Género geométrico
El género geométrico es el invariante birracional básico p g de variedades algebraicas y variedades complejas .
Definición
El género geométrico se puede definir para variedades proyectivas complejas no singulares y, más generalmente, para variedades complejas , como el número de Hodge h n ,0 (igual a h 0, n según la dualidad de Serre ), es decir, como el dimensión del sistema lineal canónico más uno.
En otras palabras, para una variedad V de dimensión compleja n , este valor es igual al número de formas n holomorfas linealmente independientes en la variedad V [ 1 ] . Esta definición es la dimensión del espacio.
luego se transfiere a cualquier campo base , si Ω se toma como un haz de diferenciales de Kähler , y el grado es igual al producto exterior , el paquete de líneas canónicas .
El género geométrico es la primera invariante de la secuencia de invariantes llamada plurigenre (o género múltiple).
El caso de las curvas
En el caso de variedades complejas, las curvas no singulares son superficies de Riemann . La definición algebraica de género es consistente con la noción topológica de género . En una curva no singular, el paquete de líneas canónicas tiene grado .
El concepto de género está prominentemente presente en el enunciado del teorema de Riemann-Roch (ver también el teorema de Riemann-Roch para superficies ) y la fórmula de Riemann-Hurwitz . Por el teorema de Riemann-Roch, una curva plana irreducible de grado d tiene género geométrico
donde s es el número de puntos singulares contados según sea necesario.
Si C es una superficie irreducible (y suave) en el plano proyectivo definido por una ecuación polinomial de grado d , entonces su fibrado lineal normal es un haz de Serre retorcido , por lo que por la fórmula adjunta el fibrado lineal canónico de C está dado por .
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{C}=[{\mathcal {K}}_{\mathbb {P} ^{2}}+{\mathcal {O}}(d)]_{{ \mid }C}={\mathcal {O}}(d-3)_{{\mid }C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63dda488131773614113d387d480df5e152df795)
El género de las variedades singulares
La definición de género geométrico se traslada de forma clásica a las curvas singulares C indicando cuál es el género geométrico de la normalización de C ′ . Es decir, dado que el mapeo es biracional , la definición se extiende por un invariante birracional.
Véase también
- Género aritmético
- Invariantes de superficie
Notas
- ↑ Danilov, Shokurov, 1998 , pág. 57-58.
Literatura
- Griffiths P. , Harris J. Principios de geometría algebraica. - Wiley Interscience, 1994. - S. 494. - (Wiley Classics Library). — ISBN 0-471-05059-8 .
- Danilov VI, Shokurov V.V. Geometría Algebraica-1 . - 1998. - V. 23. - (Resultados de la ciencia y la tecnología. Problemas modernos de las matemáticas. Direcciones fundamentales.).