Distancia inversa

La distancia inversa es una forma de medir la " distancia " entre dos círculos , ya sea que los círculos se crucen, se toquen o no tengan ningún punto en común [1] .

Propiedades

La distancia inversa no cambia si los círculos se invierten o se someten a la transformación de Möbius [1] [2] [3] . Un par de círculos se puede traducir a otro par de círculos usando la transformación de Möbius si y solo si ambos pares tienen la misma distancia inversa [1] .

Para una distancia inversa, se cumple un análogo del teorema de Beckman-Quorles : si una biyección de un conjunto de círculos en un plano inverso conserva una distancia inversa entre un par de círculos a una distancia fija , entonces debe ser un Transformación de Möbius que conserva todas las distancias inversas [3] . $\delta$

Fórmula de distancia

Para dos círculos en el plano euclidiano con radios y distancia entre centros , la distancia inversa se puede determinar mediante la fórmula [1] $r$ $R$ $d$

I={\frac {d^{2}-r^{2}-R^{2}}{2rR}}.

La fórmula da:

un valor mayor que 1 para dos círculos que no se cruzan,
valor 1 para dos círculos tangentes que se encuentran en lados opuestos de la tangente en el punto de contacto,
un valor entre −1 y 1 para dos círculos que se cruzan,
- valor 0 para dos círculos que se cortan en ángulo recto ,
el valor −1 para dos círculos que se tocan cuando uno de los círculos se encuentra dentro del otro,
un valor menor que −1 si un círculo está completamente dentro del otro.

Algunos autores definen la distancia inversa absoluta como el valor absoluto de la distancia inversa.

Algunos autores modifican la fórmula de la distancia tomando el coseno hiperbólico recíproco (áreacoseno) del valor dado anteriormente [2] . Es decir, en lugar de la distancia inversa se define como el número dado por la igualdad $yo$ $\delta$

\delta =\operatorname {arcosh} (I).

Aunque convertir la distancia inversa de esta manera hace que la fórmula sea más complicada y evita que se aplique a un par de círculos que se intersecan, la fórmula tiene la ventaja de que (al igual que la distancia habitual entre puntos en un plano) la distancia se vuelve aditiva para los círculos en un haz de círculos disjuntos . Es decir, si tres círculos pertenecen al mismo paquete, entonces (usando en su lugar como la distancia inversa) una de las tres distancias por pares será la suma de las otras dos [4] [5] . $\delta$ $yo$

En otras geometrías

Es posible definir una distancia inversa para círculos sobre una esfera o sobre una superficie hiperbólica [1] .

Aplicaciones

Cadenas de Steiner

Una cadena de Steiner para dos círculos que no se cortan es una secuencia finita de círculos adicionales, cada uno tangente a dos círculos dados y dos círculos adyacentes en la cadena. El porismo de Steiner establece que si dos círculos tienen una cadena de Steiner, tienen infinitas cadenas de este tipo. Se permite que la cadena corra más de una vez alrededor de dos círculos dados, y puede describirse mediante un número racional , cuyo numerador es igual al número de círculos en la cadena, y cuyo denominador determina el número de revoluciones de la cadena. Todas las cadenas para dos círculos dados tienen el mismo valor . Si la distancia inversa entre dos círculos (después de tomar el coseno hiperbólico inverso) es , entonces se puede encontrar mediante la fórmula $pags$ $pags$ $\delta$ $pags$

p={\frac {\pi }{\sin ^{-1}\tanh(\delta /2))).

Por el contrario, dos círculos que no se intersecan para los que esta fórmula produce un número racional tienen una cadena de Steiner. De manera más general, un par arbitrario de círculos disjuntos puede aproximarse arbitrariamente a un par de círculos que tienen una cadena de Steiner cuyo valor es una aproximación racional del valor dado por la fórmula para los dos círculos dados [4] . $pags$

Círculos de embalaje

La distancia inversa se usa para definir el concepto de la distancia inversa de un paquete de círculos : un conjunto de círculos con la propiedad de que un subconjunto específico de pares de círculos (correspondientes a los bordes de un gráfico plano ) han dado distancias inversas entre cada uno. otro. Esta noción generaliza el empaquetamiento de círculos descrito por el teorema de empaquetamiento de círculos , en el que los pares de círculos elegidos son tangentes entre sí [1] [6] . Aunque se sabe menos acerca de la existencia de un empaquetamiento de círculos con distancias inversas dadas en comparación con un empaquetamiento con tangencia, se sabe que dada la existencia de tal empaquetamiento, los círculos pueden definirse de manera única (hasta una transformación de Möbius) por un dado gráfico plano máximo y un conjunto de distancias inversas euclidianas o hiperbólicas. Esta propiedad de rigidez puede generalizarse esencialmente a métricas euclidianas e hiperbólicas en variedades trianguladas con defectos de esquina en los vértices [7] . Sin embargo, para colectores con geometría esférica, dichos empaques no serán únicos [8] . A su vez, los empaques de círculos con distancia inversa pueden usarse para construir aproximaciones de mapeos conformes [1] .

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Bowers, Hurdal, 2003 , pág. 3–34.
↑ 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967 , pág. 123–124.
↑ 1 2 Lester, 1991 , pág. 492–498.
↑ 1 2 Coxeter, 1966 , pág. 73–83.
↑ Coxeter, Greitzer 1978 , pág. 152.
↑ Bowers, Stephenson, 2004 , pág. 78–82.
↑ Luo, 2011 , pág. 2299–2319.
↑ Ma, Schlenker, 2012 , pág. 610–617.

Literatura

HSM Coxeter , S.L. Greitzer . Geometría revisada. - Washington, DC : Asociación Matemática de América , 1967. - Vol. 19. - P. 123-124. — ( Nueva Biblioteca Matemática ). - ISBN 978-0-88385-619-2 .
- G.S.M. Coxeter , S.L. Greitzer . Nuevos encuentros con la geometría. - Moscú: "Nauka" , 1978. - ( Biblioteca del Círculo Matemático ).
HSM Coxeter . Distancia inversa // Annali di Matematica Pura ed Applicata. - 1966. - T. 71 . — págs. 73–83 . -doi : 10.1007/ BF02413734.
JALester. Un teorema de tipo Beckman-Quarles para la distancia inversa de Coxeter // Canadian Mathematical Bulletin. - 1991. - T. 34 , núm. 4 . — S. 492–498 . -doi : 10.4153 / CMB-1991-079-6 .
Philip L. Bowers, Mónica K. Hurdal. Mapeos conformes planos de superficies planas por partes // Visualización y Matemáticas III / Hans-Christian Hege, Konrad Polthier. - Springer, 2003. - S. 3-34. — (Matemáticas y Visualización). -doi : 10.1007/ 978-3-662-05105-4_1 .
Philip L. Bowers, Kenneth Stephenson. 8.2 Empaquetamientos de distancia inversivos // Uniformización de diseños y mapas de Belyĭ mediante empaquetamiento circular. - 2004. - T. 805. - S. 78–82. — (Memorias de la Sociedad Matemática Americana). doi : 10.1090/memo/ 0805 .
Feng Luo. Rigidez de superficies poliédricas, III // Geometría y Topología. - 2011. - T. 15 , núm. 4 . — S. 2299–2319 . -doi : 10.2140 / gt.2011.15.2299 .
Jiming Ma, Jean-Marc Schlenker. No rigidez de empaques circulares esféricos de distancia inversiva // Cómputo discreto. Geom.. - 2012. - T. 47 , núm. 3 . — S. 610–617 . -doi : 10.1007/ s00454-012-9399-3 .

Enlace

Weisstein, Eric W. Inversive Distance (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .