La ley de inducción electromagnética de Faraday es la ley básica de la electrodinámica , relativa a los principios de funcionamiento de transformadores , estranguladores , muchos tipos de motores eléctricos y generadores . [1] La ley establece:
o en otras palabras:
En este caso, la corriente de inducción está dirigida de tal manera que su acción es opuesta a la acción de la causa que provocó esta corriente ( regla de Lenz ). [2]
La inducción electromagnética fue descubierta de forma independiente por Michael Faraday y Joseph Henry en 1831, pero Faraday fue el primero en publicar los resultados de sus experimentos [3] [4] .
En la primera demostración experimental de inducción electromagnética (agosto de 1831), Faraday envolvió dos cables alrededor de los lados opuestos de un toroide de hierro (un diseño similar a un transformador moderno ). Basándose en su evaluación de una propiedad recientemente descubierta de un electroimán, esperaba que cuando se encendía una corriente en un cable de un tipo especial, una onda pasaría a través del toro y causaría alguna influencia eléctrica en su lado opuesto. Conectó un cable al galvanómetro y lo miró mientras el otro cable estaba conectado a la batería. De hecho, vio una breve oleada de corriente (a la que llamó "onda de electricidad") cuando conectó el cable a la batería, y otra oleada similar cuando la desconectó. [5] En dos meses, Faraday encontró varias otras manifestaciones de inducción electromagnética. Por ejemplo, vio oleadas de corriente cuando insertó rápidamente un imán en la bobina y la retiró. Generó una corriente continua en un disco de cobre que giraba cerca del imán con un cable eléctrico deslizante (" disco de Faraday ") [6] .
Faraday explicó la inducción electromagnética utilizando el concepto de las llamadas líneas de fuerza . Sin embargo, la mayoría de los científicos de la época rechazaron sus ideas teóricas, principalmente porque no estaban formuladas matemáticamente. [7] La excepción fue Maxwell , quien utilizó las ideas de Faraday como base para su teoría electromagnética cuantitativa. [7] [8] [9] En las obras de Maxwell, el aspecto de la variación temporal de la inducción electromagnética se expresa en forma de ecuaciones diferenciales. Oliver Heaviside llamó a esto la ley de Faraday, aunque difiere un poco en la forma de la versión original de la ley de Faraday y no tiene en cuenta la inducción de CEM durante el movimiento. La versión de Heaviside es una forma del grupo de ecuaciones reconocidas hoy en día, conocidas como ecuaciones de Maxwell .
Emil Khristianovich Lenz formuló en 1834 la ley (regla de Lenz) , que describe el "flujo a través del circuito" y da la dirección de la fem y la corriente inducidas como resultado de la inducción electromagnética.
Algunos físicos señalan que la ley de Faraday describe dos fenómenos diferentes en una ecuación: la FEM del motor generada por la acción de una fuerza magnética sobre un cable en movimiento y la FEM del transformador generada por la acción de una fuerza eléctrica debido a un cambio en el campo magnético. James Clerk Maxwell llamó la atención sobre este hecho en su On Physical Lines of Force en 1861. En la segunda mitad de la parte II de este trabajo, Maxwell da una explicación física separada para cada uno de estos dos fenómenos. La referencia a estos dos aspectos de la inducción electromagnética se encuentra en algunos libros de texto modernos. [11] Como escribe Richard Feynman: [12]
Reflejar esta aparente dicotomía fue una de las principales vías que llevaron a Einstein a desarrollar la relatividad especial :
En el caso general, la explicación de la aparición de un motivo EMF con la ayuda de la acción de una fuerza magnética sobre cargas en un cable en movimiento o en un circuito que cambia su área es insatisfactoria. De hecho, las cargas en un cable o en un circuito pueden estar completamente ausentes, ¿desaparecerá el efecto de la inducción electromagnética en este caso? Esta situación se analiza en el artículo, en el que, al escribir las ecuaciones integrales del campo electromagnético en forma covariante tetradimensional, en lugar de la derivada temporal parcial en la ley de Faraday, aparece la derivada temporal total del flujo magnético a través del circuito. . [14] Por lo tanto, la inducción electromagnética ocurre cuando el campo magnético cambia con el tiempo o cuando cambia el área del circuito. Desde un punto de vista físico, es mejor hablar no de la FEM de inducción, sino de la intensidad del campo eléctrico inducido que se produce en el circuito cuando cambia el flujo magnético. En este caso, la contribución a partir del cambio en el campo magnético se realiza a través del término , donde es el vector potencial. Si el área del contorno cambia con un campo magnético constante, entonces una parte del contorno se mueve inevitablemente, y en esta parte del contorno en el marco de referencia K' asociado, surge un campo eléctrico , como resultado de la transformación de Lorentz del campo magnético presente en el marco de referencia fijo K , circuito de cruce. La presencia de un campo en K' se considera como el resultado del efecto de la inducción en el circuito en movimiento, independientemente de que haya o no cargas en el circuito. En un circuito conductor, el campo pone en movimiento las cargas. Esto se ve en el marco de referencia K como la aparición de una fem de inducción , cuyo gradiente en la forma tomada a lo largo del contorno, por así decirlo, genera un campo .
La ley de inducción electromagnética de Faraday utiliza el concepto de flujo magnético Φ B a través de una superficie Σ, que se define en términos de una integral de superficie :
donde d S es el área del elemento de superficie Σ( t ), B es el campo magnético y B · d S es el producto escalar de B y d S . Se supone que la superficie tiene una "boca" definida por una curva cerrada, etiquetada como ∂Σ( t ). La ley de inducción de Faraday establece que cuando cambia el flujo, cuando una unidad de carga de prueba positiva se mueve a lo largo de una curva cerrada ∂Σ, surge una fem , cuyo valor está determinado por la fórmula:
donde es la magnitud de la fuerza electromotriz (EMF) en voltios , y Φ B es el flujo magnético en webers . La dirección de la fuerza electromotriz está determinada por la ley de Lenz .
Para un inductor estrechamente enrollado que contiene N vueltas, cada una con el mismo flujo magnético ΦB , la ley de inducción de Faraday establece que:
donde N es el número de vueltas de alambre, Φ B es el flujo magnético en webers por vuelta.
El camino elegido ∂Σ( t ) para encontrar la FEM debe satisfacer dos requisitos básicos: (i) el camino debe ser cerrado, y (ii) el camino debe cubrir el movimiento relativo de las partes del contorno (el origen de la t - dependencia en ∂Σ( t )). No se aplica a los requisitos que la ruta debe coincidir con la línea actual, pero, por supuesto, el EMF, que está de acuerdo con la ley de flujo, se calculará a lo largo de la ruta elegida. Si la ruta no coincide con la línea actual, es posible que la FEM calculada no sea la misma FEM que provoca la corriente.
Considere el caso de la figura 3, en el que un lazo cerrado rectangular de alambre, ubicado en el plano xy , se mueve en la dirección del eje x con una velocidad v . El centro del bucle x C satisface la condición v = dx C / dt . El bucle tiene una longitud ℓ en la dirección del eje y y un ancho w en la dirección del eje x . El campo magnético espacialmente variable dependiente del tiempo B ( x ) se muestra en la dirección z . El campo magnético en el lado izquierdo es B ( x C − w / 2 ) y en el lado derecho es B ( x C + w / 2 ). La fuerza electromotriz se puede encontrar usando la ley de Lorentz o, de manera equivalente, usando la ley de inducción de Faraday anterior.
La carga q en el conductor del lado izquierdo de la espira experimenta la fuerza de Lorentz q v × B k = − qv B(x C − w / 2) j ( j, k son los vectores unitarios en las direcciones y y z ; ver el producto cruzado de vectores), lo que provoca un EMF (trabajo por unidad de carga) v ℓ B(x C − w / 2) a lo largo de toda la longitud del lado izquierdo del bucle. En el lado derecho del ciclo, un razonamiento similar muestra que la EMF es v ℓ B(x C + w / 2) . Dos campos electromagnéticos opuestos empujan una carga positiva hacia la parte inferior del bucle. En el caso de que el campo B aumente a lo largo de x, la fuerza en el lado derecho será mayor y la corriente fluirá en el sentido de las agujas del reloj. Usando la regla de la mano derecha , obtenemos que el campo B , producido por la corriente, es opuesto al campo aplicado. [15] La fem que causa la corriente debe aumentar en sentido contrario a las agujas del reloj (en oposición a la corriente). Al sumar la EMF en dirección contraria a las manecillas del reloj a lo largo del bucle, encontramos:
En cualquier punto de la espira, el flujo magnético a través de ella es:
La elección del signo está determinada por si la normal a la superficie en un punto dado tiene la misma dirección que B o la opuesta. Si la superficie normal está en la misma dirección que el campo de corriente inducida B , este signo es negativo. La derivada temporal del flujo (que se encuentra usando métodos de diferenciación de funciones complejas o usando la regla de Leibniz de diferenciación de la integral) es:
(donde v = d x C / d t es la velocidad del bucle en la dirección x), resultando en:
como en el caso anterior.
La equivalencia de estos dos enfoques es bien conocida, y dependiendo del problema a resolver, uno u otro método puede ser más práctico.
En la fig. La figura 4 muestra un husillo formado por dos discos con bordes conductores y conductores dispuestos verticalmente entre estos bordes. la corriente es suministrada por contactos deslizantes a los bordes conductores. Este diseño gira en un campo magnético que se dirige radialmente hacia afuera y tiene el mismo valor en cualquier dirección. es decir, la velocidad instantánea de los conductores, la corriente en ellos y la inducción magnética, forman el triple recto, lo que hace que los conductores giren.
En este caso, la fuerza de amperios actúa sobre los conductores y la fuerza de Lorentz actúa sobre una unidad de carga en el conductor : el flujo del vector de inducción magnética B, la corriente en los conductores que conectan los bordes conductores se dirige normalmente a la inducción magnética. vector, entonces la fuerza que actúa sobre la carga en el conductor será igual a
donde v = la velocidad de la carga en movimiento [16]
Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre los conductores
donde l es la longitud de los conductores
Aquí usamos B como dado, de hecho depende de las dimensiones geométricas de los bordes de la estructura, y este valor se puede calcular usando la Ley de Biot-Savart-Laplace . Este efecto también se usa en otro dispositivo llamado Railgun .
Un enfoque intuitivamente atractivo pero erróneo para usar la regla de flujo expresa el flujo a través del circuito como Φ B = B w ℓ, donde w es el ancho del bucle en movimiento.
La falacia de este enfoque es que no se trata de un marco en el sentido habitual de la palabra. El rectángulo de la figura está formado por conductores individuales cerrados al borde. Como se puede ver en la figura, la corriente fluye en ambos conductores en la misma dirección, es decir, aquí no existe el concepto de "bucle cerrado" .
La explicación más sencilla y comprensible de este efecto viene dada por el concepto de fuerza de Ampère . Es decir, solo puede haber un conductor vertical, para no inducir a error. Alternativamente, se puede ubicar un conductor de espesor finito en el eje que conecta las llantas. El diámetro del conductor debe ser finito y distinto de cero, de modo que el momento de fuerza del amperio sea distinto de cero.
Un campo magnético alterno crea un campo eléctrico descrito por la ecuación de Faraday-Maxwell:
|
dónde:
significa rotor E - campo eléctrico B es la densidad de flujo magnético .Esta ecuación está presente en el sistema moderno de ecuaciones de Maxwell , a menudo denominado ley de Faraday. Sin embargo, dado que solo contiene derivadas parciales con respecto al tiempo, su aplicación se limita a situaciones en las que la carga está en reposo en un campo magnético variable en el tiempo. no tiene en cuenta[ aclarar ] la inducción electromagnética en los casos en que una partícula cargada se mueve en un campo magnético.
En otra forma, la ley de Faraday se puede escribir en términos de la forma integral del teorema de Kelvin-Stokes : [17]
La integración requiere una superficie Σ independiente del tiempo (considerada en este contexto como parte de la interpretación de las derivadas parciales). Como se muestra en la fig. 6:
Σ es una superficie limitada por un contorno cerrado ∂Σ , además, tanto Σ como ∂Σ son fijos, independientes del tiempo, E es el campo eléctrico, d ℓ es un elemento infinitesimal del contorno ∂Σ , B es el campo magnético , d A es un elemento infinitesimal del vector de superficie Σ .Los elementos d ℓ y d A tienen signos indefinidos. Para establecer los signos correctos, se utiliza la regla de la mano derecha , como se describe en el artículo sobre el teorema de Kelvin-Stokes . Para una superficie plana Σ, la dirección positiva del elemento de trayectoria d ℓ de la curva ∂Σ está determinada por la regla de la mano derecha, según la cual cuatro dedos de la mano derecha apuntan en esta dirección cuando el pulgar apunta en la dirección de la normal n a la superficie Σ.
La integral sobre ∂Σ se llama integral de trayectoria o integral curvilínea . La integral de superficie del lado derecho de la ecuación de Faraday-Maxwell es una expresión explícita del flujo magnético Φ B en términos de Σ . Tenga en cuenta que la integral de trayectoria distinta de cero para E difiere del comportamiento del campo eléctrico producido por las cargas. El campo E generado por carga se puede expresar como el gradiente de un campo escalar , que es una solución a la ecuación de Poisson y tiene una integral de trayectoria cero.
La ecuación integral es válida para cualquier camino ∂Σ en el espacio y cualquier superficie Σ para la cual este camino sea un límite.
Usando [18]
y teniendo en cuenta ( serie de Gauss ), ( producto vectorial ), y ( teorema de Kelvin-Stokes ), encontramos que la derivada total del flujo magnético se puede expresar
Al agregar un término a ambos lados de la ecuación de Faraday-Maxwell e introducir la ecuación anterior, obtenemos:
que es la ley de Faraday. Por tanto, la ley de Faraday y las ecuaciones de Faraday-Maxwell son físicamente equivalentes.
Arroz. 7 muestra la interpretación de la contribución de la fuerza magnética a la FEM en el lado izquierdo de la ecuación. El área barrida por el segmento d ℓ de la curva ∂Σ en el tiempo dt cuando se mueve a la velocidad v es igual a:
por lo que el cambio en el flujo magnético ΔΦ B a través de la parte de la superficie delimitada por ∂Σ en el tiempo dt es:
y si sumamos estas contribuciones de ΔΦ B alrededor del bucle para todos los segmentos d ℓ , obtenemos la contribución total de la fuerza magnética a la ley de Faraday. Es decir, este término está asociado con el motor EMF.
Volviendo al ejemplo de la Fig. 3, en un marco de referencia en movimiento, se revela una estrecha relación entre los campos E y B , así como entre el motor y la FEM inducida . [19] Imagina un observador moviéndose junto con el bucle. El observador calcula la FEM en el bucle utilizando tanto la ley de Lorentz como la ley de inducción electromagnética de Faraday. Dado que este observador se mueve con el bucle, no ve ningún movimiento del bucle, es decir, el valor cero v × B. Sin embargo, dado que el campo B cambia en x , un observador en movimiento ve un campo magnético variable en el tiempo, a saber:
donde k es el vector unitario en la dirección z . [veinte]
Ley de LorentzLa ecuación de Faraday-Maxwell dice que un observador en movimiento ve un campo eléctrico E y en la dirección del eje y , determinado por la fórmula:
Aplicando la regla de diferenciación de una función compleja :
Solución para E y hasta una constante que no agrega nada a la integral de bucle:
Usando la ley de Lorentz, en la que solo hay un componente de campo eléctrico, el observador puede calcular la FEM a lo largo del bucle en el tiempo t usando la fórmula:
y vemos que se encuentra exactamente el mismo resultado para un observador estacionario que ve que el centro de masa x C se ha desplazado x C + vt . Sin embargo, el observador en movimiento obtuvo el resultado bajo la impresión de que solo el componente eléctrico estaba actuando en la ley de Lorentz, mientras que el observador estacionario pensó que solo estaba actuando el componente magnético .
Ley de inducción de FaradayPara aplicar la ley de inducción de Faraday, considere un observador que se mueve a lo largo de un punto x C . Ve un cambio en el flujo magnético, pero la espira le parece inmóvil: el centro de la espira x C está fijo, porque el observador se mueve junto con la espira. Entonces el flujo:
donde el signo menos proviene del hecho de que la normal a la superficie tiene una dirección opuesta al campo aplicado B. De la ley de inducción de Faraday, la FEM es:
y vemos el mismo resultado. La derivada temporal se utiliza en la integración porque los límites de integración son independientes del tiempo. Nuevamente, se utilizan métodos de diferenciación de funciones complejas para convertir la derivada del tiempo en derivada x .
Un observador estacionario ve el EMF en movimiento, mientras que un observador en movimiento piensa que es un EMF inducido . [21]
El fenómeno de la aparición de un EMF generado de acuerdo con la ley de inducción de Faraday debido al movimiento relativo del circuito y el campo magnético subyace en el funcionamiento de los generadores eléctricos . Si el imán permanente se mueve en relación con el conductor, o viceversa, el conductor se mueve en relación con el imán, entonces surge una fuerza electromotriz. Si el conductor está conectado a una carga eléctrica, entonces fluirá una corriente a través de él y, por lo tanto, la energía mecánica del movimiento se convertirá en energía eléctrica. Por ejemplo, un generador de disco se construye con el mismo principio que se muestra en la figura 1. 4. Otra implementación de esta idea es el disco de Faraday , que se muestra de forma simplificada en la fig. 8. Tenga en cuenta que el análisis de la fig. 5 y una aplicación directa de la ley de fuerza de Lorentz muestran que un disco conductor sólido funciona de la misma manera.
En el ejemplo del disco de Faraday, el disco gira en un campo magnético uniforme perpendicular al disco, lo que genera una corriente en el brazo radial debido a la fuerza de Lorentz. Es interesante entender cómo resulta que para controlar esta corriente es necesario un trabajo mecánico. Cuando la corriente generada fluye a través del borde conductor, de acuerdo con la ley de Ampère , esta corriente crea un campo magnético (en la Fig. 8 se denomina "B inducida" - B inducida). La llanta se convierte así en un electroimán , que resiste la rotación del disco (un ejemplo de la regla de Lenz ). En la parte más alejada de la figura, la corriente inversa fluye desde el brazo giratorio a través del lado más alejado del borde hasta el cepillo inferior. El campo B creado por esta corriente inversa es opuesto al campo aplicado, provocando una reducción en el flujo a través del lado más alejado del circuito, en oposición a un aumento en el flujo causado por la rotación. En el lado cercano de la figura, la corriente inversa fluye desde el brazo giratorio a través del lado cercano del borde hasta el cepillo inferior. El campo inducido B aumenta el flujo en este lado del circuito, en oposición a la disminución del flujo causada por la rotación. Así, ambos lados del circuito generan una fem que se opone a la rotación. La energía necesaria para mantener el disco en movimiento contra esta fuerza reactiva es exactamente igual a la energía eléctrica generada (más la energía para compensar las pérdidas por fricción, por la generación de calor Joule, etc.). Este comportamiento es común a todos los generadores para convertir energía mecánica en energía eléctrica.
Aunque la ley de Faraday describe el funcionamiento de cualquier generador eléctrico, el mecanismo detallado puede variar de un caso a otro. Cuando un imán gira alrededor de un conductor fijo, el campo magnético cambiante crea un campo eléctrico, como se describe en la ecuación de Maxwell-Faraday, y este campo eléctrico empuja cargas a través del conductor. Este caso se llama fem inducida . Por otro lado, cuando el imán está estacionario y el conductor gira, las cargas en movimiento se ven afectadas por una fuerza magnética (como se describe en la ley de Lorentz), y esta fuerza magnética empuja las cargas a través del conductor. Este caso se llama motor fem. [once]
Un generador eléctrico puede funcionar "a la inversa" y convertirse en un motor. Considere, por ejemplo, el disco de Faraday. Suponga que una corriente continua fluye a través del brazo radial conductor desde algún voltaje. Luego, de acuerdo con la ley de la fuerza de Lorentz, esta carga en movimiento se ve afectada por una fuerza en el campo magnético B , que hará girar el disco en la dirección determinada por la regla de la mano izquierda. En ausencia de efectos que causen pérdidas por disipación, como la fricción o el calor Joule , el disco girará a tal velocidad que d Φ B /dt es igual al voltaje que causa la corriente.
La EMF predicha por la ley de Faraday es también la razón por la que funcionan los transformadores eléctricos. Cuando cambia la corriente eléctrica en el bucle de alambre, la corriente cambiante crea un campo magnético alterno. El segundo cable en el campo magnético disponible experimentará estos cambios en el campo magnético como cambios en el flujo magnético asociado con él d Φ B / dt . La fuerza electromotriz que ocurre en el segundo bucle se denomina fem inducida o fem del transformador . Si los dos extremos de este bucle están conectados a través de una carga eléctrica, la corriente fluirá a través de él.
La ley de Faraday se utiliza para medir el flujo de líquidos y lodos eléctricamente conductores. Estos dispositivos se denominan caudalímetros magnéticos. El voltaje inducido ℇ generado en un campo magnético B por un fluido conductor que se mueve a una velocidad v viene dado por:
donde ℓ es la distancia entre los electrodos en el caudalímetro magnético.
En cualquier objeto metálico que se mueva con respecto a un campo magnético estático, se producirán corrientes inductivas , como en cualquier objeto metálico estacionario con respecto a un campo magnético en movimiento. Estos flujos de energía en los núcleos de los transformadores no son deseables, debido a que fluye una corriente eléctrica en la capa de metal, que calienta el metal.
De acuerdo con la regla de Lenz , las corrientes de Foucault fluyen en el interior del conductor siguiendo caminos y direcciones tales que su acción es lo más fuerte posible contra la causa que las provoca. Como resultado, cuando se mueven en un campo magnético, los buenos conductores se ven afectados por una fuerza de frenado provocada por la interacción de las corrientes parásitas con un campo magnético. Este efecto se utiliza en una serie de dispositivos para amortiguar las vibraciones de sus partes móviles.
Hay una serie de métodos utilizados para combatir estos efectos inductivos no deseados.
Las corrientes de Foucault se producen cuando una masa sólida de metal gira en un campo magnético, ya que la parte exterior del metal cruza más líneas de fuerza que la interior, por lo tanto, la fuerza electromotriz inducida es desigual y tiende a crear corrientes entre los puntos con mayor y potenciales más bajos. Las corrientes de Foucault consumen una cantidad significativa de energía y, a menudo, provocan aumentos de temperatura perjudiciales. [22]
Este ejemplo muestra un total de cinco laminados o placas para demostrar la división por corrientes de Foucault. En la práctica, el número de placas o perforaciones está entre 40 y 66 por pulgada, lo que da como resultado una reducción de las pérdidas por corrientes de Foucault de alrededor del uno por ciento. Aunque las placas se pueden separar entre sí mediante aislamiento, dado que los voltajes resultantes son extremadamente bajos, el recubrimiento natural de herrumbre u óxido de las placas es suficiente para evitar el flujo de corriente a través de las placas. [22]
Este es un rotor de un motor de CC con un diámetro de unos 20 mm utilizado en reproductores de CD. Tenga en cuenta que para reducir las pérdidas inductivas parásitas, el polo del electroimán se dividió en partes.
En esta ilustración, la barra sólida de cobre del inductor en la armadura giratoria simplemente pasa por debajo de la punta del polo N del imán. Tenga en cuenta la distribución desigual de las líneas de campo a través de la varilla. El campo magnético está muy concentrado y, por lo tanto, es más fuerte en el borde izquierdo de la barra de cobre (a, b), mientras que es más débil en el borde derecho (c, d). Dado que los dos extremos de la barra se moverán a la misma velocidad, esta diferencia en la intensidad del campo a través de la barra creará remolinos de corriente dentro de la barra de cobre. [23]
Esta es una de las razones por las que los dispositivos de alto voltaje tienden a ser más eficientes que los dispositivos de bajo voltaje. Los dispositivos de alto voltaje tienen muchas vueltas pequeñas de cable en motores, generadores y transformadores. Estas muchas vueltas pequeñas de alambre en el electroimán rompen las corrientes de Foucault, y se forman corrientes de Foucault más grandes dentro de los grandes y gruesos inductores de bajo voltaje.
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