Dualidad de Pontryagin
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 18 de mayo de 2018; la verificación requiere 1 edición .La dualidad de Pontryagin es una generalización de la transformada de Fourier a grupos abelianos localmente compactos.
Edificio
Sea G un grupo topológico abeliano localmente compacto . En este caso, el grupo de caracteres G ( de homomorfismos de G a U(1) ) también será localmente compacto y se denomina grupo dual de Pontryagin ( G^ ).
Según el teorema de dualidad de Pontryagin , el grupo G^^ es canónicamente isomorfo a G , lo que justifica el uso del término dualidad . La palabra "canónicamente" significa que hay un mapeo natural de G a G^^ , en particular, es funcional . Este mapeo se define de la siguiente manera:
En otras palabras, un elemento x de G está asociado con un mapeo de G^ a U(1) , es decir, un elemento de G^^ .
Motivación
La dualidad de Pontryagin describe uniformemente una serie de observaciones conocidas relacionadas con funciones en el eje real o en un grupo abeliano finito:
- Las funciones periódicas suficientemente suaves de valor complejo en el eje real tienen una expansión en una serie de Fourier y pueden restaurarse a partir de esta expansión .
- Las funciones de valores complejos que son lo suficientemente suaves y cumplen ciertas condiciones de función decreciente en la línea real tienen una imagen de Fourier (esta es una función también definida en toda la línea real) y se pueden restaurar a partir de ella.
- Las funciones de valores complejos en un grupo abeliano finito también tienen una transformada de Fourier discreta , que es una función en el grupo dual (el grupo dual es isomorfo al original, pero no de forma canónica). Una vez más, una función se puede restaurar a partir de su imagen.
- un caso especial bien conocido del párrafo anterior, cuando se considera una función y su imagen sobre el anillo de residuos Z_p. Este caso suele entenderse cuando se habla de la transformada discreta de Fourier .
La teoría de la dualidad de Pontryagin se basa esencialmente en la teoría de los grupos duales para grupos abelianos localmente compactos. Esta dualidad recuerda en muchos aspectos a la conexión entre un espacio vectorial de dimensión finita V y el espacio dual V*. No hay isomorfismo canónico entre ellos, pero las álgebras de sus transformaciones lineales ( álgebras de matrices ) son canónicamente isomorfas (un isomorfismo es una transposición de una matriz ). De manera similar, no hay isomorfismo entre el grupo G y su G^ dual en el caso general, pero sus álgebras de grupo son isomorfas y el isomorfismo canónico que las conecta es la transformada de Fourier.
Ejemplos
Aquí hay ejemplos de grupos abelianos localmente compactos:
- R n , considerado como grupo por adición.
- R + , el conjunto de números reales positivos considerados como un grupo de multiplicación. Isomórfico a R .
- Cualquier grupo abeliano finito con topología discreta . Cualquiera de estos grupos puede representarse como un producto de grupos cíclicos.
- El conjunto de los números enteros Z considerados como grupo por adición.
- El campo Z p de números p-ádicos como un grupo bajo suma con la topología p-ádica estándar.
El grupo U(1) y el grupo de los enteros son duales entre sí, y los grupos ( aditivos ) de números reales y complejos son duales entre sí. Todos los grupos abelianos finitos son también autoduales , en particular los grupos cíclicos finitos .
Medida Haar
Una de las propiedades más importantes de los grupos localmente compactos es que tienen una medida natural única (hasta una constante global) llamada medida de Haar. Usando esta medida, se puede determinar el "tamaño" de los subconjuntos de Borel del grupo. Los subconjuntos de Borel son elementos del σ-álgebra generados por subconjuntos cerrados de G .
Más precisamente, existe una medida de Haar correcta única (hasta una constante) con invariancia a la derecha μ( Ax ) = μ( A ). Aquí x es un elemento de grupo y A es un subconjunto de Borel de G.
La medida de Haar introducida en G nos permite introducir la noción de una integral de funciones de Borel de valor complejo definidas en un grupo. En particular, podemos considerar los espacios L p definidos de la siguiente manera:
Dado que la medida de Haar es única hasta una constante, los espacios introducidos no dependen de la elección de una medida específica, es decir, dependen únicamente del propio grupo G , por lo que es lógico denotarlos como L p (G) . Por otro lado, la norma en estos espacios depende de la elección de la medida.
Literatura
Morris Sidney. La dualidad de Pontryagin y la estructura de los grupos abelianos localmente compactos. - Moscú: Mir, 1980. - S. 104.