Operador continuo lineal

Un operador continuo lineal que actúa desde un espacio topológico lineal X en un espacio topológico lineal  Y  es una aplicación lineal de  X a  Y que tiene la propiedad de continuidad .  

El término " operador continuo lineal " se usa generalmente cuando Y es multidimensional . Si Y es unidimensional, es decir coincide con el propio campo ( o ), entonces se acostumbra utilizar el término funcional continuo lineal [1] . El conjunto de todos los operadores continuos lineales de  X a  Y se denota por .

En la teoría de espacios normados, los operadores lineales continuos se conocen más comúnmente como operadores lineales acotados por la siguiente razón. La teoría de los operadores lineales continuos juega un papel importante en el análisis funcional , la física matemática y las matemáticas computacionales .

Propiedades

• Si X es de dimensión finita , entonces cualquier operador lineal es continuo.
• La continuidad de un operador lineal en cero es equivalente a su continuidad en cualquier otro punto (y, por lo tanto, a lo largo de X ).
• Para espacios normados , las condiciones de continuidad y acotación (es decir, la finitud de la norma del operador ) son equivalentes. [2] . En el caso general, la continuidad de un operador lineal implica acotación, pero lo contrario no siempre es cierto.
• Si X e Y  son espacios de Banach , y la imagen del operador  coincide con el espacio  Y , entonces existe un operador inverso (el llamado teorema del operador inverso ). 
• El conjunto de todos los operadores continuos lineales de X a  Y es en sí mismo un espacio topológico lineal. Si X e Y están normalizados, entonces también está normalizado por la norma del operador . Si Y  es Banach, entonces también lo es, independientemente de la integridad  de X.

Las propiedades de un operador continuo lineal dependen en gran medida de las propiedades de los espacios X e Y. Por ejemplo, si X  es un espacio de dimensión finita , entonces el operador será un operador completamente continuo , su rango será un subespacio lineal de dimensión finita, y cada operador puede representarse como una matriz [3] .

Continuidad y sucesiones convergentes

Un operador lineal que actúa desde un espacio topológico lineal X en un espacio topológico lineal Y es continuo si y solo si para cualquier secuencia de puntos en X , se sigue de .

Deje que la serie converja y sea un  operador lineal continuo. Entonces la igualdad

Esto significa que el operador lineal se puede aplicar término por término a series convergentes en espacios topológicos lineales.

Si X , Y  son espacios de Banach , entonces el operador continuo transforma cada secuencia débilmente convergente en una débilmente convergente:

Definiciones relacionadas

• Se dice que un operador lineal está acotado por abajo si .

Véase también

• operador adjunto

Literatura

• Trenogin V. A. Análisis funcional. — M .: Nauka , 1980 . — 495 pág.
• Halmos P. Espacios vectoriales de dimensión finita = Espacios vectoriales de dimensión finita. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 págs.
• Shilov G. E. Análisis matemático (funciones de una variable), parte 3. - M .: Nauka , 1970 . — 352 págs.

Notas

1. ↑ Los funcionales lineales continuos tienen propiedades específicas que no tienen lugar en el caso general y generan estructuras matemáticas especiales, por lo que la teoría de los funcionales lineales continuos se considera separada de la teoría general.
2. ↑ Naimark M. A. Anillos normados. — M .: Nauka, 1968. — 664 p.
3. ↑ Además, en un espacio de dimensión finita con base , un operador continuo lineal se puede representar como , donde son funciones del espacio dual .