Inyección (matemáticas)

La inyección ( mapeo inyectivo ) en matemáticas es un mapeo de un conjunto en un conjunto ( ), en el que diferentes elementos del conjunto se traducen en diferentes elementos del conjunto , es decir, si dos imágenes coinciden durante el mapeo, entonces las preimágenes coinciden : . $F$ $X$ $Y$ $f\dos puntos X\a Y$ $X$ $Y$ $f(x_{1})=f(x_{2})\flecha derecha x_{1}=x_{2}$

Una inyección también se denomina incrustación o mapeo uno a uno (a diferencia de una biyección , que es uno a uno ). A diferencia de la sobreyección , de la que se dice que asigna un conjunto a otro, una frase similar sobre la inyección se formula como una asignación a . $f\dos puntos X\a Y$ $X$ $Y$

Una inyección también se puede definir como una aplicación para la que existe un inverso por la izquierda , es decir, inyectivamente, si existe tal que la composición . $f\dos puntos X\a Y$ $g\colon Y\a X$ $g\circ f=\nombre del operador{id}_X$

El concepto de inyección (junto con sobreyección y biyección ) se introdujo en los trabajos de Bourbaki y se generalizó en casi todas las ramas de las matemáticas.

Ejemplos

$f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x$ ( logaritmo natural ) - inyectivo y sobreyectivo (aquí - el conjunto de números positivos ). ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {> 0}}$
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2))$ — inyectivamente (aquí — el conjunto de números no negativos ). $\R_+$
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2))$ — no es inyectivo, ya que . $f(-2)=f(2)=4$

Aplicación

Uno de los ejemplos aplicados de la aplicación del concepto de inyección es la organización de una relación uno a uno entre entidades en un modelo de datos relacional .
La función hash ideal es inyectiva.

Generalizaciones

Una generalización del concepto de inyección en la teoría de categorías es el concepto de monomorfismo . En muchas categorías, aunque no en todas, estos conceptos son equivalentes.

Literatura

N. K. Vereshchagin, A. Shen. Comienzos de la teoría de conjuntos // Conferencias sobre Lógica Matemática y Teoría de Algoritmos . (enlace no disponible)
Ershov Yu. L., Palyutin E. A. Lógica matemática: libro de texto. - 3º, estereotipo. edición - San Petersburgo. : Lan, 2004. - 336 p.