Función lineal fraccionaria

Una función fraccionaria lineal es una función numérica que se puede representar como una fracción, cuyo numerador y denominador son funciones lineales .

La función fraccionaria lineal, que generalmente asigna un espacio numérico multidimensional a un espacio numérico unidimensional, es un caso especial importante:

tanto en el espacio real como en el complejo: una función racional , que en el caso general mapea un espacio numérico unidimensional en sí mismo usando polinomios de una variable de grado arbitrario ; $n=1$
porque en un espacio complejo, una transformación fraccionario-lineal , que en el caso general mapea un espacio complejo multidimensional en sí mismo; $n=1$
cuando en complejo y cuando en espacio real, invirtiendo con respecto a círculos , - Transformaciones de Möbius . $n=1$ $n=2$

Formal definición

Una función fraccionaria lineal es una función numérica de la forma

\mathbb {U} ^{n}\to \mathbb {U} :w=L(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})={\frac {a_{1 }u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots +a_{n}u_{n}+b}{c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+\cdots +c_{n}u_{n}+d}},

donde son números complejos ( ) o reales ( ), son respectivamente variables complejas o reales, son respectivamente coeficientes complejos o reales, ${\ estilo de visualización \ mathbb {U}}$ $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {R}$ $u_1, u_2, \puntos, u_n$ $a_{1},a_{2},\puntos,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\puntos,c_{n},$ ${\ estilo de visualización b, d}$

|c_{1}|+|c_{2}|+\puntos +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

La generalización a cuaterniones es posible [2] .

Casos degenerados [1] :

|c_{1}|=|c_{2}|=\puntos =|c_{n}|=0,

entonces la función fraccionaria lineal se convierte en una función lineal completa ;

si el rango de la matriz

\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\ end{matriz}}\right)

es igual a uno, entonces la función fraccionaria lineal degenera en una constante .

Para una función fraccionaria lineal adecuada (no degenerada) [1] :

$|c_{1}|+|c_{2}|+\puntos +|c_{n}|>0;$
igual al rango de dos matrices

\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\ end{matriz}}\right).

Función lineal fraccionaria real

Una función lineal fraccionaria real es una función numérica de la forma

\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :y=L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{1 }x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}+d}},

donde son números reales , son variables reales, son coeficientes reales, $\matemáticas {R}$ $x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}$ $a_{1},a_{2},\puntos,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\puntos,c_{n},$ ${\ estilo de visualización b, d}$

|c_{1}|+|c_{2}|+\puntos +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

Función de una variable

En el caso más simple y real $n=1$

{\ estilo de visualización x_ {1} = x,}

a_{1}=a,

b,

c_{1}=c,

d

gráfico de una función fraccionaria lineal - hipérbola isósceles con asíntotas

{\ estilo de visualización x = -d/c}

y=a/c,

paralelo a los ejes de coordenadas: [1] .

Asíntotas de una hipérbola

Sea una función fraccionaria lineal de una variable

y={\frac{ax+b}{cx+d))

es irreducible, es decir , y no puede reducirse a una función lineal completa, es decir, . Seleccionamos la parte entera de la fracción y sacamos el coeficiente en [3] : $ad-bc\neq 0$ $c\neq 0$ $X$

y={\frac {{\frac {a}{c}}x+{\frac {b}{c}}}{x+{\frac {d}{c}}}}={\frac { {\frac {a}{c}}\left(x+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c ^{2}}}\right)}{x+{\frac {d}{c}}}}=

={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c))))}.

Ahora está claro que el gráfico de la función se obtiene del gráfico mediante las siguientes transformaciones elementales: ${\frac{ax+b}{cx+d}}$ ${\frac{1}{x))$

tiempos de estiramiento a lo largo del eje , y en el caso de reflexión sobre el eje ; $\left|{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\right|$ $Oye$ $anuncio-bc>0$ $Buey$
moviéndose paralelo al eje por ; $Buey$ $-{\frac{d}{c))$
moviéndose paralelo al eje por . $Oye$ ${\frac{a}{c}}$

Así, una función lineal-fraccional de una variable es una hipérbola ordinaria de segundo orden, las rectas y son las asíntotas de la hipérbola, mutuamente perpendiculares y paralelas a los ejes coordenados, y el punto de intersección de las asíntotas , que no pertenece a la curva, es su centro [3] . ${\frac{ax+b}{cx+d}}$ $x=-{\frac{d}{c))$ $y={\frac{a}{c}}$ $\left(-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}\right)$

También es obvio que la función lineal-fraccional de una variable [3] : ${\frac{ax+b}{cx+d}}$

“pierde su significado”, es decir, no tiene significado, deja de “existir” en el punto ; $x=-{\frac{d}{c))$
en los intervalos y la función crece en todas partes como y decrece en todas partes como ; $\left(-\infty,-{\frac {d}{c))\right)$ $\left(-{\frac {d}{c)),+\infty \right)$ $anuncio-bc>0$ $anuncio-bc<0$
con un aumento ilimitado en el valor de la función, se aproximan indefinidamente a , lo que también se puede ver en la transformación ${\ estilo de visualización | x |}$ ${\frac{a}{c}}$

{\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {a+{\frac {b}{x}}}{c+{\frac {d}{x}}}}.

Derivado

\left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c))))))\right) ' ={\frac{ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c)))^{2}}}.

Integral indefinida :

\int \left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})))\right )dx={\frac {a}{c}}x-{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\ln \left|x+{\frac {d}{c}}\right| +C.

La ecuación canónica de una hipérbola

Primero damos la función

y={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c))))}}

transformaciones de coordenadas a la forma

y'={\frac {m}{x'}}.

Para ello, hacemos las siguientes sustituciones:

x'=x+{\frac {d}{c)),

y'=y-{\frac {a}{c)),

m=-{\frac {ad-bc}{c^{2}}},

obtenemos la forma requerida de la función [4] .

Ahora vamos a rotar los ejes de coordenadas en un ángulo cambiando las coordenadas $45^{\circ},$

x'=x''\cos(45^{\circ })-y''\sin(45^{\circ })={\frac {x''-y''}{\sqrt { 2}}},

y'=x''\sin(45^{\circ })+y''\cos(45^{\circ })={\frac {x''+y''}{\sqrt { 2}}},

obtenemos nuevas coordenadas [4] :

x'y'=m,

{\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}}{\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}}=m,

{\frac {x''^{2}}{2m}}-{\frac {y''^{2}}{2m}}=1.

La última ecuación es la ecuación canónica de una hipérbola equilátera con semiejes [4] $a=b={\sqrt {2|m|}}.$

Función de dos variables

En el caso de y real, la gráfica de una función lineal-fraccional $n=2$ ${\ estilo de visualización x_ {1},}$ ${\ estilo de visualización x_ {2},}$ ${\ estilo de visualización a_ {1},}$ ${\ estilo de visualización a_ {2},}$ $b,$ ${\ estilo de visualización c_ {1},}$ ${\ estilo de visualización c_ {2},}$ $d$

y={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+d} }

es un paraboloide hiperbólico [1] .

Función lineal-fraccional compleja

Una función fraccionaria lineal compleja es una función numérica de la forma

\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1 }z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},

donde son números complejos , son variables complejas, son coeficientes complejos, $\matemáticas {C}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},\puntos,z_{n))$ $a_{1},a_{2},\puntos,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\puntos,c_{n},$ ${\ estilo de visualización b, d}$

|c_{1}|+|c_{2}|+\puntos +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

Para funciones fraccionarias lineales complejas $n=1$

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d))

—

función analítica de una variable compleja en todo el plano complejo extendido , excepto en el punto donde la función fraccionaria lineal compleja tiene un polo simple [1] . ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ${\ estilo de visualización z = -d/c}$

Para funciones fraccionarias lineales complejas $n\geqslant 1$

\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1 }z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},

—

una función meromórfica en el espacio de variables complejas que tiene un conjunto polar ${\matemáticas C}^{n}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},\puntos,z_{n))$

\{z\in \mathbb {C} ^{n};c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d= 0\}

[1] .

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Encyclopedia of Mathematics , volumen 2, 1979 , st. 384.
↑ Alan F. Beardon. La geometría de los grupos discretos, 1983 , p. 56.
↑ 1 2 3 Enciclopedia de Matemáticas Elementales . Libro tercero, 1952 , pág. 56-57.
↑ 1 2 3 Efimov N. V. Curso corto de geometría analítica, 2005 , 119, p. 120.

Literatura

Efimov N. V. Un curso breve de geometría analítica: Uchebn. tolerancia. 13ª ed., estéreo. M.: FIZMATLIT, 2005. 238 p., il. ISBN 5-9221-0252-4 .
Enciclopedia matemática : cap. edición I. M. Vinogradov , volumen 2 D-Koo. M .: "Enciclopedia soviética", 1979. 1104 stb., Ill.
Enciclopedia de Matemáticas Elementales . Libro tres. Funciones y Límites (Fundamentos de Análisis) / Ed. P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich y A. Ya. Khinchin . M., L.: Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1952. 559 p., il.
Alan F. Beardón. La geometría de los grupos discretos. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag, 1983. 337 p., 93 il.