Función zeta de Dedekind

La función zeta de Dedekind es la función zeta de un campo numérico algebraico , que es una generalización de la función zeta de Riemann . ${\ estilo de visualización \ zeta _ {K} (s)}$ $k$

Definición y principales propiedades

Sea un campo numérico algebraico, sea un número complejo , entonces $k$ $s$

\zeta _{K}(s)=\sum \limits _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbb {Q } }(yo))^{s}}}

donde pasa por todos los ideales distintos de cero del anillo de enteros en el campo , es la norma absoluta del ideal (que es igual al índice ). Esta serie converge absolutamente para todos con la parte real . $yo$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $k$ $N_{K/\mathbb{Q} }$ $yo$ $[{\mathcal {O}}_{K}\dos puntos I]$ $s\in \mathbb {C}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Re} (s)> 1}$

En general, la función zeta de Dedekind se define como

\zeta _{K}(s)=\sum \limits _{\mathfrak {a}}{\frac {1}{N({\mathfrak {a}})^{s}}}

donde recorre todos los divisores enteros del campo y denota la norma del divisor . $\mathfrak{a}$ $k$ $N({\mathfrak {a}})$ $\mathfrak{a}$

Propiedades

Si es el campo de los números racionales , entonces son las funciones zeta de Riemann. $K=\mathbb {Q}$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {\ mathbb {Q}} (s) = \ zeta (s)}$

Producto de Euler

La función zeta de Dedekind se expande en un producto de Euler sobre todos los ideales primos del anillo . $k$ $PAGS$ ${\mathcal {O}}_{K}$

\zeta _{K}(s)=\prod \limits _{P\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{ (N_{K/\mathbb {Q} }(I))^{s}}}}}

en . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Re} (s)> 1}$

Esta fórmula expresa la singularidad de la descomposición de un ideal en un producto de ideales primos en un anillo de Dedekind . Porque , este producto de factores distintos de cero converge absolutamente a , de donde se sigue que en esta región . $yo$ ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Re} (s)> 1}$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {K} (s)}$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {K} (s) \ neq 0}$

Continuación analítica

${\ estilo de visualización \ zeta _ {K} (s)}$ tiene una continuación analítica de todo el plano complejo, que es una función meromórfica con un polo simple en . $s = 1$

Ecuación funcional

Al igual que la función zeta de Riemann, la función zeta de Dedekind satisface alguna ecuación funcional que relaciona los valores y . Específicamente, sea el discriminante del campo , el número de incrustaciones reales y el número de pares de incrustaciones conjugadas complejas del campo en . Denotar ${\ estilo de visualización \ zeta _ {K} (s)}$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {K} (1-s)}$ ${\ estilo de visualización D (K)}$ $k$ $r$ $t$ $k$ $\matemáticas {C}$

\Gamma _{\mathbf {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)

\Gamma _{\mathbf {C} }(s)=2(2\pi )^{-s}\Gamma(s)

donde está la función gamma . Entonces la función ${\ estilo de visualización \ gamma (s)}$

\Lambda_{K}(s)=|D(K)|^{s/2}\Gamma_{\mathbf {R} }^{r}(s)\Gamma__{\mathbf {C } }^{t}(s)\zeta _{K}(s)

satisface la ecuación funcional

{\ estilo de visualización \ Lambda _ {K} (s) = \ Lambda _ {K} (1-s)}

Relación con las características del campo

Al igual que la función zeta de Riemann, los valores de la función zeta de Dedekind contienen (al menos hipotéticamente) información aritmética importante sobre . $k$

Por ejemplo, un punto es un polo simple , y para el campo de los números algebraicos de grado ( definido arriba), el residuo en este punto es $s = 1$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {K} (s)}$ $k$ ${\ estilo de visualización n = r + 2t}$ ${\ estilo de visualización r, t}$

\lim \limits _{s\to 1+0}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r+t}\pi ^{t}R( K)}{w(K){\sqrt {|D(K)|}}}}h(K)

donde es el número de clases de divisores, es el discriminante del campo , es el controlador del campo y es el número de raíces de 1 contenidas en (el orden del subgrupo de torsión ). El residuo en este punto da una fórmula analítica para el número de clases . $h(k)$ ${\ estilo de visualización D (K)}$ ${\ estilo de visualización R (K)}$ $k$ $w(k)$ $k$ ${\mathcal {O}}_{K}^{\veces}$

Otro ejemplo es el cero , cuyo orden es igual al rango del grupo de unidades del anillo . El límite en este punto es $s=0$ $tu$ ${\mathcal {O}}_{K}$

\lim \limits _{s\to 0}s^{-u}\zeta _{K}(s)=-{\frac {h(K)R(K)}{w(K)} }.

Esto se sigue de la ecuación funcional y la relación . ${\ estilo de visualización u = r + t-1}$

De la ecuación funcional y del hecho de que para todos los números naturales obtenemos que . para todos , excepto cuando sea totalmente válido (es decir, cuando , es decir, cuando o ). En el caso completamente real, Siegel demostró que es un número racional distinto de cero para impar negativo . Stephen Lichtenbaum propuso una conjetura para expresar valores especiales para estos números racionales en términos de la teoría algebraica del campo K. ${\ estilo de visualización \ Gamma (-n) = \ infinito}$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {K} (-2n) = 0}$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {K} (-2n-1) = 0}$ $k$ $k$ $t=0$ $K=\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}],d>0$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {K} (s)}$ $s$ $k$

Relación con las funciones zeta y L

En el caso de que sea una extensión abeliana de , su función zeta de Dedekind se puede representar como productos de funciones L de Dirichlet . Por ejemplo, si es un campo cuadrático , entonces esto significa que $k$ $\matemáticas {Q}$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {K} (s)}$ $k$

{\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta_{\mathbb {Q} }(s)))=L(s,\chi )

donde se usa el símbolo de Jacobi como el carácter de Dirichlet . Esta relación es una reformulación analítica de la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss . $\ chi$

En general, si es una extensión de Galois de un campo con un grupo de Galois , entonces su función zeta de Dedekind es una función L de Artin de la representación regular y, por lo tanto, se descompone en un producto de funciones L de Artin de representaciones irreducibles de Artin . $k$ $\matemáticas {Q}$ $GRAMO$ $GRAMO$ $GRAMO$

La conexión con las funciones L de Artin muestra que si es una extensión de Galois, entonces es holomorfa ( "divide" ). En el caso de una extensión arbitraria, se sigue una afirmación similar de la conjetura de Artin para funciones L ${\ estilo de visualización L/K}$ ${\frac {\zeta _{L}(s)}{\zeta _{K}(s)))$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {K} (s)}$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {L} (s)}$

Además, es la función zeta para Hasse-Weil y la función L motívica del motivo procedente de la cohomología . ${\ estilo de visualización \ zeta _ {K} (s)}$ $\operatorname {Especificación} {\mathcal {O}}_{K}$ $\operatorname {Especificación} K$

Hipótesis de Riemann extendida

La hipótesis de Riemann extendida (RHR) establece que para cualquier campo numérico algebraico, si es una raíz compleja de la ecuación que se encuentra en la llamada franja crítica , entonces su parte real es . $k$ $s$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {K} (s) = 0}$ $0\leqslant \operatorname {Re} s\leqslant 1$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Re} s = {\ frac {1} {2}}}$

La hipótesis habitual de Riemann se obtiene a partir de la extendida para . $K=\mathbb {Q} ,{\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {Z}$

Una versión efectiva [6] del teorema de densidad de Chebotarev sigue de RGR : si es una extensión finita de Galois con un grupo de Galois , y es un conjunto de clases de conjugación , el número de primos no ramificados con una norma que no exceda la clase de conjugación de Frobenius crece como ${\ estilo de visualización L/K}$ $GRAMO$ $C$ $GRAMO$ $k$ $X$ $C$

{\frac {|C|}{|G|))}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x))(n\ln x+ \ln |D(K)|){\bigr )}{\Bigr )

donde la constante in es absoluta, es el grado de extensión sobre , y es el discriminante. $O$ $norte$ $L$ $\matemáticas {Q}$ ${\ estilo de visualización D (K)}$

Literatura

J. Bernstein, San Gelbart. Introducción al Programa Langlands. - Moscú - Izhevsk, 2008.
Z.I.Borevich, I.R.Shafarevich. Teoría de los números. — M.: Nauka. Edición principal de literatura física y matemática, 1985.
J. Cassels, A. Froelich. Teoría algebraica de números. — M.: Mir, 1969.