Función analítica real

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Una función analítica real es una función real que se puede representar en la vecindad de cada punto mediante una serie de potencias . Definición equivalente: una función real que es igual a su serie de Taylor en la vecindad de cada punto del dominio de definición [1] .

Definición

Sea definido en un punto interior de su dominio de definición . Una función se llama analítica en un punto si en alguna vecindad de este punto puede ser representada por una serie de potencias con el centro en este punto. Esto significa que en alguna vecindad del punto la función se representa como $f\dos puntos G\subconjunto \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $a \ en G$ $F$ $a$ $a$ $F$

{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty}b_{n}(xa)^{n))

[1] .

Esta definición se puede generalizar al caso de una función de muchas variables . Sea ahora una función de varias variables, sea un punto interior del dominio de definición. Una función se llama analítica en un punto si en alguna vecindad de este punto se puede representar mediante una serie de potencias múltiples con el centro en este punto, es decir, se representa como $f\dos puntos G\subconjunto \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ $a \ en G$ $F$ $a$

f(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots,i_{n}=0}^{\infty}b_{i_{1}, \ldots ,i_{n}}(x_{i_{1}}-a_{i_{1}})^{i_{1}}\ldots (x_{i_{n}}-a_{i_{n}} )^{i_{n}}

[2] .

Una función vectorial se llama analítica en un punto si todas sus componentes son analíticas en ese punto. [3] ${\displaystyle f\dos puntos G\subconjunto \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $a \ en G$

Una función se llama analítica en un conjunto abierto si es analítica en todos los puntos de este conjunto. El conjunto de todas las funciones analíticas en un conjunto abierto se denota [4] . $F$ $GRAMO$ $GRAMO$ $C^{\omega}(G)$

Una función se llama analítica si es analítica en su dominio de definición. [3] $F$

Serie de Taylor

Si una función de una variable se expande en una vecindad de un punto en una serie de potencias , entonces en este punto tiene derivadas de todos los órdenes y los coeficientes de esta serie se calculan mediante la fórmula: $a$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}b_{n}(xa)^{n))$

b_{n}={\frac{f^{(n)}(a)}{n!)}}

Así, en las proximidades del punto $a$

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n}

[5]

De manera similar, para una función de muchas variables en el punto de analiticidad , existen derivadas parciales mixtas de todos los órdenes y $a$

b_{i_{1},\ldots,i_{n}}={\frac {1}{i_{1}!\ldots i_{n}!}}{\frac {\parcial ^{i_{ 1}+\ldots +i_{n}}f(a)}{\parcial x_{1}^{i_{1}}\ldots \parcial x_{n}^{i_{n}}}}

Luego, en las cercanías del punto $a$

f(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots,i_{n}=0}^{\infty}{\frac {1}{ i_{1}!\ldots i_{n}!}}{\frac {\parcial ^{i_{1}+\ldots +i_{n}}f(a)}{\parcial x_{1}^{i_ {1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n}}}}(x_{i_{1}}-a_{i_{1}})^{i_{1}}\ldots (x_{ i_{n}}-a_{i_{n}})^{i_{n}}

[6]

Estas fórmulas se derivan de forma trivial mediante la diferenciación de series de potencias.

Para que se defina una serie de potencias con tales coeficientes, es suficiente la existencia de derivadas de todos los órdenes en un punto. Esto no implica en absoluto la analiticidad de la función: tal serie puede no coincidir con la función en ninguna vecindad del punto o generalmente converger solo en el punto mismo . Esta serie, independientemente de que converja en algún lugar a su función, se denomina serie de Taylor de la función en un punto . [7] Así, la analiticidad implica la existencia de una serie de Taylor, pero la analiticidad no se sigue de la existencia de una serie de Taylor. $a$ $F$ $a$

La definición equivalente de analiticidad se basa en el concepto de una serie de Taylor:

Una función se llama analítica en un punto interior del dominio de definición si, en alguna vecindad de este punto, la función coincide con su serie de Taylor. [una]

F

a

Los siguientes ejemplos muestran funciones que tienen una serie de Taylor en un punto, pero no son analíticas en él:

$g(x)={\begin{casos}e^{-{\frac {1}{x^{2))))&x\neq 0;\\0&x=0.\end{casos))$

Se puede demostrar que esta función es infinitamente diferenciable en cero y todas sus derivadas son iguales a cero. La serie de Taylor en los puntos tiene la forma

{\ estilo de visualización 0}

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}0\cdot x^{n))

. La serie de Taylor converge en la vecindad del punto , pero en ninguna de sus vecindades es igual a la función [7] .

{\ estilo de visualización 0}

g(x)

${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty}e^{-n}\cos {n^{2}x))$

Su serie de Taylor en el punto converge solo en el punto . No converge en ningún entorno de cero, y no tiene sentido hablar de la igualdad de su función. [ocho]

{\ estilo de visualización 0}

{\ estilo de visualización 0}

h(x)

Estos ejemplos muestran que la existencia e incluso la convergencia de la serie de Taylor en alguna vecindad no son suficientes para que la función sea analítica.

Propiedades

Toda función analítica es infinitamente diferenciable , pero no toda función infinitamente diferenciable es analítica. Los ejemplos anteriores pueden servir como ejemplos de funciones infinitamente diferenciables, pero no analíticas, ya que en el caso unidimensional la existencia de la serie de Telor es equivalente a la diferenciabilidad infinita. En otras palabras, hay una inclusión estricta:

C^{\omega }(G)\subconjunto C^{\infty}(G)

[7] .

La analiticidad para cada variable por separado no implica la analiticidad como un todo [9] . Este hecho es una diferencia con el caso complejo, en el que, según el teorema de Hartogs , la analiticidad con respecto a cada variable por separado implica la analiticidad como un todo.

Operaciones sobre funciones analíticas

Las propiedades se pueden aplicar tanto a la analiticidad en un punto como a la analiticidad en un conjunto abierto.

Una combinación lineal de funciones analíticas es analítica.
El producto de las funciones analíticas es analítico.
La división de funciones analíticas será analítica en un conjunto abierto si el divisor no toma el valor en ninguna parte de este conjunto . Para la analiticidad en un punto, se requiere que el divisor no gire a ninguna vecindad de este punto. ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización 0}$
La composición de las funciones analíticas es analítica. Esto se entiende en el siguiente sentido: si es analítico en , analítico en , entonces es analítico en . Para conjuntos, se puede formular de la siguiente manera: si es analítico sobre el conjunto , analítico en cada punto de , entonces es analítico sobre . $gramo$ $a$ $F$ ${\ estilo de visualización g (a)}$ ${\ estilo de visualización f \ círculo g}$ $a$ $gramo$ $A$ $F$ ${\ estilo de visualización g (A)}$ ${\ estilo de visualización f \ círculo g}$ $A$
Una derivada de cualquier orden para una función analítica de una variable también es analítica. Las derivadas parciales de cualquier orden de una función analítica de muchas variables son analíticas.
La antiderivada de una función analítica de una variable es analítica. Para el caso de varias variables, se puede generalizar esta propiedad considerando la antiderivada con respecto a una de las variables.
La propiedad anterior se puede formular en términos de integrales con límite variable superior. Sea una función de una variable analítica en un conjunto abierto , . $F$ $A$ $a \ en A$

Entonces es analítico en . Para funciones de varias variables, nuevamente uno puede simplemente considerar la integral sobre solo una de las variables.

{\ estilo de visualización \ int \ límites _ {a}^ {x} f (t) \, dt}

A

Las series de Taylor en los puntos de resultado de las operaciones se pueden obtener realizando las operaciones correspondientes en series: multiplicación de series de potencias, división, composición, diferenciación e integración término a término, etc. Con algunas de estas operaciones, los radios de convergencia de la serie pueden cambiar [3] .

Analyticidad en el set

Si una función está representada en un conjunto abierto por una serie de potencias (sin importar en qué punto esté centrada), entonces es analítica en cada punto de este conjunto. [6] Pero no funciona al revés. La analiticidad en un conjunto no significa en absoluto que una función pueda ser representada por una sola serie de potencias en todo este conjunto, incluso si este conjunto puede ser un dominio de convergencia de una serie de potencias o estar contenido en una. Significa sólo la representabilidad en alguna vecindad de cada punto, además, en diferentes filas. El ejemplo estándar es la función . Es analítica en toda la recta numérica: en la vecindad de cualquier punto, esta función se puede representar como una serie de potencias centrada en ese punto. En un punto , esto será lo siguiente: $F$ $f(x)={\frac{1}{1+x^{2}}}$ ${\ estilo de visualización 0}$

{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n))

El intervalo de convergencia de esta serie es . En este intervalo, la serie converge a su función. Sin embargo, la serie diverge en los puntos y , a pesar de que la función también es analítica en esos puntos. Se puede demostrar aún más: ninguna serie de potencias en ningún punto puede representar esta función completamente, solo en un cierto intervalo. [diez] ${\ estilo de visualización (-1; 1)}$ $x>1$ ${\ estilo de visualización x <-1}$

Una función analítica en un punto puede no coincidir con su serie de Taylor en toda su región de convergencia, sino solo en alguna parte (por ejemplo, para funciones por partes). Sin embargo, si en algún subdominio de la región de convergencia de la serie de Taylor en un punto la función es analítica y este subdominio contiene el punto , entonces la función coincidirá con la serie especificada en todo este subdominio. [once] $a$ $f(x)$ $a$ $a$

Funciones inversas e implícitas

Para las funciones analíticas, existen análogos de los teoremas de función implícita e inversa.

Teorema de la función inversa . Seaanalítico en un puntoy el jacobiano en este punto no es igual a cero. Entonces, en alguna vecindaddel punto, existe una única función inversa, y es analítica en. [12] ${\displaystyle f\dos puntos G\subconjunto \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n))$ $a \ en G$ $tu$ $a$ $f^{-1}\dos puntos f(U)\rightarrow U$ $fa)$
Teorema de la función implícita . Seaanalítico en el puntoy. Entonces la ecuacióndefine una función implícita analíticaen alguna vecindad del punto. Esto significa que para alguna vecindad de un puntoforma, dondees una vecindad de un puntoen, yes una vecindad de un puntoen, se puede definir de manera única una funcióntal que, y será analítica en el punto. [12] ${\displaystyle F\dos puntos G\subconjunto \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ ${\ estilo de visualización (a, b) \ en G}$ ${\bigg |}{\frac {\F parcial}{\y parcial}}(a){\bigg |}\neq 0$ ${\ estilo de visualización F (x, y) = F (a, b)}$ $y = f(x)$ $(a,b)$ $(a,b)$ $U=U_{x}\veces U_{y}$ $U_x$ $a$ $\mathbb{R} ^{n}$ ${\ Displaystyle U_ {y}}$ $b$ $\mathbb{R} ^{m}$ ${\displaystyle f\dos puntos U_{x}\rightarrow U_{y))$ $F(x,y)=F(a,b)\Leftrightarrow y=f(x)\ \forall (x,y)\in U$ $a$

Estos teoremas nos permiten decir que, bajo ciertas condiciones, la función implícita y la inversa de una función analítica serán analíticas. Usando teoremas, uno puede probar la analiticidad para funciones inversas e implícitas ya encontradas, usando su unicidad.

Analiticidad de la función inversa . Deje que la biyección de dominios sea analítica y su jacobiano no sea igual a cero en ninguna parte : su inversa. Entonces es analítico. La serie de Taylor para la función inversa se puede calcular utilizando la fórmula de inversión de series. ${\displaystyle f\dos puntos G\subconjunto \mathbb {R} ^{n}\rightarrow H\subconjunto \mathbb {R} ^{n))$ ${\displaystyle f^{-1}\colon H\subconjunto \mathbb {R} ^{n}\rightarrow G\subconjunto \mathbb {R} ^{n))$ $f^{-1}$
Analyticidad de una función implícita . Sea una función analítica en el dominio y sea el jacobiano en todos los puntos distinto de cero. es una función implícita definida en el dominio y dada por una ecuación en el sentido de que . Entonces es analítico. ${\displaystyle F\dos puntos G\subconjunto \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $GRAMO$ $y$ ${\displaystyle f\colon H\subconjunto \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $H$ $F(x,y)=0$ $F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)\ \forall (x,y)\in U$ $F$

Continuación analítica

Deje que una función se defina en un dominio y sea analítica sobre él. Puede ocurrir que en algún momento la región de convergencia de la serie de Taylor vaya más allá de la región . Entonces la función se puede extender a esta región por los valores correspondientes de la serie de Taylor. Es posible que en nuevos puntos el dominio de convergencia vuelva a ir más allá del dominio de definición y la función pueda continuar nuevamente. Tal procedimiento se llama continuación analítica [1] . Más formalmente: $F$ $GRAMO$ $GRAMO$

Sea definido en un dominio y analítico sobre él, definido en un dominio y analítico sobre él, y sobre . Entonces decimos que es una continuación analítica de .

F

F

gramo

GRAMO

G\subconjunto F

{\ estilo de visualización f = g}

GRAMO

F

gramo

Para cualquier función analítica en el dominio, existe una continuación analítica máxima. Todas las demás extensiones analíticas se obtienen restringiendo el máximo a su dominio de definición, y el máximo es la unión de todas las extensiones analíticas. [13] Por lo tanto, diferentes continuaciones analíticas no pueden dar diferentes valores en un punto, sin importar a través de qué regiones las continuamos. Esto es fundamentalmente diferente de la continuación analítica en el análisis complejo, que puede dar diferentes valores cuando la continuación analítica sigue diferentes caminos, razón por la cual surgen construcciones tales como funciones analíticas multivaluadas.

Usando la continuación analítica, se puede restaurar toda la función a partir de sus valores durante un cierto intervalo, aunque su serie de Taylor no converge en todas partes. Sin embargo, por ejemplo, la función no se puede restaurar de esta manera. Conociendo los valores en un cierto intervalo dentro de él se puede restaurar solo hasta el intervalo completo , pero no más allá. Los valores en diferentes intervalos del dominio de definición no están relacionados. Para restaurar completamente la función, es necesaria la salida al plano complejo. La continuación analítica real no puede restaurar muchas funciones que la compleja puede restaurar. ${\ estilo de visualización {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$ ${\ estilo de visualización (-1; 1)}$ ${\ estilo de visualización (-1; 1)}$

Investigación sobre analiticidad

Una forma de probar la analiticidad real de una función es pasar al dominio complejo. La prueba de analiticidad para funciones de una variable compleja es mucho más simple y se reduce a examinar la diferenciabilidad de la función.

Una función real es analítica en un conjunto abierto si y solo si su término residual en la fórmula de Taylor tiende a cero en todo este conjunto. [14] Representando este término en la forma de Cauchy o en alguna otra forma, se puede examinar su convergencia a cero y obtener una respuesta sobre la analiticidad de la función.

Del método anterior se deriva el siguiente criterio de analiticidad:

Sean acotadas en conjunto las derivadas de todos los órdenes de una función de una variable sobre un conjunto abierto, es decir, existe tal que

F

{\ estilo de visualización M> 0}

|f^{(n)}(x)|\leq M

, y no depende del orden de la derivada ni del punto . Entonces la función es analítica en este conjunto [15] .

METRO

X

Al debilitar ligeramente esta condición, se puede obtener el criterio de analiticidad . El criterio de analiticidad se formula para la analiticidad en un punto.

Supongamos que para un punto hay un intervalo , en el que está definida la función de una variable y , y también hay números y tales que

a

j

F

{\ estilo de visualización a \ en J}

C>0

R>0

{\displaystyle |f^{(n)}(x)|\leq C\cdot {\frac {n!}{R^{n))))

. Entonces la función es analítica en [13] .

a

Tanto el signo como el criterio se generalizan al caso de funciones de varias variables. El signo se formula de la siguiente manera.

Deje que todas las derivadas parciales en un conjunto abierto estén acotadas en conjunto, es decir, existe tal que

F

{\ estilo de visualización M> 0}

\left|{\frac {\parcial ^{i_{1}+\ldots +i_{n}}f(x)}{\parcial x_{1}^{i_{1}}\ldots \parcial x_{n}^{i_{n}}}}\right|\leq M

. Entonces la función en este conjunto es analítica.

El criterio entonces se ve así.

Sea una vecindad para el punto en el que está definida la función, y también sean números y tales que

a

j

F

C>0

R>0

\left|{\frac {\parcial ^{i_{1}+\ldots +i_{n}}f(x)}{\parcial x_{1}^{i_{1}}\ldots \parcial x_{n}^{i_{n))))\right|\leq C\cdot {\frac {{(i_{1}+\ldots +i_{n})}!}{R^{i_{1 }+\ldots +i_{n}}}}

. Entonces la función es analítica en [16] .

a

Ejemplos

Cualquier función polinomial .
Cualquier función racional en su dominio de definición.
La función exponencial , . ${\ Displaystyle f(x)=a^{x))$ $a>0$
Las raíces aritméticas son analíticas en todo su dominio de definición, excepto en el cero. Así, las raíces de grado par son analíticas sobre , y las raíces de grado impar son analíticas sobre y . ${\ estilo de visualización (0; + \ infinito)}$ ${\ estilo de visualización (- \ infinito; 0)}$ ${\ estilo de visualización (0; + \ infinito)}$
Funciones trigonométricas e hiperbólicas .
Funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas en puntos internos de su dominio de definición.

Véase también

función suave

Notas

↑ 1 2 3 4 Arkhipov, 1999 , p. 392.
↑ Steven, 2002 , pág. 29
↑ 1 2 3 enciclopedia de matemáticas reales .
↑ Steven, 2002 , pág. 3.
↑ Steven, 2002 , pág. diez.
↑ 12 Steven , 2002 , pág. treinta.
↑ 1 2 3 Kudryavtsev, 2004 , pág. 116.
↑ Gelbaum, Olmstead, 1967 , pág. 91.
↑ Steven, 2002 , pág. 105.
↑ Shabat, 1967 , pág. 7.
↑ Steven, 2002 , pág. catorce.
↑ 12 Steven , 2002 , pág. 47.
↑ 12 Steven , 2002 , pág. quince.
↑ Kudryavtsev, 2004 , pág. 118.
↑ Kudryavtsev, 2004 , pág. 120.
↑ Steven, 2002 , pág. 34.

Literatura

Función analítica real . Enciclopedia de Matemáticas . Recuperado: 26 enero 2022. (indefinido)
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Conferencias sobre Análisis Matemático / Ed. V. A. Sadovnichy. - 1ª ed. - M. : Escuela Superior , 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Curso de Análisis Matemático. En 3 tomos. Volumen 2 . - M. : Avutarda, 2004. - 720 p. (Ruso)
Gelbaum B., Olmsted J. Contraejemplos en análisis. — M .: Mir , 1967 . — 251 págs.
Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka , 1969 . — 577 pág.
Krantz, Steven; Parques, Harold R.Una introducción a las funciones analíticas reales (indefinido) . — 2do. — Birkhauser, 2002. - ISBN 0-8176-4264-1 .