Hipótesis de Legendre

La conjetura de Legendre (3er problema de Landau) es una conjetura matemática de una familia de resultados e hipótesis sobre intervalos entre primos , según la cual para cualquier natural existe un número primo entre y . Es uno de los problemas de Landau . Formulado por Legendre en 1808, [1] a partir de 2022 ni probado ni refutado. $norte$ $n^{2}$ $(n+1)^2$

Gamas principales

Del teorema de la distribución de primos se sigue que el número de primos entre y [2] tiende asintóticamente a . Dado que este número aumenta con el aumento de , esto fundamenta la hipótesis de Legendre. $n^{2}$ $(n+1)^2$ ${\ estilo de visualización n/\ln n}$ $norte$

Si la conjetura es verdadera, el intervalo entre cualquier número primo y el siguiente número primo siempre debe ser de orden [3] , y en notación -el intervalo es . Dos hipótesis más fuertes, la conjetura de Andritz y la conjetura de Opperman , asumen el mismo comportamiento de los intervalos. La hipótesis no da una solución a la hipótesis de Riemann , pero fortalece una de las consecuencias si la hipótesis es verdadera. $pags$ $\sqrt{p}$ $O$ $O(\sqrtp)$

Si la conjetura de Cramer es verdadera (que los intervalos tienen orden ), entonces la conjetura de Legendre se deducirá de ella para un tamaño suficientemente grande . Cramer también demostró que un límite más débil en el tamaño del mayor intervalo entre números primos se deriva de la hipótesis de Riemann [4] . ${\ estilo de visualización (\ registro p) ^ {2))$ $norte$ $O({\sqrt {p}}\log p)$

Un contraejemplo alrededor de 10 18 tendría que tener un intervalo de 50 millones de veces el intervalo promedio.

De la conjetura de Legendre se deduce que se puede encontrar al menos un número primo en cada media vuelta de la espiral de Ulam .

Resultados parciales

A principios de la década de 2000, se estableció que existe un número primo en el intervalo para todos los grandes [5] . ${\ estilo de visualización [x, \, x + O (x ^ {21/40})]}$ $X$

La tabla de intervalos máximos de números primos muestra [6] que la hipótesis se mantiene hasta . $n^{2}=4\cdot 10^{18}$

Se ha demostrado que para un número infinito de números , $n \in \mathbb N$

\left\lfloor {\frac {1}{2}}\left({\frac {(n+1)^{2}}{\log(n+1)))-{\frac {n ^{2}}{\log n}}\right)-{\frac {(\log n)^{2}}{\log \log n}}\right\rfloor \leq \pi \left((n +1)^{2}\derecha)-\pi\izquierda(n^{2}\derecha),

donde es la función de distribución de números primos [7] . $\Pi$

Véase también

Notas

↑ PRUEBA Y EXTENSIÓN DE LA HIPÓTESIS DE LEGANDRE EN LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS PRIMOS
↑ Secuencia OEIS A014085._ _ _
↑ Esto es consecuencia de que la diferencia entre dos cuadrados sucesivos es del orden de sus raíces cuadradas.
↑ Stewart, 2013 , pág. 164.
↑ Baker, Harman, Pintz, Pintz, 2001 , pág. 532-562.
↑ Oliveira e Silva, Herzog, Pardi, 2014 , p. 2033-2060.
↑ Hassani, Mehdi (2006), Contar números primos en el intervalo ( n 2 , ( n + 1) 2 ), arΧiv : math/0607096 .

Literatura

Baker RC, Harman G., Pintz G., Pintz J. La diferencia entre primos consecutivos, II // Actas de la London Mathematical Society. - 2001. - vol. 83 , edición. 3 . - pág. 532-562 . -doi : 10.1112 / plms/83.3.532 .
Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi. Comprobación empírica de la conjetura par de Goldbach y cálculo de huecos primos hasta // Matemáticas de la Computación. - 2014. - Vol. 83 , edición. 288 . - Pág. 2033-2060 . -doi : 10.1090/ S0025-5718-2013-02787-1 . $4\cdot 10^{18}$
Ian Stewart. Visiones del infinito: los grandes problemas matemáticos (inglés) . - Libros Básicos, 2013. - ISBN 9780465022403 . .

Enlaces

Weisstein, la conjetura de Eric W. Legendre (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Hashimoto, Tsutomu (2008), Sobre cierta relación entre la conjetura de Legendre y el postulado de Bertrand, arΧiv : 0807.3690 .
Mitra, Adway; Paul, Goutam & Sarkar, Ushnish (2009), Algunas conjeturas sobre el número de números primos en ciertos intervalos, arΧiv : 0906.0104 .
Paz, Germán (2013), Sobre las conjeturas de Legendre, Brocard, Andirca y Oppermann, arΧiv : 1310.1323 .

Hipótesis sobre los números primos
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