Extensión abeliana

Una extensión de campo abeliana es una extensión de Galois para la cual el grupo de Galois es abeliano .

Por ejemplo, una extensión es abeliana: su grupo de Galois consta de dos elementos y es abeliana; un automorfismo no trivial intercambia los números y . La extensión no es abeliana: este campo es un campo de descomposición de un polinomio y sus automorfismos, fijándose , permutan distintas raíces de este polinomio , es decir, el grupo de Galois de esta extensión es un grupo simétrico de orden 3 y, por tanto, no es -conmutativo. Un ejemplo importante de una extensión abeliana son las ciclotómicas (extensiones circulares), que se obtienen sumando raíces unitarias al cuerpo , en el caso de un cuerpo de números racionales , como resultado de tal extensión se obtienen campos circulares . De acuerdo con el teorema de Kronecker-Weber, una extensión abeliana arbitraria de números racionales es un subcampo de algún campo circular. $\mathbb{Q} [{\sqrt 2}]$ ${\ sqrt {2}}$ $- {\ sqrt 2}$ $\mathbb{Q} [{\sqrt[ {3}]{2)),{\sqrt 3}i]$ $x^{3}-2$ $\matemáticas {Q}$

Si un campo contiene una raíz primitiva de unidad , entonces la extensión obtenida al agregarle la raíz de un grado de algún elemento ( la extensión de Kummer ) es abeliana. Para el caso general $norte$ $norte$ [ aclarar ] esta afirmación no es cierta.

Una extensión cíclica es un caso especial importante de una extensión abeliana, una extensión para la cual el grupo de Galois es cíclico . Una extensión finita arbitraria de un campo finito es cíclica.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Abelian Extension (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .