Duración

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Duración ( Duración inglesa - " duración ") - el término promedio ponderado del flujo de pagos , y los pesos son el costo de los pagos descontados . La duración es la característica más importante del flujo de efectivo, que determina la sensibilidad de su valor actual a los cambios en la tasa de interés . La duración de un flujo depende no solo de su estructura, sino también de la tasa de interés actual. Cuanto mayor sea la tasa, menor será la participación del costo de los pagos a largo plazo en comparación con los cortos y menor la duración, y viceversa, cuanto menor sea la tasa, mayor será la duración del flujo de pago.

El concepto de duración fue introducido por el científico estadounidense F. Macaulay ( ing. FR Macaulay ).

Definición, fórmula de cálculo e interpretación

Duración - promedio ponderado

La duración de los bonos sin opción se calcula utilizando la fórmula de promedio ponderado de la siguiente manera:

D={\overline {T}}={\frac {\sum_{i}\ PV_{i}\cdot t_{i}}{\sum_{i}PV_{i}}}={ \frac {\sum_{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}\cdot t_{i}}{\sum_{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}}}

D={\overline {T}}={\frac {\sum_{i}{CF_{i}}\cdot {e}^{-{r_{c}}{t_{i}}} \cdot t_{i}}{\sum _{i}{CF_{i}}\cdot {e}^{-{r_{c}}{t_{i}}}}},

dónde:

{\ Displaystyle CF_ {i}}

— el pago;

i

r

- tasa de descuento , rendimiento de la inversión alternativa por unidad de tiempo (año, trimestre, etc.);

r_{c}

- la tasa de descuento para la acumulación continua de intereses;

PV_{i}

— valor descontado del pago i - ésimo;

t_{yo}

— punto temporal del i - ésimo pago;

El denominador de esta fórmula es una estimación del valor presente del flujo de efectivo a una tasa de descuento dada. Si el flujo de efectivo es generado por un instrumento financiero que tiene una evaluación de mercado (u otra) del precio actual, entonces la tasa de descuento en este caso es el rendimiento interno intrínseco de este instrumento (para bonos, el rendimiento al vencimiento ). Esta tasa se determina a partir de la igualdad $PAGS$

P=PV(r)=\sum_{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}.

Se supone que el mercado determina efectivamente la tasa de descuento requerida y refleja el rendimiento requerido sobre instrumentos con un nivel de riesgo similar.

La duración es una medida del riesgo de tasa de interés

Si consideramos el valor descontado del flujo de efectivo como una función de la tasa de interés, entonces podemos mostrar que la duración del flujo de efectivo es igual al valor descontado del flujo de efectivo a la tasa de interés (o, de manera equivalente, en ) , tomado con el signo opuesto de elasticidad (derivada logarítmica) , es decir $1+r$

D=-{\frac {d\ln PV}{d\ln(1+r)))=-{\frac {dPV/PV}{d(1+r)/(1+r)} }=-{\frac {1+r}{PV}}{\frac {dPV}{dr}}.

Como consecuencia,

dPV/PV=-Dd\ln(1+r)=-Ddr/(1+r).

Con pequeños cambios en las tasas, los diferenciales pueden ser reemplazados simplemente por cambios:

\delta PV=\Delta PV/PV\approx =-D\delta r=-D\Delta r/(1+r).

Así, la duración permite una evaluación simplificada del grado de dependencia del precio de mercado del instrumento de los cambios en la tasa de interés. Cuanto mayor sea la duración del instrumento, mayor será el cambio en su valor de mercado cuando cambien las tasas de interés, es decir, mayor será el riesgo de tasa de interés .

Duración modificada

Si en la igualdad aproximada anterior usamos la llamada duración modificada igual a

MD=-{\frac {d\ln PV}{dr}}=D/(1+r),

La evaluación de la sensibilidad de la tasa de interés se simplifica:

\delta PV\approx -MD\cdot \Delta r.

Nota

Al estimar el posible cambio en el valor razonable de un flujo de efectivo utilizando la duración (modificada), se debe tener en cuenta la naturaleza aproximada de esta estimación. Además de las imprecisiones cuantitativas, también existe una diferencia cualitativa entre la dependencia verdadera y la linealizada con la ayuda de la duración o la duración modificada: los mismos cambios positivos y negativos en la tasa de interés afectan el cambio de precio en el mismo valor absoluto. En realidad, este no es el caso: el precio cambia asimétricamente con tasas crecientes y decrecientes, es decir, bajar la tasa conduce a un mayor aumento en el precio que bajar el precio cuando se aumenta la tasa en el mismo valor absoluto. A efectos de aclaración (tanto cuantitativa como cualitativa), junto con la duración, también se utiliza la denominada convexidad del flujo de caja , que es una corrección de segundo orden. Este ajuste al cambio de precio depende del cuadrado del cambio de la tasa (es decir, no depende del signo), por lo que cuando las tasas suben, reduce el grado de caída del precio previsto por la duración, y cuando la tasa baja, se reduce. aumenta el crecimiento estimado por duración. Así, también se tiene en cuenta la asimetría y se especifica cuantitativamente la estimación.

Otra versión de una estimación más precisa se basa en el hecho de que la imprecisión cualitativa está asociada no solo (y no tanto) con la linealización, sino también con la sustitución de cambios en logaritmos con tasas de crecimiento ordinarias. Si usamos los propios logaritmos, entonces las estimaciones serán cualitativamente más adecuadas a la verdadera dependencia (aunque también habrá una inexactitud cuantitativa):

\Delta \ln PV=-D\Delta \ln(1+r).

A partir de esta relación, se deriva la siguiente dependencia aproximada más verdadera del cambio en el valor actual:

\delta PV\approx (1+\Delta r/(1+r))^{-D}-1.

En esta dependencia, la asimetría se tiene en cuenta naturalmente (este método de cálculo es más preciso, pero algo menos conveniente debido a la no linealidad de la dependencia).

Interpretación adicional

Teniendo en cuenta la última igualdad aproximada anterior, se puede dar una interpretación más a la duración. Considere cómo cambiará aproximadamente el costo actual del flujo si la tasa de interés disminuye a cero ( ): $\Delta r=0-r=-r$

\delta PV\aprox. (1+(-r)/(1+r))^{-D}-1=(1+r)^{D}-1.

Como consecuencia

P(0)\aprox. P(r)(1+r)^{D}.

Es obvio que - la cantidad total de flujo de caja. Por lo tanto, la duración (a una tasa determinada) también se puede interpretar como un período aproximado durante el cual debe invertir una cantidad a una tasa para recibir una cantidad igual al flujo de efectivo total al final de este período. Esta interpretación es más precisa cuanto menor es la tasa. $P(0)=\sum_{i}CF_{i}$ $P(r)$ $r$

Duración de algunos flujos de pagos

Duración de una anualidad

Se puede demostrar que la duración de una renta vitalicia limitada por el término T es igual al siguiente valor:

D={\frac {1+r}{r}}-{\frac {T}{(1+r)^{T}-1}}.

La duración modificada se puede obtener dividiendo por . $1+r$

Aquí, la fórmula implica la tasa efectiva para el intervalo de anualidad y el plazo y duración también en los intervalos de anualidad. Si usamos la tasa efectiva anual, entonces para la duración en años la fórmula será:

D=t\times {\frac {(1+r)^{t}}{(1+r)^{t}-1}}-{\frac {T}{(1+r)^ {T}-1}},

donde es la duración del intervalo de la anualidad en años (fracción de un año), es el plazo de la anualidad en años, es la tasa efectiva anual. Para t = 1 obtenemos la fórmula anterior. $t$ $T$ $r$

Para una anualidad perpetua , la fórmula de duración se puede definir como el límite de la fórmula anterior en (el segundo término en este caso tenderá a cero). También puede derivar la fórmula directamente. El valor presente de una anualidad perpetua es . Usemos la fórmula a través de la derivada. La derivada de esta función con respecto a es obviamente igual a . Multiplicando este valor por y dividiendo por , finalmente obtenemos la fórmula de duración: $T\rightarrow\infty$ $VP=A/r$ $r$ $-A/r^{2}$ $(1+r)$ $fotovoltaica$

D=(1+r)/r.

La duración modificada es obviamente igual en este caso a . $DM=1/r$

Duración del bono

Para un bono cupón cero con fecha de vencimiento, el valor presente es $norte$ $t$

PV=N/(1+r)^{t}.

También coincide con el valor descontado de un pago único, por lo que su duración es simplemente igual al plazo del bono:

{\ estilo de visualización D = t.}

En el caso de un bono con cupón, el flujo de efectivo consiste en pagos de cupón y la redención de la par. En este caso, la redención del valor nominal puede ser a plazos (amortización) y la tasa del cupón puede, en general, cambiar durante el período de circulación del bono. Si el valor de los cupones se denota por , y el rescate del valor nominal es , entonces la duración del bono será igual a $C_{yo}$ $Nueva Jersey}$

D={\frac {\sum _{i=1}^{m}{\frac {C_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}t_{i}+ \sum _{j=1}^{k}{\frac {N_{j}}{(1+r)^{t_{j}}}}t_{j}}{P}},

donde es el precio del bono (se supone que el rendimiento al vencimiento del bono se utiliza como valor, por lo tanto ). $PAGS$ $r$ $VA(r)=P$

La fórmula tendrá exactamente la misma forma si en lugar del valor de los cupones utilizamos las tasas de cupón correspondientes, en lugar de los importes de los reembolsos del valor nominal - las participaciones de los reembolsos del valor nominal, y en lugar del precio de los bono en términos monetarios , utilice el precio estándar como un porcentaje (acciones) del valor nominal. $C_{yo}$ $Nueva Jersey}$ $PAGS$

Ceteris paribus, cuanto mayor sea el vencimiento y (o) menor la tasa de cupón y (o) menor el rendimiento al vencimiento, mayor será la duración del bono. En igualdad de condiciones, cuanto más a menudo se paga el cupón, más corta es la duración.

En el caso más simple de una tasa de cupón constante y una redención de suma global del valor nominal al final del plazo, puede usar la función DURACIÓN integrada en Microsoft Office Excel 2007 para calcular la duración .

Ejemplo

Deje que se dé un bono de cupón con un valor nominal de 1000 rublos con un vencimiento residual de 2 años y 3 meses. La redención del bono es una suma global al final del plazo. Rendimiento del cupón - 12% anual. La frecuencia de pago del cupón es 4 veces al año (es decir, el tamaño del cupón es de 30 rublos). Se supone que también se espera el primer cupón en 3 meses. El precio de mercado actual del bono es de 1.035,85 rublos.

El flujo de caja del bono (trimestral) será (30,30,30,30,30,30,30,1030). En primer lugar, utilizando la función TIR integrada en Excel, puede determinar el rendimiento hasta el vencimiento, aproximadamente un 2,5 % por trimestre. Sobre una base anualizada, esto es alrededor del 10,38 % (incluido el interés compuesto), pero en este caso no importa. La duración será

{\begin{aligned}D={\frac {1}{1035,85}}(&1\cdot 30/1{,}025^{1}+2\cdot 30/1{,}025^{2 }+3\cdot 30/1{,}025^{3}+4\cdot 30/1{,}025^{4}+\\&+5\cdot 30/1{,}025^{5} +6\cdot 30/1{,}025^{6}+7\cdot 30/1{,}025^{7}+8\cdot 1030/1{,}025^{8})\aprox. {alineado}}

\quad \approx (29{,}27+57{,}11+83{,}57+108{,}71+132{,}58+155{,}2+176{,}67+ 6762{,}95)/1035{,}85\aprox.

\quad \aproximadamente 7506{,}1/1035{,}85\aproximadamente 7{,}246,

es decir, aproximadamente 7,25 trimestres, o 1,81 años (aproximadamente 1 año y 10 meses), o 661 días.

Usando la duración en años, puede estimar en qué porcentaje cambiará el precio de un bono cuando cambie el rendimiento, por ejemplo, en un 1% anual. Para ello, estimamos la duración modificada: 1,81/1,035 = 1,74. Por tanto, el porcentaje de cambio de precio será del 1,74%. Esto corresponde aproximadamente al precio de 1.053,87 rublos a tasas más bajas y 1.017,82 rublos. cuando las tasas suben. Se puede obtener una estimación más precisa de la sensibilidad del valor de un bono utilizando adicionalmente la convexidad del flujo de caja .

Véase también

Enlaces

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