La hipótesis de Andritsa

La hipótesis de Andrica es una hipótesis sobre los intervalos entre números primos , según la cual la desigualdad:

{\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1

se cumple para todos , donde es el -ésimo número primo . Si significa el -ésimo intervalo , entonces la conjetura de Andrica se puede reescribir como: $norte$ $p_n$ $norte$ ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n))$ $norte$

g_{n}<2{\sqrt {p_{n))}+1

Formulado por el matemático rumano Dorin Andrica en 1986 [1] .

Confirmación empírica

A principios de la década de 2000, utilizando datos sobre los mayores intervalos de números primos, la hipótesis se probó hasta [2] . Usando una tabla de intervalos máximos y una desigualdad para intervalos, puede extender el valor de confirmación hasta . ${\ estilo de visualización 1{,} 3002 \ veces 10 ^ {16}}$ ${\ estilo de visualización 4 \ veces 10 ^ {18}}$

Hay una ilustración gráfica de la hipótesis: para una función discreta (la función de Andritz), el valor mayor se observa en el punto con valor , y no hay valores mayores entre los primeros 10 5 primos. Dado que la función de Andritz decrece asintóticamente cuando , la conjetura es cierta con una alta probabilidad, pero sigue sin demostrarse. $A_{n}={\raíz cuadrada {p_{n+1}}}-{\raíz cuadrada {p_{n}}}$ $n=4$ $A_{4}\aproximadamente 0{,}670873\puntos$ $norte$

Generalizaciones

Como generalización de la conjetura de Andrica, se considera la siguiente igualdad:

p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,

donde es el -ésimo primo, y puede ser cualquier número positivo (real). $p_{n}$ $norte$ $X$

La mayor solución posible para se encuentra para , cuando . Hay una hipótesis de que el valor más pequeño es [3] , que está en . $X$ $n=1$ ${\ estilo de visualización x_ {\ máximo} = 1}$ $X$ $x_{\min }\approx 0{,}567148\puntos$ ${\ estilo de visualización n = 30}$

Esta conjetura se formula como una desigualdad que generaliza la conjetura de Andrica:

p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1

para _

{\ estilo de visualización x<x_{\ min))

Véase también

Notas

↑ Andrica, 1986 , p. 44–48.
↑ Wells, 2005 , pág. 13
↑ Secuencia OEIS A038458 _

Literatura

Richard K. Guy . Problemas no resueltos de teoría de números. — 3er. - Springer-Verlag , 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Andrica D. Nota sobre una conjetura en teoría de números primos // Studia Univ. Babes–Bolyai Math.. - 1986. - V. 31 , No. 4 . — P. 44–48 . — ISSN 0252-1938 .
Números primos: las figuras más misteriosas de las matemáticas. - John Wiley & Sons, Inc., 2005. - ISBN 0-471-46234-9 .

Enlaces

Conjetura de Andrica en PlanetMath
Conjetura generalizada de Andrica Archivado el 27 de diciembre de 2019 en Wayback Machine en PlanetMath
Weisstein, Eric W. Andrica's Conjecture (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

Hipótesis sobre los números primos
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