Función L de Artin

La función L de Artin es un tipo de serie de Dirichlet asociada con la representación del grupo de Galois de una extensión de campo numérico . Estas funciones fueron introducidas en 1923 por Emil Artin , en relación con su trabajo en la teoría del campo de clases . Las propiedades fundamentales de estas funciones, en particular la conjetura de Artin , que se describe a continuación, han demostrado ser resistentes a la evidencia fácil. Uno de los objetivos de la teoría del campo de clases no abeliana propuesta es incorporar las funciones L analíticas complejas de Artin en una teoría más amplia que se derivaría de las formas automórficas y el programa Langlands . Hasta ahora, solo una pequeña parte de dicha teoría se ha construido sobre una base sólida. $\rho$ $GRAMO$

Definición

Sea una representación de grupo en un espacio vectorial complejo de dimensión finita , donde es el grupo de Galois de una extensión finita del campo numérico . La función L de Artin es entonces igual al producto infinito de los factores de Euler sobre todos los ideales primos . Para cada ideal primo del anillo de enteros del campo , el factor de Euler se determina fácilmente si no está ramificado en (lo cual es cierto para casi todos ). En este caso, el elemento de Frobenius se define como la clase de conjugación en . Por tanto, el polinomio característico de la matriz está bien definido. El multiplicador de Euler es una ligera modificación del polinomio característico, también bien definido: $\rho :G\to \mathrm {GL} (V)$ $GRAMO$ $V$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización L/K}$ ${\ estilo de visualización L (\ rho, s)}$ $PAGS$ $PAGS$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $k$ $PAGS$ $L$ $PAGS$ $\mathrm {Frob}_{P}$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización \ rho (\ mathrm {Frob} _ {P})}$ $PAGS$

\operatorname {charpoly} (\rho (\mathrm {Frob}_{P}))^{-1}=\operatorname {det} [Et\rho (\mathrm {Frob}_{P})] ^{-1},

como una función racional de , tomada en , donde es una variable compleja, como en la función zeta de Riemann habitual . (Aquí está la norma del ideal). $t$ ${\displaystyle t=N(P)^{-s))$ $s$ $norte$

Si se ramifica, a es el grupo de inercia , que es un subgrupo de , se usa una construcción similar, pero el subespacio es puntualmente invariante bajo la acción de . $PAGS$ $yo$ $GRAMO$ $V$ $yo$

Como muestra la ley de reciprocidad de Artin , cuando es un grupo abeliano , las funciones L de Artin son funciones L de Dirichlet para y, en el caso general, son funciones L de Hecke . Aparecen diferencias no triviales para un grupo no abeliano y su representación. $GRAMO$ $K=\mathbb {Q}$ $GRAMO$

Un ejemplo de aplicación es factorizar las funciones zeta de Dedekind en el caso de un campo numérico, que es una extensión de Galois sobre números racionales. Dado que la representación regular se descompone en representaciones irreducibles , la función zeta de Dedekind también se puede representar como un producto de las funciones L de Artin , para cualquier representación irreducible . $GRAMO$

Más precisamente, si es una extensión de Galois del grado , es una representación irreducible de , entonces la expansión se sigue de ${\ estilo de visualización L/K}$ $norte$ $\rho$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Gal} (L/K)}$ $\zeta_{L}(s)=L(\rho_{\text{regular)),s)=\prod \limits_{\rho }L(\rho ,s)^{\deg( \rho )}$

L(\rho ,s)=\prod \limits _{P\in K}{\frac {1}{\det[EN(P)^{-s}\rho (\mathrm {Frob} _ {P}){\estilo de script |V_{P,\rho }}]}}),

-\ln \det[EN(P)^{-s}\rho (\mathrm {Frob} _{P})]=\sum \limits _{m=1}^{\infty}{\ frac {\nombre del operador {tr} (\rho (\mathrm {Frob} _{P})^{m})}{m}}N(P)^{-sm}

\sum \limits _{\rho {\text{ irreducible))}\deg(\rho )\operatorname {tr} (\rho (\sigma ))={\begin{casos}n{\text{ con }}\sigma =1\\0{\text{ de lo contrario }},\end{casos}}

-\sum _{\rho {\text{ irreducible))}\deg(\rho )\ln \det[EN(P^{-s})\rho (\mathrm {Frob} _{P} )]=n\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N(P)^{-sfm}}{fm}}=-\ln[(1-N(P)^{- sf})^{n/f}]

donde es el grado de la representación irreducible en la representación regular, es el orden y se reemplaza por por primos ramificadores. ${\ estilo de visualización \ grados (\ rho)}$ $F$ $\mathrm {Frob}_{P}$ $norte$ $nordeste$

Dado que los caracteres forman una base ortonormal, después de probar algunas propiedades analíticas , obtenemos el teorema de la densidad de Chebotarev como una generalización del teorema de los números primos de Dirichlet en progresión aritmética . ${\ estilo de visualización L (\ rho, s)}$

Ecuación funcional

Las funciones L de Artin satisfacen la ecuación funcional . La función está asociada con , donde denota la representación compleja conjugada de . Más precisamente, se reemplaza por , en el que se multiplica por algunos factores gamma , y luego se satisface la relación entre las funciones meromórficas ${\ estilo de visualización L (\ rho, s)}$ ${\ estilo de visualización L (\ rho ^ {*}, 1-s)}$ ${\ estilo de visualización \ rho ^ {*}}$ $L$ ${\ estilo de visualización \ Lambda (\ rho, s)}$ $L$

{\ estilo de visualización \ Lambda (\ rho, s) = W (\ rho) \ Lambda (\ rho ^ {*}, 1-s)}

donde es un número complejo con módulo 1, llamado número de Artin raíz . Se ha estudiado en profundidad con respecto a dos tipos de sus propiedades. Primero, Langlands y Deligne lo descompusieron en el producto de las constantes locales de Langlands-Deligne ; Esto es importante en conexión con conexiones hipotéticas con representaciones automórficas . En segundo lugar, el caso en que y son representaciones equivalentes corresponde exactamente al caso en que la ecuación funcional tiene las mismas funciones L en ambos lados . Este es, algebraicamente hablando, el caso donde es una representación real o una representación de cuaternión . El número raíz de Artin en este caso es . La cuestión de qué signo tiene lugar exactamente está relacionada con la teoría del módulo de Galois ( Perlis 2001 ). ${\ estilo de visualización W (\ rho)}$ $\rho$ ${\ estilo de visualización \ rho ^ {*}}$ $\rho$ $\pm 1$

La hipótesis de Artin

La conjetura de Artin establece que si es una representación irreducible no trivial, entonces la función L de Artin es analítica en todo el plano complejo [1] . $\rho$ ${\ estilo de visualización L (\ rho, s)}$

Se sabe que para representaciones unidimensionales, la función L de Artin estará relacionada con el carácter de Hecke , y en particular con la función L de Dirichlet . [1] Artin demostró la afirmación más general de que la conjetura de Artin es verdadera para cualquier representación inducida por representaciones unidimensionales. Si el grupo de Galois es supersoluble , o más generalmente monomio , entonces todas sus representaciones son tales que se cumple la conjetura de Artin.

André Weil demostró la conjetura de Artin en el caso de los campos de función .

Las representaciones bidimensionales se clasifican según las imágenes de sus subgrupos: pueden ser cíclicas, diédricas, tetraédricas, octaédricas o icosaédricas. La conjetura de Artin para el caso cíclico y diédrico se obtiene fácilmente del trabajo de Hecke . Langlands usó el cambio de base para probar el caso tetraédrico y Tunnel amplió su trabajo para cubrir el caso octaédrico; Wiles usó estos casos en su prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura . Richard Taylor y otros han hecho algunos progresos en este caso icosaédrico ( indecidible ); esta es ahora un área activa de investigación.

Del teorema del carácter inducido de Brouwer se deduce que todas las funciones L de Artin se descomponen en un producto de potencias enteras de las funciones L de Hecke y, por lo tanto, son meromórficas en todo el plano complejo.

Langlands (1970 ) señaló que la conjetura de Artin se deriva de resultados bastante fuertes del programa de Langlands relacionados con funciones L asociadas con representaciones automórficas para GL(n) para todos . Más precisamente, las conjeturas de Langlands asocian una representación automórfica del grupo adele con cada representación -dimensional irreducible del grupo de Galois que es una representación cúspide si la representación de Galois es irreductible, de modo que la función L - Artin de la representación de Galois es la misma como la función L automórfica de la representación automórfica. La conjetura de Artin se sigue inmediatamente del hecho conocido de que las funciones L de las representaciones automórficas de las cúspides son holomorfas. Este fue uno de los motivos principales del trabajo de Langlands. $n\geqslant 1$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {GL} _ {n} (A_ {\ mathbb {Q}})}$ $norte$

La hipótesis de Dedekind

La conjetura debilitada (a veces llamada conjetura de Dedekind) establece que si es una extensión de un cuerpo numérico, entonces el cociente de sus funciones zeta de Dedekind es una función completa . ${\ estilo de visualización M/K}$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {M} (s) / \ zeta _ {K} (s)}$

El teorema de Aramata-Brauer establece que la conjetura sigue siendo cierta si la extensión es una extensión de Galois. ${\ estilo de visualización M/K}$

De manera más general, sea el cierre de Galois y sea el grupo de Galois de . El cociente es igual a la función Artin L asociada con la representación natural asociada con la acción de conservación en el lugar en incrustaciones complejas . Así, la conjetura de Artin implica la conjetura de Dedekind. $norte$ $METRO$ $k$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización N/K}$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {M} (s) / \ zeta _ {K} (s)}$ $GRAMO$ $METRO$ $k$

La conjetura fue probada en el caso donde es un grupo soluble de forma independiente por Uchida y van der Waal en 1975. $GRAMO$

Enlaces

↑ 1 2 Martinet (1977) p.18

Artin, E. Uber eine neue Art von L Reihen (neopr.) // Hamb. Matemáticas. Abh.. - 1923. - T. 3 . Reimpreso en sus obras completas, ISBN 0-387-90686-X . Traducción al inglés en Artin L-Functions: A Historical Approach por N. Snyder.
Artin, Emil (1930), Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren. , Abhandlungen Hamburg Vol. 8: 292–306 , DOI 10.1007/BF02941010
Tunnell, Jerrold. Conjetura de Artin para representaciones de tipo octaédrico (inglés) // Bull. amer Matemáticas. soc. : diario. - 1981. - vol. 5 , núm. 2 . - pág. 173-175 . -doi : 10.1090/ S0273-0979-1981-14936-3 .
Gelbart, Esteban Formas automórficas y la conjetura de Artin // Funciones modulares de una variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976) (inglés) . - Berlín: Springer, 1977. - vol. 627.-P.241-276. — (Apuntes de clase en Matemáticas).
Langlands, Robert (1967), Carta al Prof. Bien , < http://publications.ias.edu/rpl/section/21 >
Langlands, R.P. (1970), Problemas en la teoría de las formas automórficas , Conferencias sobre análisis y aplicaciones modernas, III , vol. 170, Lecture Notes in Math, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , p. 18–61, ISBN 978-3-540-05284-5 , doi : 10.1007/BFb0079065 , < http://publications.ias.edu/rpl/section/21 >
Martinet, J. (1977), Teoría de caracteres y funciones L de Artin, en Frohlich, A. , Algebraic Number Fields, Proc. Síntoma Matemáticas de Londres. Soc., Univ. Durham 1975 , Prensa Académica, pág. 1–87, ISBN 0-12-268960-7
Prasad, Dipendra y Yogananda, CS (2000), Bambah, RP; Dumir, VC y Hans-Gill, RJ, eds., Informe sobre la conjetura de holomorfia de Artin , Birkhauser Basel, pág. 301–314, ISBN 978-3-0348-7023-8 , doi : 10.1007/978-3-0348-7023-8_16 , < http://www.math.tifr.res.in/~dprasad/artin.pdf >

Enlaces externos

Perlis, R. (2001), Números raíz de Artin , en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Funciones L en teoría de números
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