Intervalos entre números primos

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Los intervalos entre números primos son las diferencias entre dos números primos consecutivos . El n -ésimo intervalo, denotado por , es la diferencia entre los ( n + 1)-ésimo y n -ésimo números primos, es decir $g_{n}$

g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.

Tenemos: . La secuencia de intervalos entre números primos está bien estudiada. A veces se considera una función en su lugar $g_{1}=1,g_{2}=g_{3}=2,g_{4}=4$ $g_{n}$ ${\ estilo de visualización g (p_ {n})}$ $g_{n}$

Los primeros 30 intervalos primos son los siguientes:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 secuencia A001223 en OEIS .

Observaciones simples

Para cualquier número primo P , denotaremos por P # el primorial de P , es decir, el producto de todos los números primos que no excedan de P . Si Q es el número primo que sigue a P , entonces la sucesión

P\#+2,P\#+3,\dots,P\#+(Q-1)

es una secuencia de números compuestos consecutivos, por lo que hay intervalos entre números primos de longitud no menor que . Por lo tanto, existen intervalos arbitrariamente grandes entre primos, y para cualquier primo P existe n tal que (Obviamente, para esto podemos elegir n tal que sea el número primo más grande que no exceda .). Otra forma de ver que existen intervalos arbitrariamente grandes entre números primos es usar el hecho de que el conjunto de números primos tiene densidad cero, de acuerdo con el teorema de los números primos . ${\ estilo de visualización Q-2}$ ${\ estilo de visualización Q-1}$ ${\ Displaystyle g_ {n} \ geqslant P}$ $p_n$ ${\ estilo de visualización P\#+2}$

De hecho, el intervalo entre primos P puede darse entre primos mucho más pequeños que P #. Por ejemplo, la primera secuencia de 71 números compuestos consecutivos está entre 31398 y 31468, mientras que 71# es un número de 27 dígitos .

Ya el valor medio de los intervalos entre números primos crece como el logaritmo natural de n .

Por otro lado, la conjetura de los gemelos simples establece que para un número infinito de n . ${\ estilo de visualización g_ {n} = 2}$

Los intervalos primos se pueden estimar desde arriba y desde abajo usando la función de Jacobsthal (secuencia A048670 en OEIS ).

Resultados numéricos

A partir del 16 de abril de 2022, el intervalo más largo conocido entre números de 208095 dígitos determinados como primos probables es 7186572 y M = 14,9985. Fue encontrado por Michiel Jansen usando un programa creado por JK Andersen. [1] [2]

A partir del 8 de marzo de 2013, el mayor intervalo conocido entre números primos probados de 18662 dígitos tiene una longitud de 1113106 y M = 25,90. Fue encontrado por P. Cami, M. Jansen y JK Andersen. [4]

La razón M = g n /ln( p n ) muestra cuántas veces el intervalo dado g n difiere del intervalo promedio entre números primos cerca del número primo p n . На 2017 год наибольшее известное значение M =41,93878373 обнаружено для интервала длиной 8350, следующего за 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Этот рекорд найден в процессе распределенных вычислений Gapcoin [5] .

La relación S = g n /ln 2 p n (la relación de Cramer-Shanks-Granville) se estudia en relación con la hipótesis de Cramer que establece que . Si no consideramos los valores anómalamente altos de S observados , entonces se encontró el mayor valor conocido de S = 0,9206386 para un intervalo de longitud 1132 que sigue al número primo de 16 dígitos 1693182318746371. Este registro fue encontrado en 1999 por Bertil Nyman [6] (la secuencia A111943 en OEIS contiene este y todos los primos precedentes correspondientes a los valores de registro de S ). $g_{n}=O(\ln^{2}p_{n})$ $p_{n}=2,3,7,$ $p_{n}\geq 23$

Diremos cuál es el intervalo máximo si para todos . Entre los primeros primos hay intervalos aproximadamente máximos [7] ; véase también la secuencia OEIS A005250 . $g_{n}$ $k<n$ ${\displaystyle g_{k}<g_{n))$ $norte$ ${\ estilo de visualización 2 \ ln n}$

Primeros 82 intervalos máximos ( n no proporcionado; consulte OEIS A005669)

1 a 30

#	gn_ _	pag norte
una	una	2
2	2	3
3	cuatro	7
cuatro	6	23
5	ocho	89
6	catorce	113
7	Dieciocho	523
ocho	veinte	887
9	22	1129
diez	34	1327
once	36	9551
12	44	15683
13	52	19609
catorce	72	31397
quince	86	155921
dieciséis	96	360653
17	112	370261
Dieciocho	114	492113
19	118	1349533
veinte	132	1357201
21	148	2010733
22	154	4652353
23	180	17051707
24	210	20831323
25	220	47326693
26	222	122164747
27	234	189695659
28	248	191912783
29	250	387096133
treinta	282	436273009

31 a 60

#	gn_ _	pag norte
31	288	1294268491
32	292	1453168141
33	320	2300942549
34	336	3842610773
35	354	4302407359
36	382	10726904659
37	384	20678048297
38	394	22367084959
39	456	25056082087
40	464	42652618343
41	468	127976334671
42	474	182226896239
43	486	241160624143
44	490	297501075799
45	500	303371455241
46	514	304599508537
47	516	416608695821
48	532	461690510011
49	534	614487453523
cincuenta	540	738832927927
51	582	1346294310749
52	588	1408695493609
53	602	1968188556461
54	652	2614941710599
55	674	7177162611713
56	716	13829048559701
57	766	19581334192423
58	778	42842283925351
59	804	90874329411493
60	806	171231342420521

61 a 82

#	gn_ _	pag norte
61	906	218209405436543
62	916	1189459969825483
63	924	1686994940955803
64	1132	1693182318746371
sesenta y cinco	1184	43841547845541059
66	1198	55350776431903243
67	1220	80873624627234849
68	1224	203986478517455989
69	1248	218034721194214273
70	1272	305405826521087869
71	1328	352521223451364323
72	1356	401429925999153707
73	1370	418032645936712127
74	1442	804212830686677669
75	1476	1425172824437699411
76	1488	5733241593241196731
77	1510	6787988999657777797
78	1526	15570628755536096243
79	1530	17678654157568189057
80	1550	18361375334787046697
81	1552	18470057946260698231
82	1572	18571673432051830099
83
84
85
86
87
88
89
90

Los mayores intervalos de los primeros diez mil

Ya en el segundo mil hay un intervalo, de 34 números, en el que no hay números primos (1327-1361). Además, este intervalo mantiene su récord de longitud hasta la décima de mil. Solo en el noveno mil hay un segundo intervalo de la misma longitud - (8467-8501), y en el décimo - un intervalo más largo (36 números) - (9551-9587), que es el intervalo más largo de los primeros diez mil . También hay un intervalo con una longitud de 32 números - (5591-5623).

Otros resultados

Límites superiores

El postulado de Bertrand establece que para cualquier k siempre existe al menos un número primo entre k y 2 k , entonces, en particular , de dónde . ${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n))$ ${\displaystyle g_{n}<p_{n))$

El teorema de distribución de números primos dice que la "longitud promedio" de los intervalos entre un primo p y el siguiente primo es de orden . La duración real del intervalo puede ser mayor o menor que este valor. Sin embargo, a partir del teorema sobre la distribución de números primos, se puede deducir un límite superior para la longitud de los intervalos de números primos: para cualquiera existe tal N que para todos será . $\ln pag$ $\varepsilon >0$ $n>N$ $g_{n}<\varepsilon p_{n}$

Hoheisel fue el primero en demostrar [8] que existe tal constante $\theta<1$

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

x\to +\infty

de ahí se sigue que

g_{n}<p_{n}^{\theta},

para n lo suficientemente grande .

De ello se deduce que los intervalos entre números primos se vuelven arbitrariamente más pequeños con respecto a los números primos: el cociente tiende a cero cuando n tiende a infinito. $\frac{g_n}{p_n}$

Hoheisel obtuvo un valor posible de 32999/33000 para . Este límite ha sido mejorado a 249/250 por Heilbron [9] y Chudakov [10] a cualquiera . $\ theta$ $\theta = \frac{3}{4} + \varepsilon$ $\varepsilon >0$

La principal mejora la hizo Ingham [11] , quien demostró que si

{\ estilo de visualización \ zeta (1/2 + it) = O (t ^ {c})}

para alguna constante donde O se usa en el sentido de la notación O es grande , entonces $c>0$

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

para cualquier Aquí, como de costumbre, denota la función zeta de Riemann , y denota la función de distribución de números primos que no exceden x . Se sabe que está permitido , de donde cualquier número mayor que . Inmediatamente se sigue del resultado de Ingham que siempre existe un primo entre los números y para n suficientemente grande . Tenga en cuenta que la conjetura de Lindelöf aún no se ha probado , que establece que cualquier número positivo puede elegirse como c , pero se deduce que siempre existe un número primo entre y para n suficientemente grande (ver también Conjetura de Legendre ). Si esta conjetura es correcta, entonces es posible que se necesite una conjetura de Cramer aún más rigurosa . Una de las aproximaciones logradas a la conjetura de Legendre es el hecho probado de que . [12] $\theta > \frac{1+4c}{2+4c}$ $\zeta$ $\pi(x)$ $c > \frac{1}{6}$ $\ theta$ $\frac{5}{8}$ $n ^ 3$ $(n+1)^3$ $n^{2}$ $(n+1)^2$ $g(p_{n})=O({p_{n))^{\frac {21}{40)))$

Martin Huxley demostró que uno puede elegir [13] . $\theta = \frac{7}{12}$

El último resultado se debe a Backer, Harman y Pinz , quienes demostraron que se puede tomar 0.525. [12] $\ theta$

En 2005, Daniel Goldston , Janos Pinc y Cem Yildirim demostraron que

\liminf_{n\to+\infty}\frac{g_n}{\ln p_n}=0

y luego mejoró esto [14] para

\liminf_{n\to +\infty} {\frac {g_{n}}({\sqrt {\ln p_{n}}}(\ln \ln p_{n})^{2} }}<\infty

En 2013 , Zhang Yitang presentó un artículo que prueba que [15]

\liminf _{n\to +\infty}g_{n}<70\,000\,000.

Este resultado ha sido mejorado repetidamente hasta

\liminf _{n\to +\infty}g_{n}<247.

En particular, de aquí se sigue que el conjunto de todos los pares de números primos, cuya diferencia no exceda de 246, es infinito [16] [17] .

Límites inferiores

Robert Rankin demostró que existe una constante tal que la desigualdad $c>0$

g_{n}>{\frac {c\cdot \ln n\cdot \ln \ln n\cdot \ln \ln \ln \ln n}{(\ln \ln \ln n)^{2 }}}

persiste para infinitos valores de n . El valor mejor conocido para c hasta ahora es , donde es la constante de Euler-Mascheroni . [18] Paul Erdős ofreció un premio de $5,000 por probar o refutar que la constante c en la desigualdad anterior puede ser arbitrariamente grande. [19] $c=2e^{\gamma}$ $\gama$

Hipótesis sobre intervalos entre números primos

Aquí son posibles incluso mejores resultados que los que pueden obtenerse asumiendo la verdad de la hipótesis de Riemann . Harald Cramer demostró que si la hipótesis de Riemann es verdadera, entonces los intervalos satisfacen la relación ${\ estilo de visualización g (p_ {n})}$

g(p_n) = O(\sqrt{p_n} \ln p_n),

(aquí se usa la notación O grande ). Más tarde sugirió que los intervalos crecen mucho menos. En términos generales, supuso que

g(p_{n})=O(\ln ^{2}p_{n}).

Por el momento, esto se indica mediante cálculos numéricos. Consulte la hipótesis de Cramer para obtener más detalles .

La hipótesis de Andrica establece que

g(p_n) < 2\sqrt{p_n} + 1.

Este es un fortalecimiento débil de la conjetura de Legendre , que establece que hay al menos un número primo entre cualquier par de cuadrados de números naturales.

Intervalos entre números primos como función aritmética

El intervalo entre el n-ésimo y ( n + 1)-ésimo primo es un ejemplo de una función aritmética . En este contexto, se suele denotar y denominar diferencia entre números primos [19] . La diferencia entre números primos no es una función aritmética multiplicativa ni aditiva . $g_{n}$ $d_{n}$

Véase también

Notas

↑ Anuncio de MJansen en Mersenneforum.org . Mersenneforum.org (16 de abril de 2022). Archivado desde el original el 29 de septiembre de 2022. (indefinido)
↑ Anuncio de verificación de mart_r en Mersenneforum.org . Mersenneforum.org (14 de julio de 2022). Archivado desde el original el 27 de julio de 2022. (indefinido)
↑ Andersen, Jens Kruse Un megagap con mérito 25.9 . primerecords.dk (8 de marzo de 2013). Consultado el 29 de septiembre de 2022. Archivado desde el original el 25 de diciembre de 2019. (indefinido)
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Enlaces

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Weisstein, Eric W. Prime Difference Function (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3143
Chris Caldwell , Brechas entre números primos