La simetría del espejo homológico es una conjetura matemática presentada por Maxim Kontsevich . Se originó como un intento de revelar la naturaleza matemática de un fenómeno observado por primera vez por los físicos en la teoría de cuerdas .
En un mensaje al Congreso Matemático Internacional de 1994 en Zúrich , Kontsevich sugirió que la simetría especular para un par de variedades X e Y de Calabi-Yau puede explicarse como una equivalencia de una categoría triangulada , obtenida por los métodos de la geometría algebraica ( la derivada de la categoría de poleas coherentes en X ) y otra categoría triangulada, construida usando geometría simpléctica (la derivada de la categoría de Fukaya en Y ).
Edward Witten describió originalmente el giro topológico de la teoría de campos supersimétricos N=(2,2) en lo que llamó los modelos A y B de la teoría de cuerdas topológica . Estos modelos consideran mapeos de superficies de Riemann en los llamados espacios objetivo , generalmente variedades de Calabi-Yau. La mayoría de las predicciones matemáticas de la simetría del espejo encajan en el marco de la equivalencia del modelo A en Y y el modelo B en su espejo X , conocido por la física . Las superficies de Riemann, que son variedades sin límite, pueden ser la hoja de mundo de una cuerda cerrada. Para describir el caso de cuerdas abiertas, es necesario especificar adicionalmente las condiciones de contorno que, además, preservan la supersimetría. En el modelo A, estas condiciones de contorno toman la forma de las subvariedades lagrangianas de Y con alguna estructura adicional (a veces denominada estructura de brana). En el modelo B, estas condiciones de contorno toman la forma de subvariedades holomorfas de X con un paquete de vectores holomorfos sobre ellas. Estos objetos se utilizan para construir las categorías trianguladas descritas. Se denominan branas A y B, respectivamente. Los morfismos de estas categorías son todas cuerdas abiertas sin masa estiradas entre dos branas.
Para cuerdas cerradas, los modelos A y B cubren solo el sector topológico, una pequeña parte de toda la teoría de cuerdas. De manera similar, las branas en estos modelos son solo aproximaciones topológicas al objeto dinámico completo: D-branas . De una forma u otra, las matemáticas, incluso en este pequeño sector de la teoría de cuerdas, son a la vez profundas y difíciles.
Los matemáticos pudieron probar esta hipótesis con solo unos pocos ejemplos. En su mensaje original, Kontsevich mencionó que la conjetura podría probarse para curvas elípticas usando funciones theta . Siguiendo esta sugerencia, Eric Zaslow y otro matemático presentaron una prueba de esta conjetura para curvas elípticas. Kenji Fukaya dio fragmentos de la prueba para las variedades abelianas . Más tarde, Kontsevich y Jan Soibelman proporcionaron una prueba de una parte esencial de la conjetura en discusión para paquetes tóricos no singulares sobre variedades afines utilizando las ideas de la conjetura SYZ . En 2003, Paul Seidel demostró la conjetura cuartica .
La siguiente tabla se llama el diamante de Hodge. Aquí h p , q — las dimensiones de los espacios de ( p , q ) - formas diferenciales — están dispuestas de modo que las coordenadas ( p , q ) formen los lados del rombo. En el caso tridimensional, p y q ejecutan valores enteros de cero a tres, y el rombo de Hodge, por ejemplo, para una variedad bidimensional compleja se ve así:
h 2,2 h 2,1 h 1,2 h 2,0 h 1,1 h 0,2 h 1,0 h 0,1 h 0,0En el caso de una curva elíptica , que es una compleja variedad de Calabi-Yau unidimensional, el diamante de Hodge es particularmente simple:
una once unaEn el caso de una superficie K3 , que es una variedad Calabi-Yau bidimensional compleja, dado que sus números de Betti son {1, 0, 22, 0, 1}, el diamante de Hodge se ve así:
una 0 0 1 20 1 0 0 unaLas variedades de Calabi-Yau de dimensión compleja tres son el primer ejemplo no trivial de simetría especular. Los pares que son simétricos especulares entre sí (llamémoslos M y W) se mapean entre sí con simetría alrededor de una línea vertical.
El rombo de Hodge de la variedad M :
una 0 0 0 a 0 1 segundo segundo 1 0 a 0 0 0 unaEl rombo de Hodge de la variedad W :
una 0 0 0 segundo 0 1 a 1 _ 0 segundo 0 0 0 unaM y W corresponden a los modelos A y B de la teoría de cuerdas. La simetría especular no solo intercambia los números de Betti, sino que intercambia las estructuras simpléctica y compleja de las variedades simétricas especulares. Esta es la esencia de la simetría del espejo homológico.