Integral diferencial de Riemann-Liouville

En matemáticas, la integral diferencial de Riemann-Liouville asigna una función real a otra función del mismo tipo para cada valor del parámetro . Esta integral diferencial es una generalización de la antiderivada iterada de en el sentido de que para números enteros positivos , es la derivada iterativa de la función de orden . La integral diferencial de Riemann-Liouville lleva el nombre de Bernhard Riemann y Joseph Liouville , el último de los cuales fue el primero en considerar la posibilidad del cálculo fraccionario en 1832. [1] Este operador es consistente con la transformada de Euler cuando actúa sobre funciones analíticas . [2] Fue generalizado a dimensiones arbitrarias por Marcel Rees , quien introdujo el potencial de Rees . $f\dos puntos\R\a\R$ $yo^{\alfa}f$ $\alfa >0$ $F$ $\alfa$ $yo^{\alfa}f$ $F$ $\alfa$

La integral de Riemann-Liouville se define como:

I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{a}^{x}f(t)(xt)^{ \alfa -1}\,dt,

donde es la función gamma , y es un punto de referencia arbitrario pero fijo. El hecho de que esta integral esté bien definida está asegurado por la integrabilidad local de la función , es un número complejo en el semiplano . La dependencia del punto de referencia a menudo no es significativa y representa la libertad de elegir la constante de integración . es por supuesto la antiderivada (de primer orden) de la función , para enteros positivos es la antiderivada del orden según la fórmula de integración iterada de Cauchy . En otra notación, enfatizando la dependencia del punto de referencia, tiene la forma [3] : $\Gama$ $a$ $F$ $\alfa$ $\mathrm {Re} \,\alpha >0$ $a$ $yo^{1}f$ $F$ $\alfa$ $yo^{\alfa}f$ $\alfa$

{}_{a}\mathbb {D} _{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )))\int \limits_{ a}^{x}f(t)(xt)^{\alpha -1}\,dt.

Esta expresión también tiene sentido para , con las restricciones correspondientes en . $a=-\infty$ $F$

Las relaciones fundamentales siguen siendo:

{\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\ beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,

la última de las cuales es una propiedad de semigrupo . [1] Estas propiedades permiten no solo definir la integración fraccionaria, sino también la diferenciación fraccionaria tomando un número suficiente de derivadas de la función . $yo^{\alfa}f$

Propiedades

Sea un intervalo acotado fijo . El operador mapea cualquier función integrable en una función en , que también es integrable por el teorema de Fubini . Así, define un operador lineal en el espacio : $(a,\;b)$ ${\ Displaystyle yo ^ {\ alfa}}$ $F$ $(a,\;b)$ $yo^{\alfa}f$ $(a,\;b)$ ${\ Displaystyle yo ^ {\ alfa}}$ $L^{1}(a,\;b)$

I^{\alpha }\dos puntos L^{1}(a,\;b)\a L^{1}(a,\;b).

También se sigue del teorema de Fubini que este operador es continuo con respecto a la estructura del espacio de Banach en . Por lo tanto, la siguiente desigualdad es cierta: $L^1$

\|I^{\alpha }f\|_{1}\leqslant {\frac {|ba|^{\mathrm {Re} \,\alpha }}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.

Aquí denota la norma en . ${\ estilo de visualización \|\ cdot \|_{1))$ $L^{1}(a,\;b)$

En un caso más general, de la desigualdad de Hölder se sigue que si pertenece a , entonces también pertenece a y se cumple una desigualdad similar: $F$ $L^{p}(a,\;b)$ $yo^{\alfa}f$ $L^{p}(a,\;b)$

\|I^{\alpha }f\|_{p}\leqslant {\frac {|ba|^{\mathrm {Re} \,\alpha \,/\,p)){\mathrm { Re} \,\alfa \,|\Gamma (\alfa )|}}\|f\|_{p},

donde es la norma espacial en el intervalo . Así define un operador lineal acotado de a sí mismo. Además, tiende a en -sentido a lo largo del eje real. Eso es: ${\displaystyle \|\cdot \|_{p))$ $L^{p}$ $(a,\;b)$ ${\ Displaystyle yo ^ {\ alfa}}$ $L^{p}(a,\;b)$ $yo^{\alfa}f$ $F$ $L^{p}$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ a 0}$

\lim _{\alpha \to 0+}\|I^{\alpha }ff\|_{p}=0

para todos Además, al evaluar la función máxima del operador , se puede probar la convergencia puntual en casi todas partes . $p\leqslant 1$ $yo$ $I^{\alpha }f\to f$

El operador está bien definido sobre el conjunto de funciones localmente integrables sobre toda la línea real . Define un mapeo acotado sobre cualquier espacio de Banach de funciones de tipo exponencial , consistente en funciones localmente integrables para las cuales la norma ${\ Displaystyle yo ^ {\ alfa}}$ $\matemáticas {R}$ $X_{\sigma}=L^{1}(e^{-\sigma |t|}\,dt)$

\|f\|=\int \limits _{-\infty}^{\infty}|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt

finito. Para out , la transformada de Laplace de la función toma una forma particularmente simple: $F$ ${\ Displaystyle X_ {\ sigma}}$ $yo^{\alfa}f$

({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s),

donde _ Aquí, la transformada de Laplace de una función se denota por y esta propiedad expresa el hecho de que es un multiplicador de Fourier . $\mathrm {Re} \,s>\sigma$ $F$ $F$ ${\ Displaystyle yo ^ {\ alfa}}$

Derivadas fraccionarias

También puede definir derivadas de orden fraccionario de la función : $F$

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \ rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f,

donde denota la operación de tomar la parte entera de . También se puede obtener una interpolación diferencial-integral entre diferenciación e integración definiendo: ${\ estilo de visualización \ lceil \ cdot \ rceil}$

\mathbb {D} _{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\dfrac {d^{\lceil \alpha \rceil}}{dx^{\lceil \ alfa \rceil ))}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x),&\alpha >0;\\f(x),&\alpha =0;\\I^{-\ alfa }f(x),&\alfa <0.\end{casos}}

Notas

↑ 1 2 Lizorkin, PI (2001), Integración y diferenciación fraccionaria , en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Brychkov, Yu.A. & Prudnikov, A. P. (2001), Transformación de Euler , en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Miller y Ross, 1993 , pág. 21

Enlaces

Hille, Einar & Phillips, Ralph S. (1974), Análisis funcional y semigrupos , Providence, RI: American Mathematical Society .
Miller, Kenneth S. & Ross, Bertram (1993), Introducción al cálculo fraccionario y ecuaciones diferenciales fraccionarias , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9 .
Riesz, Marcel (1949), L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy , Acta mathematica Vol. 81 (1): 1–223, ISSN 0001-5962 , DOI 10.1007/BF02395016 .
Alan Beardón. Cálculo fraccionario II . Universidad de Cambridge (2000). Archivado desde el original el 17 de mayo de 2012. (indefinido)
Alan Beardón. Cálculo fraccionario III . Universidad de Cambridge (2000). Archivado desde el original el 17 de mayo de 2012. (indefinido)