Integración por partes

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La integración por partes es una forma de encontrar la integral . La esencia del método es la siguiente: si el integrando se puede representar como un producto de dos funciones continuas y suaves (cada una de las cuales puede ser tanto una función elemental como una composición ), entonces las siguientes igualdades son verdaderas

para la integral indefinida

\int u\,dv=u\,v-\int v\,du

o en otra entrada

\int u\,v'dx=u\,v-\int v\,u'dx

para una integral definida

\int \limites _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v \,du

Se supone que encontrar la integral es más fácil que . De lo contrario, no se justifica la aplicación del método. $\int v\,du$ ${\ estilo de visualización \ int u \, dv}$

Obtener fórmulas

Para la integral indefinida

Las funciones y son suaves , por lo tanto, la diferenciación es posible : $\textstyle {\mathit {u}}$ $\textstyle {\mathit {v}}$

d(u\,v)=v\,du+u\,dv

Estas funciones también son continuas, por lo que puedes tomar la integral de ambos lados de la ecuación:

\int d(u\,v)=\int v\,du+\int u\,dv

La operación de integración es la inversa de la diferenciación:

u\,v=\int v\,du+\int u\,dv

Después de las permutaciones:

\int u\,dv=u\,v-\int v\,du

Sin embargo, no hay que olvidar que esta igualdad se entiende en el sentido de igualdad de conjuntos, es decir, en términos generales, hasta una constante que se produce durante la integración .

Un error típico de "perder" una constante cuando se maneja una integral indefinida se ilustra con el siguiente ejemplo sofistico :

\int {\frac {dx}{x}}={\frac {1}{x}}\cdot x-\int {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot xdx=1+ \int {\frac{dx}{x}}

De ahí la "consecuencia": , que es evidentemente falsa. $0=1$

Para una integral definida

En general, es similar al caso de una integral indefinida:

d(u\,v)=v\,du+u\,dv

\int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}v\,du+\int \limits _{a}^{b}u\ ,dv

\int \limites _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v \,du

Estas fórmulas son válidas si cada una de las funciones y es continuamente diferenciable en el dominio de integración. $tu$ $v$

Integración tabular por partes

El proceso principal de la fórmula anterior se puede resumir en una tabla.

Por ejemplo, considere la integral

\int x^{3}\cos x\,dx\quad

y tomar

\quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.

Comenzamos enumerando en la columna D la función y sus derivadas subsiguientes hasta obtener 0. Luego, enumeramos la función y sus antiderivadas subsiguientes en la columna I hasta que el tamaño de la columna I sea el mismo que el de la columna D. El resultado se ve así: ${\ estilo de visualización u^{(0)}=x^{3))$ ${\ Displaystyle tu ^ {(i)))$ $v^{(n)}=\cos x$ $v^{(ni)}$

#yo_ _	Señal	D: derivadas u ( i )	yo: integrales v ( n − i )
0	+	$x^{3}$	$\cos x$
una	−	${\ estilo de visualización 3x^{2}}$	$\sin x$
2	+	${\ estilo de visualización 6x}$	${\ estilo de visualización - \ cos x}$
3	−	$6$	${\ estilo de visualización - \ sen x}$
cuatro	+	${\ estilo de visualización 0}$	$\cos x$

El producto de los valores de la fila i de las columnas D e I , junto con su signo correspondiente, da las integrales correspondientes al paso i durante los pasos repetidos de integración por partes. El paso i = 0 lleva la integral original. para el resultado completo en el paso i > 0, se debe sumar la i -ésima integral a los productos anteriores ( 0 ≤ j < i ) del j -ésimo valor de la columna D y ( j + 1) -ésimo valor de la columna I (es decir, multiplique el valor 1 -ésimo de la columna D por el valor 2 de la columna I, el valor 2 de la columna D por el valor 3 de la columna I, etc...) sin olvidar el carácter j -ésimo. El proceso termina cuando el producto que lleva la integral toma el valor 0 ( i = 4 en nuestro ejemplo). El resultado final es el siguiente: (incluyendo diferentes personajes en cada segmento):

\underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x) } _{j=1}+\soporte {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\soporte {(-1)(6)(\cos x)} _{ j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.

Finalmente:

\underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{paso 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\ sen x-6\cos x+C.

Ejemplos

$\int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$
$\int e^{x}\,x\,dx=\int x\,d(e^{x}\,)=x\,e^{x}-\int e^{x}\ ,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C$
A veces este método se aplica más de una vez:

\int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\, dx=

=-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^ {2}\cos x+2x\sen x+2\cos x+C

Este método también se utiliza para encontrar integrales de funciones elementales :

\int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C

\int \nombre del operador {arctg}\,x\,dx=x\,\nombre del operador {arctg}\,x-\int {\frac {x}{1+x^{2))}\,dx=x\ ,\nombre del operador {arctg}\,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C

En algunos casos, la integración por partes no da una respuesta directa:

I_{1}=\int e^{{\alpha x}}\,\sin {\beta x}\,dx=

=\int e^{{\alpha x}}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac { 1}{\beta }}\,e^{{\alpha x}}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{{\alpha x} }\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^({\alpha x}}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alfa }{\beta }}\,I_{2}

I_{2}=\int e^{{\alpha x}}\,\cos {\beta x}\,dx=

=\int e^{{\alpha x}}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1} {\beta }}\,e^{{\alpha x}}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^({\alpha x}}\ ,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^({\alpha x}}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}

Así, una integral se expresa en términos de otra:

{\begin{casos}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{{\alpha x}}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{{\alpha x}}\,\sin {\beta x} -{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{casos}}

Resolviendo el sistema resultante, obtenemos:

I_{1}={\frac {e^{{\alpha x}}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}- \beta \cos {\beta x}{\Grande)}+C

I_{2}={\frac {e^{{\alpha x))}{\alpha ^{2}+\beta ^{2))}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+ \beta \sin {\beta x}{\Big )}+C

Caso multidimensional

Existe una generalización de la fórmula de integración por partes para funciones de varias variables. En este caso, en lugar de un intervalo, se considera un subconjunto , y en lugar de una derivada, se considera una derivada parcial . $\mathbb{R} ^{n}$

Sea un subconjunto acotado abierto con un límite suave por partes . Si y son funciones suaves en el cierre , entonces $\Omega$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\parcial \Omega$ $tu$ $v$ $\Omega$

\int _{\Omega }{\frac {\parcial u}{\parcial x_{i))}v\,dx=\int _({\parcial \Omega ))uvn_{i}\,d\sigma - \int _{\Omega }u{\frac {\parcial v}{\parcial x_{i))}\,dx

donde es la normal exterior a , y es su i-ésima coordenada, i de 1 a n, es la medida en . ${\vec{n}}$ $\parcial \Omega$ $n_{yo}$ $\sigma$ $\parcial \Omega$

Véase también

Integral
Integral de Riemann
Transformación legendre
Métodos de integración
La transformada discreta de Abel es un análogo de la integración por partes para sumas.

Literatura

Maslov A.P., Belous E.A. Tema 5.2 // Matemáticas para ingenieros (2º año) .
Timofeev AF Integración de funciones. - M.-Len.: OGIZ , Gostekhizdat , 1948. - S. 37-42.

Consulte también Cálculo # Bibliografía .

Enlaces

Matemáticas para estudiantes a distancia y no sólo . Consultado el 11 de mayo de 2011. (indefinido)
Canal SZTU en youtube.com . Consultado el 11 de mayo de 2011. (indefinido)

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)