Función theta

Las funciones theta son funciones especiales de varias variables complejas . Desempeñan un papel importante en muchos campos, incluida la teoría de las variedades abelianas , los espacios de módulos y las formas cuadráticas . También se aplican en la teoría de los solitones . Después de la generalización al álgebra de Grassmann , las funciones también aparecen en la teoría cuántica de campos [1] .

El tipo más común de funciones theta son las que se encuentran en la teoría de funciones elípticas . Con respecto a una de las variables complejas (normalmente denominada z ), la función theta tiene la propiedad de sumar los periodos de las funciones elípticas asociadas, haciéndolas cuasi-periódicas . En teoría abstracta, esto se obtiene a partir de la condición de paquete de líneas la gota .

Función theta de Jacobi

Hay varias funciones relacionadas, llamadas funciones theta de Jacobi, y muchos sistemas de notación diferentes e incompatibles. Una función theta de Jacobi (llamada así por Carl Gustav Jacobi ), es una función definida a partir de dos variables complejas z y , donde z puede ser cualquier número complejo , y está limitada a la mitad superior del plano , lo que significa que el número tiene un número positivo parte imaginaria. La función viene dada por la fórmula $\tau$ $\tau$

{\begin{alineado}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2 \pi inz\right)=\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty}\left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^{2}} \cos(2\pi nz)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n},\end{alineado}}

donde y . La función es una forma de Jacobi . Si fijamos , la función se convierte en una serie de Fourier para una función entera periódica de z con periodo 1. En este caso, la función theta satisface la identidad ${\ estilo de visualización q = \ exp (\ pi {i} \ tau)}$ ${\ estilo de visualización \ eta = \ exp (2 \ pi {i} z)}$ $\tau$

{\displaystyle\vartheta (z+1;\tau)=\vartheta (z;\tau).}

La función se comporta de forma muy regular, teniendo en cuenta el cuasi-período , y satisface la ecuación funcional $\tau$

\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\,\vartheta (z;\tau ),

donde a y b son números enteros.

Funciones auxiliares

La función theta de Jacobi definida anteriormente a veces se considera junto con tres funciones theta adicionales, en cuyo caso se escribe con un índice adicional 0:

{\ estilo de visualización \ vartheta _ {00} (z; \ tau) = \ vartheta (z; \ tau)}

Las funciones adicionales (semiperiódicas) se definen mediante las fórmulas

{\begin{alineado}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \!\left(z+{\tfrac {1}{2));\tau \right)\\[ 3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{ \tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4} }\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{ \tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{alineado}}

Estas notaciones fueron seguidas por Riemann y Mumford . La formulación original de Jacobi fue en términos de nome , no . En notación de Jacobi, las funciones θ se escriben como: ${\displaystyle q=e^{i{\pi }\tau ))$ $\tau$

{\begin{alineado}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&= \vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z; q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{alineado}}

Las definiciones anteriores de la función theta de Jacobi están lejos de ser las únicas. Consulte el artículo Funciones Theta de Jacobi (variaciones de notación) para obtener más información.

Si ponemos las funciones theta anteriores, obtenemos cuatro funciones que dependen solo y están definidas en el semiplano superior (que a veces se denominan constantes theta). Estas pueden usarse para definir varias formas modulares y parametrizar algunas curvas. En particular, la identidad jacobi ${\ estilo de visualización z = 0}$ $\tau$

\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^ {cuatro}

es una curva de Fermat de cuarto grado .

Identidades de Jacobi

Las identidades de Jacobi describen cómo las funciones theta son transformadas por el grupo modular , que es generado por los mapeos y . Las identidades de la primera transformación son fáciles de encontrar, ya que sumar uno al exponente k tiene el mismo efecto que sumar uno a z ( mod 2). En el segundo caso ponemos ${\ estilo de visualización \ tau \ mapas a \ tau +1}$ $\tau \mapsto -{\tfrac {1}{\tau}}$ $\tau$ ${\tfrac{1}{2))$ $n\equiv n^{2}$

\alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).

Después

{\begin{alineado}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\ alfa \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\ tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau } };{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({ \frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{ alineado}}

Funciones theta en términos de un nombre

En lugar de expresar las funciones theta en términos de z y , podemos expresarlas en términos del argumento wy el nombre q , donde , y . En este caso, las funciones se convierten en $\tau$ ${\ Displaystyle w = e ^ {\ pi {i} z}}$ ${\ Displaystyle q = e ^ {\ pi {i} \ tau}}$

{\begin{alineado}\vartheta_{00}(w,q)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(w^{2})^{n}q^ {n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{ 2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }( w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _ {11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1 {2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{alineado}}

Vemos que las funciones theta se pueden definir en términos de w y q sin referencia directa a la función exponencial. Las fórmulas se pueden usar, por lo tanto, para definir funciones theta sobre otros campos donde la función exponencial puede no estar definida en todas partes, como el campo de números p -ádicos .

Representaciones de obras

El producto triple de Jacobi (un caso especial de las identidades de Macdonald ) nos dice que para los números complejos w y q con y tenemos ${\ estilo de visualización | q | <1}$ ${\ estilo de visualización con \ neq 0}$

\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\ izquierda(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}w^{2n}q^{n^{2}} .

Esto se puede probar por medios elementales, como, por ejemplo, en An Introduction to the Theory of Numbers de Hardy y Wright .

Si expresamos la función theta en términos de volúmenes y , entonces ${\ Displaystyle q = e ^ {\ pi {i} \ tau}}$ ${\ Displaystyle w = e ^ {\ pi {i} z}}$

\vartheta (z;\tau)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)= \sum _{n=-\infty}^{\infty}w^{2n}q^{n^{2}}.

Por lo tanto, obtenemos una fórmula producto para la función theta de la forma

\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\grande (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\grande)}{\Grande)}{\Grande (}1+\exp {\grande (} (2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\grande)}{\Grande)}.

En términos de w y q :

{\begin{alineado}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+ q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left( q^{2};q^{2}\right)_{\infty}\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty}\,\left( -{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty}\\&=\left(q^{2};q^{2}\right) _ {\infty}\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{alineado))

donde es el símbolo q -Pochhammer , y es la función q -theta . Si se abren los paréntesis, el triple producto de Jacobi tomará la forma ${\ estilo de visualización (~~; ~~) _ {\ infinito))$ ${\ estilo de visualización \ theta (~~; ~~)}$

\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2) }\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Grande)},

que también se puede reescribir como

\vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi) z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\derecha).

Esta fórmula es cierta para el caso general, pero es de particular interés para z real . Fórmulas de productos similares para funciones theta adicionales

{\begin{alineado}\vartheta_{01}(z\mid q)&=\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right)\ izquierda(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)& =2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right)\left(1 +2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod_{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\derecha).\end{alineado}}

Representaciones enteras

Las funciones theta de Jacobi tienen las siguientes representaciones integrales:

{\begin{alineado}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u ^{2)){\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)))}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z; \tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin (\pi u))))\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i \pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1} {4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u.\end{alineado}}

Valores Explícitos

Véase Yi (2004) [2] .

{\begin{alineado}\varphi (e^{-\pi x})&=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})= \sum _{n=-\infty}^{\infty}e^{-x\pi n^{2}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-\pi}\right)&= {\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{ -2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{6\pi +4{\sqrt {2}}\pi }}{2\Gamma \left({\frac {3 {4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{27\pi +18 {\sqrt {3}}\pi }}{3\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{4}]{8\pi }}+2{\sqrt[{4}]{\pi }}}{4\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{225\pi +100{\sqrt {5}}\pi }}{5\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{-6 \pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3 }}-{\raíz cuadrada[{4}]{27}}+{\raíz cuadrada[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\raíz cuadrada[{8}]{243{\pi }^{ 2)))){6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}\;{\Gamma \left ({\frac{3}{4}}\derecho  )}}}\end{alineado}}

Algunas identidades con series

Istvan Mezo [3] demostró las siguientes dos identidades para series :

{\begin{alineado}\vartheta_{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum_{k=-\infty}^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i))\ln q,q\right),\\[6pt]\vartheta _ {4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k \ln q}{i}},q\derecha).\end{alineado}}

Estas relaciones se cumplen para todo 0 < q < 1 . Fijando los valores de q , obtenemos las siguientes sumas sin parámetros

{\begin{alineado}{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi )))){2))}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2 }\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{ 2}\right)}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),\\[6pt]{ \sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)))&=\ sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k ^{2}}}}\end{alineado}}}

Ceros de las funciones theta de Jacobi

Todos los ceros de las funciones theta de Jacobi son ceros simples y se definen de la siguiente manera:

{\begin{alineado}\vartheta (z,\tau)=\vartheta _{3}(z,\tau)&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{ \frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{1}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z& =m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{2}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2 }}\\[3pt]\vartheta _{4}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\ fin{alineado}}

donde m , n son números enteros arbitrarios.

Relación con la función zeta de Riemann

Relación

\vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )

usó Riemann para probar la ecuación funcional para la función zeta de Riemann a través de la transformada de Mellin

\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{ 2))\int _{0}^{\infty }{\big (}\vartheta (0;it)-1{\big )}t^{\frac {s}{2)){\frac {\ matemáticas {d} t}{t}}

y se puede demostrar que la transformación es invariante bajo el cambio de s a 1 − s . La integral correspondiente para z ≠ 0 se da en el artículo sobre la función zeta de Hurwitz .

Conexión con la función elíptica de Weierstrass

Jacobi usó las funciones theta para construir (en una forma adaptada para simplificar los cálculos) sus funciones elípticas como parciales de las cuatro funciones theta anteriores, y también podría usarlas para construir las funciones elípticas de Weierstrass , ya que

\wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c

donde la segunda derivada se toma con respecto a z , y la constante c se define de modo que la serie de Laurent de la función ℘( z ) en el punto z = 0 tiene un término constante cero.

Relación con la función q -gamma

La cuarta función theta, y luego el resto, está indisolublemente unida a la función q -gamma de Jackson la relación [4] .

\left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{ 2x(1-x))){\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty}^{3}\left(q^{2}-1\right) }}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).

Relación con la función eta de Dedekind

Sea la función eta de Dedekind , y represente el argumento de la función theta como nom . Después ${\ estilo de visualización \ eta (\ tau)}$ ${\ Displaystyle q = e ^ {\ pi {i} \ tau}}$

{\begin{alineado}\theta _{2}(0,q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(0,q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^ {5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )))={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1))),\\[3pt]\theta _ {4}(0,q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right )}{\eta (\tau )}},\end{alineado}}

\theta _{2}(0,q)\,\theta _{3}(0,q)\,\theta _{4}(0,q)=2\eta ^{3}(\ tau).

Véase también el artículo sobre las funciones modulares de Weber .

Módulo elíptico

El J-invariante es igual

{\displaystyle k(\tau)={\frac {\vartheta_{10}(0,\tau)^{2)){\vartheta_{00}(0,\tau)^{2))))

y el módulo elíptico adicional es

k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}

Solución de la ecuación térmica

La función theta de Jacobi es una solución fundamental de la ecuación de calor unidimensional con condiciones de contorno periódicas espaciales [5] . Tomando real, y con t real y positiva , podemos escribir ${\ estilo de visualización z = x}$ ${\ estilo de visualización \ tau = eso}$

\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty}\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)

que resuelve la ecuacion del calor

{\frac {\parcial }{\parcial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial x^{2}}}\vartheta(x,it).

Esta solución theta es 1-periódica en x y tiende a una función delta periódica o peine de Dirac en el sentido de distribuciones ${\ estilo de visualización t \ a 0}$

\lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}\delta (xn)

Las soluciones generales para el problema con valores iniciales periódicos espaciales para la ecuación de calor se pueden obtener convolucionando los datos iniciales con la función theta. $t = 0$

Conexión con el grupo Heisenberg

La función theta de Jacobi es invariante bajo la acción de un subgrupo discreto del grupo de Heisenberg . Esta invariancia se presenta en el artículo sobre la representación theta del grupo de Heisenberg.

Generalizaciones

Si F es una forma cuadrática en n variables, entonces la función theta asociada con F es

{\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)))

con la suma sobre la red de enteros ℤ n . Esta función theta es una forma modular con el peso (sobre un subgrupo propiamente definido) del grupo modular . En una expansión en serie de Fourier ${\tfrac{n}{2))$

{\sombrero {\theta}}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty}R_{F}(k)e^{2\pi ikz},

los números se llaman números de representación de forma . ${\ Displaystyle R_ {F} (k)}$

Función theta de Ramanujan

Función theta riemanniana

Dejar

\mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T)) \,,\,\nombre del operador {Im} F>0\right\}

es el conjunto de matrices cuadradas simétricas cuya parte imaginaria es definida positiva . ℍ n se llama semiespacio superior de Siegel y es el análogo de dimensión superior del semiplano superior . El análogo n -dimensional del grupo modular es el grupo simpléctico Sp(2 n , ℤ ) . para . El papel del análogo n -dimensional de los subgrupos congruentes lo desempeña $n=1~~~\mathrm {Esp} (2,\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$

\ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\rightarrow \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\ grande \}}.

Entonces, si se da , la función theta de Riemann se define como ${\ estilo de visualización \ tau \ en \ mathbb {H} _ {n}}$

\theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp {\bigg (}2\pi i\left({\tfrac {1}{ 2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right){\bigg )}.

Aquí, es un vector complejo n -dimensional, y el superíndice T significa transposición . La función theta de Jacobi es entonces un caso especial con y , donde es el semiplano superior de . $z\in \mathbb {C} _{n}$ $n=1$ ${\ estilo de visualización \ tau \ en \ mathbb {H}}$ ${\ matemáticas {H}}$

La función theta de Riemann converge absoluta y uniformemente en subconjuntos compactos . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n))$

Ecuación funcional de una función

\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^ {\mathsf {T}}\tau b\right)\theta (z,\tau )

que se cumple para todos los vectores y para todos }} y . $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$ $z \in \mathbb{C}^n$ ${\ estilo de visualización \ tau \ en \ mathbb {H} _ {n}}$

Serie Poincaré

La serie de Poincaré generaliza la serie theta a formas automórficas aplicadas a grupos fucsianos arbitrarios .

Notas

↑ Tyurin, 2003 .
↑ Yi, 2004 , pág. 381–400.
↑ Mezo, 2013 , pág. 2401–2410.
↑ Mezo, 2012 , pág. 692–704.
↑ Ohyama, 1995 , pág. 431–450.

Literatura

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Lectura para leer más

Funciones theta, funciones elípticas de Jacobi // Enciclopedia matemática / Vinogradov I. V. - Enciclopedia soviética, 1985. - V. 5. - (Enciclopedias, diccionarios, libros de referencia).
Prasolov VV, Solovyov Yu. P. Ecuaciones algebraicas y funciones theta. — M. : MK NMU, 1994.

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Enlaces

Moisésev Igor. Funciones elípticas para Matlab y Octave . (indefinido)