Diferencial cuadrático

Una diferencial cuadrática sobre una variedad es una sección del cuadrado simétrico de su paquete cotangente . La mayoría de las veces, esta frase se usa en el contexto de variedades complejas , y se da a entender tácitamente que esta sección es holomorfa. Las diferenciales cuadráticas son de extrema importancia en la teoría de curvas complejas o superficies de Riemann .

La definición formal de las superficies de Riemann es la siguiente: una superficie de Riemann se pega a partir de discos complejos mediante mapeos holomorfos parcialmente definidos entre ellos (funciones de pegado). En un dominio en con coordenadas, el diferencial cuadrático se da como , donde es alguna función holomorfa . En consecuencia, en una superficie de Riemann, un diferencial cuadrático es una expresión que tiene esta forma en cada gráfico local. ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ $z$ $f(z)dz\otimes dz$ $F$

Paquete cotangente del espacio de Teichmüller

Considere una familia holomorfa de curvas complejas suaves (superficies de Riemann) parametrizadas por un parámetro complejo que pertenece a un disco pequeño (es decir, una deformación de curva de un parámetro ). Si una superficie de Riemann se representa como un conjunto de pequeños discos complejos pegados por aplicaciones holomorfas parcialmente definidas entre ellos, entonces la deformación de esta superficie de Riemann viene dada por el cambio de la ley por la cual los discos están pegados entre sí. Si no consideramos la deformación completa, sino solo "el primer coeficiente de su serie de Taylor ", entonces, en lugar de un conjunto de mapeos de discos holomorfos (descripciones de cómo cambia el pegado), obtenemos un conjunto de campos vectoriales holomorfos definidos localmente . Representan el 1-cociclo de Chéjov de un haz de campos vectoriales holomorfos (es decir, un haz tangente holomorfo ). Su clase en cohomología no depende de la cobertura de la superficie de Riemann por el atlas, sino solo de la deformación en sí (más precisamente, su término de primer orden). $Connecticut}$ $t$ $C=C_{0}$ $T_{C}$ ${\ estilo de visualización H ^ {1} (T_ {C})}$

El espacio de Teichmüller parametriza todas las estructuras complejas posibles en una curva. En consecuencia, una deformación de un parámetro de una curva es un mapeo holomorfo de un disco complejo en un espacio de Teichmüller, y una deformación de primer orden es un vector tangente al espacio de Teichmüller. Por tanto, el espacio tangente al espacio de Teichmüller en el punto correspondiente a la curva es canónicamente isomorfo al espacio de cohomología . Por la dualidad de Serra, este espacio es dual al espacio . En otras palabras, el espacio de diferenciales cuadráticos en una superficie de Riemann es el espacio cotangente al punto correspondiente en el espacio de Teichmüller. $C$ ${\ estilo de visualización H ^ {1} (T_ {C})}$ $H^{0}(T_{C}^{*}\otimes K_{C})=H^{0}(K_{C}^{2})$

Otra forma de especificar la deformación de una curva de primer orden es describir su operador de Kodaira-Spencer . Es decir, si es una forma 1 holomorfa , o un diferencial abeliano de primera clase, entonces, después de la deformación, su clase de cohomología de De Rham puede no estar representada por ninguna forma 1 holomorfa. La comparación de la parte antiholomórfica de la clase correspondiente da el operador , o (las formas antiholomórficas se pueden identificar con funcionales en el espacio de formas holomorfas usando multiplicación externa y posterior integración). Este operador se llama operador de Kodaira-Spencer. Si , entonces su valor en la forma holomorfa es el funcional . ${\ estilo de visualización \ alfa \ en H ^ {1,0} (C)}$ $\alfa$ $H^{1,0}(C)\a H^{0,1}(C)$ $\Omega (C)\to \Omega ^{*}(C)$ ${\ estilo de visualización \ Omega (C)}$ $v\in T_{C}\mathrm {Teich} =H^{0}(K_{C}^{2})^{*}$ $\alfa$ $\beta \mapsto v(\alpha \otimes \beta)$

Dimensión del espacio de diferenciales cuadráticos

Aplicando el teorema de Riemann-Roch al fibrado tangente , tenemos . El grado del paquete tangente de la curva de género es , por lo que a partir de aquí podemos expresar la dimensión del espacio de diferenciales cuadráticos como . En una curva racional ( ), en la que los campos vectoriales holomorfos forman un álgebra de Lie tridimensional , por lo tanto, no hay diferenciales cuadráticos distintos de cero. En una curva elíptica ( ), en la que sólo existe un campo vectorial holomorfo, y el espacio de diferenciales cuadráticas es unidimensional. Para , la estimación de Hurwitz implica evanescencia , de modo que para curvas de género grande, el espacio de diferenciales cuadráticos tiene dimensión . Como es bien sabido, la dimensión del espacio de Teichmüller es la misma: cualquier deformación de la curva de primer orden, como se suele decir, no está restringida (es decir, se puede extender a una deformación honesta parametrizada por un disco). $T_{C}$ $\dim H^{0}(T_{C})-\dim H^{0}(T_{C}^{*}\otimes K_{C})=\deg(T_{C})- g+1$ $gramo$ ${\ estilo de visualización 2-2g}$ $\dim H^{0}(K_{C}^{2})=3g-3+\dim H^{0}(T_{C})$ $gramo=0$ $gramo=1$ ${\ estilo de visualización g> 1}$ ${\ estilo de visualización H ^ {0} (T_ {C})}$ ${\ estilo de visualización 3g-3}$

Teorema de Noether sobre diferenciales cuadráticos

Si son dos formas 1 holomorfas, entonces su producto simétrico es un diferencial cuadrático. En otras palabras, la multiplicación simétrica define un mapeo . En una curva elíptica, dos formas 1 holomorfas cualesquiera son proporcionales, y el espacio de diferenciales cuadráticos es unidimensional, de modo que cada diferencial cuadrático se descompone en un producto de formas 1 holomorfas por consideraciones triviales. De manera similar, el mapeo de una curva de género dos es un isomorfismo. $\Alfa Beta$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ otimes \ beta}$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

Supongamos, sin embargo, que la curva admite una involución holomorfa . Entonces también actúa como una involución en el espacio de formas 1 holomorfas, por lo que tiene subespacios propios con números propios y . Los primeros definen formas holomorfas en el factor . Por lo tanto, si esta involución es hiperelíptica , es decir, el factor en ella es una curva racional, entonces este subespacio propio es cero, ya que una curva racional no admite formas holomorfas, y la involución actúa sobre cualquier forma 1 holomorfa como . Por tanto, sobre diferenciales cuadráticas generadas por productos de la forma , actúa de forma idéntica. Por otra parte, las clases de cohomología sobre las que actúa de forma idéntica la involución hiperelíptica son precisamente las deformaciones conservantes de la hiperelipticidad. Para el género dos, esta no es una condición no trivial, ya que cada curva del género dos es hiperelíptica; sin embargo, para curvas de género tres y superiores, esto ya no es cierto. Por lo tanto, para una curva hiperelíptica de género , el mapeo ya no es sobreyectivo. $C$ ${\ estilo de visualización \ iota \ dos puntos C \ a C}$ $+1$ $-una$ $C/\iota$ ${\ estilo de visualización \ iota ^ {*} \ alfa = - \ alfa}$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ otimes \ beta}$ ${\ estilo de visualización H ^ {1} (T_ {C})}$ $C$ ${\ estilo de visualización g> 2}$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

El teorema de Max Noether sobre diferenciales cuadráticos establece que esta es la única excepción: para cualquier curva, con la excepción de las curvas hiperelípticas de género tres y superiores, cualquier diferencial cuadrático puede representarse como una suma de monomios de la forma , donde son algunos 1-formas holomorfas. De hecho, aún más es cierto: en cualquier curva no hiperelíptica de género mayor que dos, uno puede elegir tres formas 1 holomorfas de modo que cada diferencial cuadrático tenga la forma , donde hay algunas formas 1 holomorfas. ${\ estilo de visualización \ alfa \ otimes \ beta}$ $\Alfa Beta$ $\alfa,\beta,\gamma$ $\alpha \otimes \alpha '+\beta \otimes \beta '+\gamma \otimes \gamma '$ ${\ estilo de visualización \ alfa ', \ beta ', \ gamma '}$

En términos de espacios de módulos, el teorema de Noether se puede describir de la siguiente manera. El espacio dual al cuadrado simétrico es el espacio tangente al semiespacio superior de Siegel que parametriza las variedades abelianas , en el punto correspondiente a la variedad jacobiana de la curva . El mapeo de una curva a su variedad jacobiana da un mapeo desde el espacio de Teichmüller hasta el semiespacio superior de Siegel, llamado mapeo de Torelli . El diferencial del mapeo de Torelli es exactamente el dual del mapeo de multiplicación simétrica . Así, para curvas no hiperelípticas, este diferencial es inyectivo. Tenga en cuenta que el propio mapa de Torelli también es inyectivo para curvas hiperelípticas, aunque tiene un diferencial degenerado a lo largo del lugar geométrico hiperelíptico. Este enunciado se llama teorema de Torelli para las curvas. $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)^{*}$ $C$ $\mathrm {Teich} \to {\mathfrak {Z))$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

Superficies semitraslacionales

Fuera de sus ceros, la diferencial cuadrática admite una extracción bien definida, aunque de signo correcto, de una raíz cuadrada: si en algún mapa la diferencial cuadrática tiene la forma , donde es una función cero en ninguna parte, entonces la forma 1 holomorfa satisface . Esta, menos forma , es la única forma con tal condición; nadie, sin embargo, prometió que la continuación analítica de esta forma alrededor de cero no cambiaría de signo. Por lo tanto, la forma 1 se vuelve bien definida solo después de una doble cobertura ramificada en ceros . Se llama cobertura espectral . Si el género de la superficie era , y no tiene múltiples ceros, entonces el género de su cobertura espectral se puede derivar de la relación con las características de Euler , que es equivalente a la fórmula de Riemann-Hurwitz : (primero perforamos ceros, cubrimos dos veces, y luego pinche los ceros hacia atrás). Simplificando, tenemos . Nótese que la involución que reordena las láminas de la cobertura espectral, como se discutió anteriormente, actúa sobre el espacio de formas holomorfas, y tiene sus propios subespacios para los autovalores y , además, el primero se identifica con levantamientos de formas holomorfas del factor, es decir, la propia curva . Por lo tanto, es -dimensional, y tiene dimensión el espacio de formas que son anti-invariantes con respecto a la cobertura espectral . Los periodos de estas formas determinan las coordenadas locales sobre el espacio total del fibrado cotangente al espacio de módulos del que se ha omitido la subvariedad correspondiente a las formas con múltiples ceros. La imagen inversa de la medida de Lebesgue sobre determina la medida del volumen finito sobre el espacio total del paquete cotangente, su volumen total se denomina volumen de Mazur - Vicz . Los valores de estos volúmenes siguen siendo un misterio. $q$ $f(z)dz\otimes dz$ $f(z)$ ${\ estilo de visualización \ alfa = {\ sqrt {f (z)}} dz}$ $q=\alpha \otimes \alpha$ ${\ estilo de visualización - \ alfa}$ $\alfa$ $q$ $gramo$ $q$ $gramo'$ $2-2g'=2(2-2g-(4g-4))+4g-4$ ${\ estilo de visualización 4g-4}$ ${\ estilo de visualización g'=4g-3}$ $+1$ $-una$ $C$ $gramo$ ${\ estilo de visualización 4g-3-g=3g-3}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3g-3}}$

La integración indefinida de una forma 1 holomorfa da coordenadas locales fuera de sus ceros, cuyas funciones de transición son traslaciones paralelas , también llamadas traslaciones. Una superficie con un atlas de esta forma se denomina superficie de traslación . Geométricamente, es simplemente una estructura plana que tiene un ángulo total en ceros que es un múltiplo entero de . De manera similar, uno puede integrar la raíz cuadrada de un diferencial cuadrático (incluso si está definido hasta el signo). $z\mapsto z+c$ $2\pi$

Más específicamente, sea un diferencial cuadrático distinto de cero en la superficie de Riemann y sean sus ceros. Elijamos un punto diferente a ellos . Entonces, la integral indefinida está bien definida y depende solo de la clase de homotopía del camino, en particular, define el mapeo de la cobertura universal , llamado mapeo de desarrollo . Esto da un conjunto de gráficos en una superficie perforada de Riemann , las funciones de reencolado entre las cuales se simplifican a (donde surge el signo porque el signo de la raíz cuadrada puede cambiar cuando gira alrededor de cero). Tal estructura geométrica se llama superficie semitraslacional . Al hacer suficientes cortes entre ceros para que la superficie esté simplemente conectada, se puede lograr que en el área restante el mapeo desplegado se convierta en una función holomórfica de un solo valor que define el mapeo en el polígono. Por lo tanto, una superficie con un diferencial cuadrático se puede representar como un polígono (posiblemente no convexo) en el plano complejo, cuyos lados paralelos están pegados de acuerdo con la ley . Por el contrario, si hay una superficie realizada de esta manera, o por un conjunto de mapas con funciones de repegado de la forma , el diferencial cuadrático en esta superficie se restituye en cada mapa como una imagen inversa . Es fácil ver que estos diferenciales serán consistentes en este tipo de madera contrachapada. Geométricamente, una superficie semitraslacional es una estructura plana con singularidades que tienen ángulos completos que son múltiplos de . $q$ $C$ $Z_{q}=\{x_{1},\puntos x_{4g-4}\}$ $z_{0}\en C$ $z\mapsto\int _{z_{0}}^{z}{\sqrt {q}}$ ${\widetilde {C\setminus Z_{q))}\to \mathbb {C}$ ${\displaystyle C\setminus Z_{q))$ $z\mapsto \pm z+c$ $z\mapsto \pm z+c$ $z\mapsto \pm z+c$ $dz\otimes dz$ $\Pi$

Foliaciones medibles

Una diferencial cuadrática en todo punto donde no se anula tiene dos direcciones reales dadas por los vectores y , donde el número (resp. ) es positivo (resp. negativo). Al mostrar un barrido, se mueven en dirección horizontal y vertical en . En la superficie, el campo de dirección define una foliación , y estas dos foliaciones mutuamente perpendiculares se denominan horizontal y vertical . En los ceros de la diferencial, estas foliaciones tienen singularidades, es decir, allí las curvas integrales de esta foliación convergen en un número tal que el ángulo total en esta singularidad tiene una estructura plana asociada a una diferencial cuadrática. ${\ estilo de visualización v_ {+))$ $v_{-}$ ${\ estilo de visualización q (v_ {+}, v_ {+})}$ ${\ estilo de visualización q (v_ {-}, v_ {-})}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

La medida transversal sobre la foliación real se puede definir de la siguiente manera. En un mapa suficientemente pequeño, la foliación es simplemente la proyección del disco sobre un segmento, cuyas capas son curvas integrales. Una medida sobre un segmento define una medida sobre cualquier curva que corta transversalmente la foliación. El conjunto de tales medidas en cada carta, que es consistente en las intersecciones de las cartas, se llama medida transversal en una superficie foliada. En pocas palabras, la medida transversal asigna a cualquier arco que corta transversalmente la foliación el número , que se suma cuando el arco se divide en una unión de arcos más pequeños, y no cambia si el arco comienza a variar, dejando sus extremos en las mismas hojas. de la foliación. Una foliación con una medida transversal dada en ella se llama foliación medible . En el caso de foliaciones asociadas a un diferencial cuadrático, las proyecciones anteriores son simplemente proyecciones sobre los ejes mm y reales, que tienen su propia medida natural de Lebesgue . Por lo tanto, el diferencial cuadrático define no solo un par de foliaciones, sino un par de foliaciones medibles. $\xi$ $\mu (\xi)$

Si es una curva cerrada simple, entonces el valor de la medida transversal sobre ella se puede definir como , donde es el conjunto de arcos que descansan sobre la foliación y la cortan transversalmente. Si es una clase de curvas cerradas simples hasta la isotopía, el número de intersección de una foliación medible con esta clase se define como . Se dice que dos foliaciones medibles son equivalentes si dan la misma intersección con cada clase de isotopía de curvas cerradas simples. Esta es una versión métrica del concepto de homología de dos formas diferenciales cerradas: dos formas 1 son cohomológicas si sus integrales sobre todas las clases de homología son las mismas. $\xi$ ${\ estilo de visualización \ mu (\ xi) = \ sup _ {\ xi _ {1}, \ puntos, \ xi _ {m}} \ suma _ {i = 1}^ {m} \ mu (\ xi _ { i})}$ $\xi _{i}$ $\xi$ $\sigma$ ${\ estilo de visualización \ inf _ {\ xi \ en \ sigma} \ mu (\ xi)}$

Una de las consecuencias estándar de la teoría de Hodge (en realidad más bien el punto de partida para su desarrollo) es que el espacio de formas 1 holomorfas en una superficie de Riemann puede identificarse con el espacio de la primera cohomología de De Rham: cada clase de cohomología de De Rham está representada por una única forma armónica por el teorema fundamental de la teoría de Hodge, y las formas armónicas sobre la curva son exactamente las partes reales de las holomorfas. El teorema de Mazur -Hubard proporciona una descripción topológica similar de los datos holomorfos para diferenciales cuadráticos : toda foliación medible en una superficie de Riemann admite, y además, un único diferencial cuadrático cuya foliación vertical es equivalente a él.

Literatura

HM Farkas, I. Kra. Superficies de Riemann , Textos de Posgrado en Matemáticas. Springer, 2ª edición, 1992.
Miguel Lobo. Sobre la realización de foliaciones medidas a través de diferenciales cuadráticos de mapas armónicos a árboles R