El problema de la bala de cañón

El problema de las balas de cañón ( ing. problema de balas de cañón ) - el problema de encontrar la cantidad de balas de cañón que se pueden colocar en una capa en forma de cuadrado, y en forma de pirámide con un cuadrado en la base, es decir, sobre encontrar números cuadrados , que también son números piramidales cuadrados . Encontrar este número se reduce a resolver la ecuación diofántica o . La ecuación tiene dos soluciones: y , es decir, una bala de cañón, y y , es decir, 4900 balas de cañón. ${\ estilo de visualización \ suma _ {n = 1} ^ {N} n ^ {2} = M ^ {2}}$ ${\frac{1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ ${\ estilo de visualización N = 1}$ $METRO=1$ ${\ estilo de visualización N = 24}$ ${\ estilo de visualización M = 70}$

Historial de problemas

Las cuestiones de apilar balas de cañón ya eran de interés para Sir Walter Raleigh y su contemporáneo Thomas Harriot [1] , pero en la forma anterior fue formulada en 1875 por Edouard Lucas , quien sugirió que no hay otras soluciones además [2] . Moret-Blanc (1876) [3] y el propio Lucas (1877) [4] ofrecieron pruebas parciales . La primera prueba completa fue ofrecida por Watson (1918) [5] ; la demostración utilizó funciones elípticas [6] . Otra prueba fue propuesta por Ljunggren (1952) [7] utilizando la ecuación de Pell [8] . Ma (1985) [9] y Anglin (1990) [10] [6] han propuesto pruebas que utilizan solo funciones elementales . ${\ estilo de visualización N = 1}$ ${\ estilo de visualización N = 24}$

Evidencia

Prueba de Watson

La prueba de Watson [5] se basa en la observación de que de tres números , y uno debe ser divisible por 3; y o , o debe ser par; y que todos los demás factores deben ser cuadrados. Por lo tanto, seis opciones son posibles: $norte$ $N+1$ $2N+1$ $norte$ $N+1$

$N=3a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=3b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=3c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=6b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=3c^{2}.$

Sin embargo, dado que solo puede tener residuos 0 o 2 cuando se divide por 3, la primera opción conduce a una contradicción. Del mismo modo, puede excluir las opciones segunda, tercera y cuarta. ${\ estilo de visualización 2b^{2}}$

La quinta opción conduce a la solución . De hecho, sólo es posible para impar , y , es decir, hay números enteros y tales que o . Sin embargo, esto lleva a una contradicción . Por lo tanto, , es decir, y . Como muestra Gerono , y son las únicas soluciones del último sistema de ecuaciones [11] . El caso es imposible porque ; el caso conduce a . Una prueba alternativa de la unicidad de la solución en este caso utiliza el hecho de que las únicas soluciones son y se da en el capítulo 6.8.2 del libro de Cohen [12] . ${\ estilo de visualización N = 24}$ ${\displaystyle N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2))$ $C$ ${\ estilo de visualización (c-1) (c + 1) = 12a ^ {2))$ $d$ $mi$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a =de$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a =de$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a =de$ $3e^{2}-d^{2}\equiv 1{\pmod {3}}$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a =de$ ${\displaystyle c-1=6d^{2},\ c+1=2e^{2))$ ${\displaystyle c+1=2e^{2},\ c^{2}+1=2b^{2))$ ${\ estilo de visualización c = 1}$ ${\ estilo de visualización c = 7}$ ${\ estilo de visualización c = 1}$ ${\ estilo de visualización N = 0}$ ${\ estilo de visualización c = 7}$ ${\ estilo de visualización N = 24}$ ${\ estilo de visualización N = 24}$ ${\ estilo de visualización y^{2}=8x^{4}+1}$ $(0,\;1),\ (0,\;-1),\ (1,\;3),\ (1,\;-3),\ (-1,\;3), \(-1,\;-3)$

La demostración de la ausencia de soluciones no triviales en la sexta variante requiere el uso de funciones elípticas. De hecho, la sexta variante puede reducirse a la forma . En lugar de estas ecuaciones, Watson considera un caso más general y muestra que las soluciones de estas ecuaciones deben satisfacer , donde es un número entero no negativo , , , y , y son funciones elípticas de Jacobi . A continuación, Watson demuestra que es numéricamente igual a uno solo si , es decir , y la única solución posible en este caso es . ${\displaystyle 2b^{2}-a^{2}=1,2b^{2}+a^{2}=3c^{2))$ ${\ estilo de visualización 2X^{2}-Y^{2}=Z^{2},2X^{2}+Y^{2}=3W^{2))$ ${\frac {Z}{W}}=(-1)^{r}\operatorname {sd} ((2r+1)\beta ){\sqrt {\frac {3}{2}}}$ $r$ $\beta$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (\beta)={\frac {1}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2))))$ $\operatorname {dn} (\beta)={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sn}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {cn}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {dn}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sd}}$ $Z$ $r=0$ ${\ estilo de visualización X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=W^{2}=1}$ ${\ estilo de visualización N = 1}$

Prueba Ma

La prueba de la unicidad de las soluciones anteriores, propuesta por Ma, se basa en la prueba consistente de las siguientes afirmaciones [12] :

La única solución uniforme al problema del apilamiento del núcleo es . De hecho, la paridad permite excluir las opciones 1, 4 y 6 de la prueba de Watson, las opciones 2 y 3 conducen a una contradicción (ver prueba de Watson), y es la única solución posible para la opción 5. ${\ estilo de visualización (24,70)}$ $norte$ ${\ estilo de visualización (24,70)}$
deja _ Entonces, para no negativo , tiene la forma solo para . $\alpha =2+{\sqrt {3)),\beta =2-{\sqrt {3)),M_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/ 2$ $norte$ $Minnesota}$ ${\ estilo de visualización 4x^{2}+3}$ $n=2$
El único número impar que satisface el problema de apilamiento central es . De hecho, argumentando de manera similar a la prueba de Watson, el impar debe satisfacer la opción 6, es decir, . Ya que para any , y , esto también es cierto para . Sustituyendo y en lugar de y , obtenemos , es decir, . Como genera un conjunto de unidades , existe tal que , donde se define arriba, y . Dado que es positivo y, por definición , . Por el lema anterior, , es decir, y . $norte$ ${\ estilo de visualización N = 1}$ $norte$ ${\displaystyle N=a^{2},N+1=2b^{2},2N+1=3c^{2))$ $X$ ${\ estilo de visualización (4x+3)^{2}-8(x+1)(2x+1)=1}$ ${\ estilo de visualización 4x+3=2(2x+1)+1}$ $norte$ ${\ estilo de visualización 2b^{2}}$ ${\ estilo de visualización 3c^{2}}$ $x+1$ $2x+1$ $(2(3c^{2})+1)^{2}-8\cdot 2b^{2}\cdot 3c^{2}=1$ ${\ estilo de visualización (6c^{2}+1)^{2}-3(4bc)^{2}=1}$ $2 + \sqrt{3}$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ $n\in \mathbb {Z}$ $6c^{2}+1+4bc{\sqrt {3}}=\pm (M_{n}+G_{n}{\sqrt {3}})$ $Minnesota}$ $G_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/(\alpha -\beta )$ $Minnesota}$ $M_{n}=6c^{2}+1$ $a$ $M_{n}=4a^{2}+3$ ${\ estilo de visualización n = 2, M_ {n} = 7}$ $un=1$ $n=1$

Los detalles de la prueba se dan en el capítulo 6.8.2 del libro de Cohen [12] .

Generalizaciones del problema

Salvo un caso trivial , no hay número de balas de cañón que puedan colocarse en forma de pirámide con un cuadrado en la base, y que sean a la vez un cubo, la cuarta o quinta potencia de un número natural. número [13] . Además, lo mismo ocurre con el apilamiento de núcleos en forma de tetraedro regular [13] . ${\ estilo de visualización N = 1}$

Otra generalización del problema es la cuestión de encontrar el número de núcleos que se pueden colocar en forma de un cuadrado y una pirámide truncada con un cuadrado en la base. Es decir, buscar cuadrados consecutivos (no necesariamente a partir de 1) cuya suma sea un cuadrado. Se sabe que el conjunto de tales es infinito, tiene una densidad asintótica de cero, y para , que no son cuadrados, hay infinitas soluciones [8] . El número de elementos del conjunto que no exceda se estima como . Los primeros elementos del conjunto y los correspondientes valores más pequeños tales que es un cuadrado se dan en la siguiente tabla [8] : $norte$ $S$ $norte$ $norte$ $N(x)$ $S$ $X$ $c_{1}{\sqrt {x}}<N(x)<c_{2}{\frac {x}{\ln {x}}}$ $norte$ $S$ $a$ ${\displaystyle \sum _{k=a}^{a+n-1}k^{2))$

norte	2	once	23	24	26	33	47	49	cincuenta	59
a	3	Dieciocho	7	una	25	7	539	25	7	22

Para y la solución es una terna pitagórica . Para y la solución es la solución anterior del problema de apilar balas de cañón. La secuencia de elementos establecidos es la secuencia A001032 en OEIS [14] . $n=2$ $un=3$ ${\ estilo de visualización 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$ $n=24$ $un=1$ $S$

Kaneko y Tachibana [15] consideraron otra generalización del problema : en lugar de la cuestión de la igualdad de la suma de los primeros números cuadrados y otro número cuadrado, consideraron la cuestión de la igualdad de la suma de los primeros números poligonales. y otro número poligonal y mostró que para cualquiera hay infinitas secuencias de los primeros números -gonales tales que su suma es igual a otro número poligonal, y que para cualquiera existe un número infinito de números -gonales representables como la suma de secuencias de los primeros números poligonales. Además, Kaneko y Tachibana establecieron que para cualquier número natural se cumplen las siguientes relaciones: $m\geqslant 3$ $metro$ $n\geqslant 3$ $norte$ $k$

Pyr_{m}(3(m-2)k-2)=G_{9k+2}((m-2)^{2}k-m+3),

Pyr_{m}(3k-1)=G_{(m-2)k+3}(3k-1),

Pyr_{m}(6k-3)=G_{4(m-2)(2k-1)+6}(3k-1),

G_{n}((n-2)k^{2}-3k+1)=Pyr_{3k+2}((n-2)k-2),

G_{n}(8k^{2}-6k+1)=Pyr_{3(n-2)k+2}(4k-2),

donde es el número -th-coal, y es el número piramidal -th -coal , es decir, la suma de los primeros números -th -coal [15] . ${\ Displaystyle G_ {m} (n)}$ $norte$ $metro$ $Pir_{m}(n)$ $norte$ $metro$ $norte$ $metro$

Relación con otras áreas de las matemáticas

Una solución no trivial conduce a la construcción de la red de Leach (que, a su vez, está asociada con varias áreas de las matemáticas y la física teórica: teoría de cuerdas bosónicas , monstruo ). Esto se hace utilizando una red unimodular uniforme en un espacio pseudo-euclidiano de 25+1 dimensiones . Considere el vector de esta red . Dado que y es una solución al problema de apilar balas de cañón, este vector es similar a la luz , de donde, en particular, se sigue que pertenece a su propio complemento ortogonal . Según Conway [16] [17] , el vector permite construir una red de Leach ${\ estilo de visualización N = 24}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {II} _ {25,1}}$ $w=(0,\;1,\;2,\;\ldots,\;23,\;24;\;70)$ ${\ estilo de visualización N = 24}$ ${\ estilo de visualización M = 70}$ $w\cdot w=0$ ${\ estilo de visualización w ^ {\ bot}}$ $w$

como un conjunto de factores , que está correctamente definido debido a la semejanza de la luz ; ${\ estilo de visualización (w ^ {\ bot} \ cap \ mathrm {II} _ {25,1}) / w}$ $w$
como el conjunto de todos los vectores tales que . Dichos vectores forman el conjunto de las llamadas raíces fundamentales de la red . En todos los casos en que sea posible de esta manera construir un conjunto de raíces fundamentales de una red unimodular par en un espacio pseudo-euclidiano , siempre se puede usar un vector entero con componentes espaciales consecutivos desde cero; y para que este conjunto forme una red, este vector debe ser similar a la luz. Y dado que es la única solución no trivial al problema de apilar balas de cañón, entonces la red de Leach de 24 dimensiones es la única red que se puede obtener de esta manera a partir de . $r\in \mathrm {II} _{25,1}$ $r\cdot r=2,r\cdot w=-1$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {II} _ {25,1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {II} _ {n, 1}}$ ${\ estilo de visualización N = 24}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {II} _ {n, 1}}$

Véase también

Empaque denso de esferas iguales

Notas

↑ David Darling. Problema de la bala de cañón . La Enciclopedia de Internet de la Ciencia . Consultado el 6 de julio de 2017. Archivado desde el original el 23 de diciembre de 2017. (indefinido)
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↑ Claude Séraphin Moret-Blanc. Pregunta 1180 // Nouv. Ana. Matemáticas. - 1876. - Emisión. 15. - S. 46-48.
↑ Eduardo Lucas. Pregunta 1180 // Nouv. Ana. Matemáticas. - 1877. - Emisión. 15.- S. 429-432.
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↑ D. G. Ma. Una prueba elemental de las soluciones a la ecuación diofántica . // Sichuan Daxue Xuebao. - 1985. - Edición. 4.- S. 107-116. ${\ estilo de visualización 6y ^ {2} = x (x + 1) (2x + 1)}$
↑ WS Anglin. El rompecabezas de la pirámide cuadrada. //Amer. Matemáticas. Mensual. - 1990. - Edición. 97. - S. 120-124.
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