la influencia de criterios particulares en el resultado con valores comparables de los coeficientes de peso . $j$ $x_{yo}$ $[\min {x_{i}},\max {x_{i}}]$ $[0, 1]$ $x_{i}'={\frac {x_{i}-\min {x_{i}}}{\max {x_{i}}-\min {x_{i}}}}$ $J=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}'w_{i}}$ $w_{1},\ldots,w_{n}$

Estadísticas

El promedio ponderado se usa a menudo en estadísticas para compensar el sesgo ( ing. Bias ). Para el valor real medido varias veces de forma independiente con varianzas , la mejor aproximación se obtiene promediando todas las medidas con pesos : la varianza resultante es menor que cada medida independiente . En el método de máxima similitud , las diferencias se ponderan por valores similares . $F$ $f_{i}$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {i} ^ {2}}$ ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma_{i}^{2))))$ ${\ estilo de visualización \ sigma ^ {2} = 1/\ suma w_ {i}}$ $Wisconsin}$

Mecánica

El término función ponderada se originó en la mecánica : si hay objetos con pesos (el término peso en este caso tiene un significado físico) ubicados en puntos de la palanca , la palanca estará en equilibrio si el fulcro está ubicado en el centro de masa $norte$ $w_{1},\ldots,w_{n}$ ${\boldsymbol {x}}_{1},\ldots,{\boldsymbol {x}}_{n}$

{\frac {\sum_{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum_{i=1}^{n}w_{ i}}}

que se puede interpretar como un promedio ponderado de las coordenadas . ${\boldsymbol {x}}_{i}$

Funciones de ponderación continuas

En el caso de valores continuos, el peso es una medida positiva en algún dominio , que suele ser un subconjunto del espacio euclidiano en el intervalo . Aquí está la medida de Lebesgue , y es una función no negativa. En este contexto, la función de peso se usa a menudo en el concepto de densidad . ${\ estilo de visualización w (x) dx}$ $\Omega$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$ $[a,b]$ $dx$ ${\displaystyle w:\Omega \to \mathbb {R} ^{+))$ $w(x)$