Raíz cuadrada de 2

Números irracionales ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π y π
Notación	Número estimado √ 2
Decimal	1.4142135623730950488…
Binario	1.0110101000001001111…
hexadecimal	1.6A09E667F3BCC908B2F...
Sexagésimo	una; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
Aproximaciones racionales	3 / 2 ; 7 / 5 ; 17/12 ; _ _ 41/29 ; _ _ 99/70 ; _ _ 239/169 ; _ _ 577/408 ; _ _ 1393/985 ; _ _ 3363 / 2378 ; 8119/5741 ; _ _ 19601 / 13860 (enumerados en orden creciente de precisión)
fracción continua	$1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots ))))))))))$

1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 02494413 41 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472

Valor con los primeros mil decimales [1] .

{\ sqrt {2}}

La raíz cuadrada de 2 es un número real positivoque, cuando se multiplica por sí mismo, da 2 . Designacion: ${\ sqrt {2}).$

Geométricamente, la raíz de 2 se puede representar como la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 (esto se deriva del teorema de Pitágoras ). Probablemente fue el primer número irracional conocido en la historia de las matemáticas (es decir, un número que no se puede representar exactamente como una fracción ).

Una aproximación buena y comúnmente utilizada es la fracción . A pesar de que el numerador y el denominador de la fracción son solo números enteros de dos dígitos, difiere del valor real en menos de 1/10000. ${\ sqrt {2}}$ ${\tfrac {99}{70}}$

Historia

La tablilla de arcilla de Babilonia (c. 1800-1600 a. C.) da la aproximación más precisa cuando se escribe en cuatro dígitos sexagesimales, que después de redondear son 6 dígitos decimales exactos: ${\ sqrt {2}}$

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1,41421(296) \,.

Otra aproximación temprana de este número en un antiguo texto matemático indio llamado Shulba Sutras (c. 800-200 a. C.) se da de la siguiente manera:

1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\aprox. 1,414215686\,.

Los pitagóricos encontraron que la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado, o en lenguaje moderno, que la raíz cuadrada de dos es un número irracional . Poco se sabe con certeza sobre la época y circunstancias de este destacado descubrimiento, pero tradicionalmente se atribuye su autoría a Hippaso de Metaponto , quien, según varias versiones de la leyenda, fue asesinado o expulsado por los pitagóricos por este descubrimiento, culpándolo por la destrucción de la principal doctrina pitagórica de que "todo es un número [natural]". Por lo tanto, la raíz cuadrada de 2 a veces se llama la constante de Pitágoras, ya que fueron los pitagóricos quienes probaron su irracionalidad, descubriendo así la existencia de números irracionales. .

Algoritmos de cálculo

Hay muchos algoritmos para aproximar el valor de la raíz cuadrada de dos con fracciones comunes o decimales . El algoritmo más popular para esto, que se usa en muchas computadoras y calculadoras, es el método babilónico para calcular raíces cuadradas (un caso especial del método de Newton ). Consiste en lo siguiente:

a_{{n+1}}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n)))){2}}={\frac {a_{n}}{2}} +{\frac{1}{a_{n}}}.

Cuantas más repeticiones haya en el algoritmo (es decir, más ), mejor será la aproximación de la raíz cuadrada de dos. Cada repetición duplica aproximadamente el número de dígitos correctos. Varias primeras aproximaciones, comenzando con : $norte$ ${\ estilo de visualización a_ {0} = 1}$

${\frac {3}{2}}={\color {Verde}1}{,}5$
${\frac {17}{12}}={\color {Verde}1{,}41}6\ldots$
${\frac {577}{408}}={\color {Verde}1{,}41421}5\ldots$
${\frac {665857}{470832}}={\color {Verde}1{,}41421356237}46\ldots$

En 1997, Yasumasa Canada calculó el valor en 137.438.953.444 decimales. En febrero de 2007, se rompió el récord cuando Shigeru Kondo calculó 200 mil millones de decimales en 13 días y 14 horas utilizando un procesador de 3,6 GHz y 16 GB de RAM . ${\ sqrt {2}}$

Regla mnemotécnica

Para memorizar el valor de la raíz de dos con ocho decimales (1,41421356), puedes utilizar el siguiente texto (el número de letras de cada palabra corresponde al dígito decimal): “Y tengo una fruta, pero tienen muchas raíces .”

Propiedades de la raíz cuadrada de dos

La mitad es aproximadamente igual a 0,70710 67811 86548; este valor da en geometría y trigonometría las coordenadas de un vector unitario que forma un ángulo de 45° con los ejes coordenados: ${\ sqrt {2}}$

{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\circ }=\sen 45^{\circ }.

Una de las propiedades interesantes es la siguiente: ${\ sqrt {2}}$

\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1

. porque

({\raíz cuadrada {2}}+1)({\raíz cuadrada {2}}-1)=2-1=1.

Este es el resultado de la propiedad de la sección de plata .

Otra propiedad interesante : ${\ sqrt {2}}$

{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots))))))=2.

La raíz cuadrada de dos se puede expresar en unidades imaginarias i usando solo raíces cuadradas y operaciones aritméticas:

{\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}

{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.

La raíz cuadrada de 2 es el único número distinto de 1 cuya tetración infinita es igual a su cuadrado.

{\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}^({\ \cdot ^({\cdot ^{\cdot )))))))) ) }=2

La raíz cuadrada de dos también se puede usar para aproximar : $\Pi$

2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2)))))))))\to \pi \quad

m\a\infty.

Desde el punto de vista del álgebra superior , es la raíz del polinomio y por tanto es un entero algebraico [2] . El conjunto de números de la forma , donde son números racionales , forma un campo algebraico . Se denota y es un subcampo del campo de los números reales . ${\ sqrt {2}}$ $x^{2}-2$ $a+b{\raíz cuadrada {2}}$ $a, b$ ${\ matemáticas {Q}} [{\ sqrt {2}}]$

Prueba de irracionalidad

Prueba vía factorización

Apliquemos la prueba por contradicción : digamos que es racional , es decir, se representa como una fracción , donde es un número entero , y es un número natural . ${\ sqrt {2}}$ ${\frac{m}{n}}$ $metro$ $norte$

Elevemos al cuadrado la supuesta igualdad:

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Flecha derecha 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Flecha derecha m^{2}=2n^ {2}

Dado que la descomposición en factores primos contiene una potencia par y una potencia impar, la igualdad es imposible. Por lo tanto, la suposición original era incorrecta y es un número irracional. $m^{2}$ $2$ $2n^{2}$ ${\ estilo de visualización m^{2}=2n^{2}}$ ${\ sqrt {2}}$

Fracción continua

La raíz cuadrada de dos se puede representar como una fracción continua :

\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+ \ddots }}}}}}}}}.

Los convergentes de una fracción continua dada dan valores aproximados que rápidamente convergen a la raíz cuadrada exacta de dos. La forma de calcularlos es simple: si denotamos la fracción adecuada anterior , entonces la siguiente tiene la forma . La tasa de convergencia aquí es menor que la del método babilónico, pero los cálculos son mucho más simples. Anotemos unas primeras aproximaciones: ${\frac{m}{n}}$ ${\ fracción {m+2n}{m+n}}$

{\frac {3}{2));\ {\frac {7}{5));\ {\frac {17}{12));\ {\frac {41}{29));\ {\ fracción {99}{70));\ {\frac {239}{169));\ {\frac {577}{408));\ {\frac {1393}{985));\ {\frac { 3363}{2378}}\puntos

El cuadrado de la última fracción reducida es (redondeado) 2.000000177.

Tamaño del papel

La raíz cuadrada de dos se utiliza en la relación de aspecto del papel ISO 216 serie A y B, y el papel ISO 217 serie C. La relación de aspecto es . Al cortar una hoja por la mitad paralelamente a su lado corto, se obtendrán dos hojas de la misma proporción. Esto le permite numerar los tamaños de papel con un número en orden descendente del área de la hoja (número de cortes): A0, A1, A2, A3, A4 , ... y B0, B1, B2, B3 ... $1: {\ sqrt {2}}$

De forma similar (dividiendo la hoja por la mitad), en los formatos de papel fotográfico se utiliza la aproximación racional a la raíz de dos (7/5): 2R (2,5 × 3,5 pulgadas), 3R (3,5 × 5 pulgadas), 5R (5×7”).

Véase también

Notas

↑ La raíz cuadrada de dos, a 5 millones de dígitos
↑ No confundir con número entero .

Literatura

Claudia Alsina. La secta de los números. Teorema de pitágoras. - M. : De Agostini, 2014. - 152 p. — (El Mundo de las Matemáticas: en 45 volúmenes, volumen 5). - ISBN 978-5-9774-0633-8 .

Enlaces

La constante de Pitágoras Archivado el 20 de diciembre de 2018 en Wayback Machine .

Numeros irracionales
Constante de Apéry ( ζ(3) ) Constante de Erdős-Borwein ( E ) constantes de Feigenbaum Sueño sofomoriano Número primo constante (ρ) Número plástico (ρ) Logaritmo de dos (ln 2) raíz 12 de 2 ( 12 √ 2 ) Raíz cuadrada de 2 ( √ 2 ) Raíz cuadrada de 3 ( √ 3 ) Raíz cuadrada de 5 ( √5 ) Proporción áurea (φ) Súper proporción áurea (ψ) Sección de plata ( δS ) mi π Constante de Gelfond ( e π ) Constante de Gelfond-Schneider ( 2 √ 2 ) Constante inversa de Fibonacci (ψ)
trascendental Trigonométrico