Anillo euclidiano

El anillo euclidiano es un anillo algebraico general en el que hay un análogo del algoritmo euclidiano .

Definición

Un anillo euclidiano es una región de integridad , para la cual se define la función euclidiana ( norma euclidiana ) , tal que la división es posible con un resto en la norma menor que el divisor, es decir, para cualquiera hay una representación para la cual o [ 1] . $R$ $d \colon R \setminus \{ 0 \} \to \mathbb N_0$ $a,b\en R,\, b\ne 0$ $a=bq+r$ $d(r)<d(b)$ $r=0$

Restricción adicional

A menudo, se impone una restricción adicional a la norma euclidiana: para cualquier distinto de cero y del anillo . Si se da una norma que no cumple con esta condición, se puede corregir redefiniendo: $d(a)\leqslant d(ab)$ $a$ $b$ $R$ $R$

d'(a) = \min_{x\in R\setminus\{0\}} d(ax)

Tal norma satisface la desigualdad deseada, sin embargo, el algoritmo anterior de división con resto requiere corrección (porque y se divide por con resto: , donde y , y como se sigue de la definición , se obtiene la representación deseada con ). $x\en R$ $d'(b) = d(bx)$ $hacha$ $bx$ $ax = bxq' + r'x$ $r' = a - bq'$ $d(r'x)<d(bx)=d'(b)$ $d'(r')\leqslant d(r'x)$ $a = bq' + r'$ $d'(r')<d'(b)$

No hay tantas ventajas de tal norma: todos los elementos invertibles tienen el mismo valor de norma, y el mínimo de todos los elementos (finitos), los divisores propios del elemento tienen un valor de norma más pequeño, y también simplifica la prueba directa de la factorialidad de los anillos euclidianos (sin referencia a la factorialidad de los anillos principales). ideales , cuya demostración requiere el uso de la inducción transfinita ). Pero las propiedades básicas de los anillos euclidianos siguen siendo válidas incluso sin esta propiedad adicional. $a$

Ejemplos

Anillo de números enteros . Un ejemplo de una función euclidiana es el valor absoluto . $\matemáticas {Z}$ $|\cpunto|$
El anillo de enteros gaussianos (donde es la unidad imaginaria , ) con norma es euclidiana. ${\matemáticas{Z}}[i]$ $i$ $i^{2}=-1$ $d(a+ib) = a^2 + b^2$
Un campo arbitrario es un anillo euclidiano con norma igual a 1 para todos los elementos excepto 0. $k$
Anillo de polinomios de una variable sobre un campo . Un ejemplo de una función euclidiana es el grado deg. $k[x]$ $k$
El anillo de series de potencias formales sobre un campo es un anillo euclidiano. La norma de una serie de potencias es el número del primer coeficiente distinto de cero en ella. $K[[x]]$ $k$
- De manera más general, cualquier anillo local es euclidiano si el ideal maximal en él es principal y la intersección de todas sus potencias consiste solo en cero. La norma de un elemento invertible es igual a 0, de uno irreversible distinto de cero - el grado máximo del ideal máximo que contiene el elemento dado.
El anillo de funciones que son holomorfas en un conjunto compacto conexo en (cada una de ellas debe ser holomorfa en alguna vecindad de este conjunto compacto; dos funciones de este tipo se consideran iguales en si coinciden en alguna vecindad de ) también es euclidiana. La norma de una función distinta de cero es el número de ceros (teniendo en cuenta la multiplicidad) que toma . $H(K)$ $k$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ $H(K)$ $k$ $k$
Una intersección numerable de anillos euclidianos (subanillos en algún anillo) no tiene por qué ser un anillo euclidiano (e incluso noetheriano o factorial ). Por ejemplo, un anillo de funciones que son holomorfas en un círculo abierto es una intersección de anillos euclidianos de funciones que son holomorfas en círculos cerrados contenidos dentro de , pero no es noetheriano ni factorial, respectivamente, y no euclidiano. $H(\matemáticas D)$ $\matemáticas D$ $H(K)$ $k$ $\matemáticas D$
El anillo de fracciones de un anillo euclidiano por el sistema multiplicativo también es euclidiano. Se toma la norma de una fracción de : $S^{-1}R$ $R$ $S$ $X$ $S^{-1}R$

d_S(x) = \min\{d_R(u):\,(u,s)\in R\times S, \, x=u/s\},

donde es la norma euclidiana en , y es la norma en .

dr

R

d_S

S^{-1}R

La división con resto se define de la siguiente manera: sean dos fracciones distintas de cero y de S −1 R . Por la definición de una norma en hay elementos en y en tales que y . Después de dividir con resto en el anillo de elementos y - , de manera que resulta ; las desigualdades se siguen de la construcción .

x=r/t

y

S^{-1}R

tu

R

s

S

y = tu / s

d_S(y) = d_R(u)

R

rs

tu

rs = uq + r

d_R(r')<d_R(u)

r/t = (u/s)(q/t) + r'/ts

d_S(r'/ts)\leqslant d_R(r')< d_R(u) = d_S(y)

El anillo de los decimales finitos es euclidiano , ya que es el anillo de los cocientes del anillo de los enteros . $\matemáticas {Z}$
Los anillos de funciones racionales sobre un campo con polos fijos son euclidianos , ya que tales anillos son anillos de cocientes del anillo polinomial . $\matemáticas {C}$ $\mathbb{C}[x]$

Algoritmo de Euclides

En el anillo euclidiano, implementamos el algoritmo euclidiano para encontrar el máximo común divisor de dos números (elementos). Sean inicialmente dos elementos y , y y . La división con resto da un elemento con . Si es distinto de cero, puede volver a aplicar la división con un resto para obtener el elemento , y así sucesivamente. Esto genera una cadena de valores con . Sin embargo, esta cadena se interrumpe, ya que cualquier número natural puede exceder estrictamente solo a un número finito de otros números naturales. Esto quiere decir que para algunos el resto es cero, y no igual, es el máximo común divisor de los elementos y . Por tanto, en un anillo euclidiano se garantiza la terminación del algoritmo euclidiano. Estrictamente hablando, es en los anillos euclidianos donde es posible la implementación del algoritmo euclidiano. $un_{0}$ $un_{1}$ $d(a_1)\leqslant d(a_0)$ $a_1\ne0$ $a_2 = a_0 - a_1q_1$ $d(a_2)<d(a_1)$ $a_3 = a_1 - a_2q_2$ $a_0, a_1, a_2, \puntos$ $d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\puntos$ $norte$ $a_{{n+1}}$ $un$ $un_{0}$ $un_{1}$

Propiedades de los anillos euclidianos

En un anillo euclidiano, todo ideal es principal (en particular, todos los anillos euclidianos son noetherianos ).
- Sea un ideal arbitrario en el anillo euclidiano. Si contiene solo , es el principal. De lo contrario, entre sus elementos distintos de cero, hay un elemento con una norma mínima (el principio mínimo para los números naturales). Divide todos los demás elementos del ideal: presentando un elemento arbitrario de la forma c , resulta que también es un elemento del ideal y debe ser cero, ya que su norma es menor que y . Por lo tanto, el ideal está contenido en el ideal . Por otro lado, todo ideal que contiene el elemento contiene el ideal , lo que implica que es el ideal principal. $yo$ ${\ estilo de visualización 0}$ $F$ $g \ en yo$ $g = fq + r$ $d(r) < d(f)$ $r$ $yo$ $F$ $yo$ $(F)$ $F$ $(F)$ $yo = (f)$
Cada anillo euclidiano es factorial, es decir, cada elemento puede representarse por un producto finito de elementos simples y, además, de forma única (hasta su permutación y multiplicación por elementos invertibles). La factorialidad es una propiedad común de todos los anillos ideales principales .
Cada anillo euclidiano es integralmente cerrado , es decir, si la fracción es la raíz de un polinomio con el mayor coeficiente igual a 1, entonces es divisible por . El cierre integral es una propiedad común de todos los anillos factoriales. $R$ $a/b,\,a,b\en R$ $f\en R[x]$ $a$ $b$

Propiedades de los módulos sobre un anillo euclidiano

Sea un anillo euclidiano. Luego, los módulos generados finitamente tienen las siguientes propiedades: $R$ $R$

Cada submódulo de un módulo generado finitamente se genera finitamente (una consecuencia de que el anillo es noetheriano ). $norte$ $R$ $METRO$ $R$
El rango de un submódulo no excede el rango de un módulo (una consecuencia del principado de ideales es un teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre dominios de ideales principales ). $norte$ $METRO$ $R$
Un submódulo de un módulo libre también es libre. $R$
Un homomorfismo de módulos generados finitamente siempre se reduce a la forma normal. Es decir, hay generadores (una base, si el módulo está libre) del módulo N que forman una (base) del módulo M , el número y son elementos del anillo tal que divide y para i > k , y para el resto- . Además, los coeficientes se determinan de forma única hasta la multiplicación por elementos invertibles del anillo . (El hecho de que el anillo sea euclidiano está directamente relacionado con esta propiedad ). $A\dos puntos N\a M$ $R$ $u_1, u_2, \puntos, u_n$ $v_1, v_2, \puntos, v_m$ $k\leqslant \min\{m,n\}$ $a_1,\puntos,a_k$ $R$ $ai}$ $a_{yo+1}$ $Au_i = 0$ $Au_i = a_iv_i$ $a_1,\puntos,a_k$ $R$ $R$

Véase también

Notas

↑ Kurosh, 1962 , pág. 91.

Enlaces

Weisstein, Eric W. El anillo euclidiano en Wolfram MathWorld .
BL van der Waerden. Álgebra. - San Petersburgo. : Lan, 2004. - 624 p. — ISBN 5-8114-0552-9 .
Kurosh A. G. Conferencias sobre álgebra general. - M. : Fizmatlit, 1962. - 400 p.
Algoritmo de Rodossky K. A. Euclid. - M. : Nauka, 1988. - 239 p.
J. von zur Gathen, J. Gerhard. Álgebra informática moderna. - Prensa de la Universidad de Cambridge, 1999. - 771 p. - ISBN 0-521-82646-2 .

Diagrama de inclusión de algunas clases de anillos.
anillos conmutativos ⊃ anillos integrales ⊃ anillos factoriales ⊃ dominios ideales principales ⊃ anillos euclidianos ⊃ campos