Teoría de las aproximaciones diofánticas

La teoría de las aproximaciones diofánticas es una rama de la teoría de números que estudia la aproximación de números reales por racionales ; nombrado después de Diofanto de Alejandría .

El primer problema era la cuestión de qué tan bien se puede aproximar un número real mediante números racionales. Para este problema, un número racional a / b es una "buena" aproximación de un número real α , si el valor absoluto de la diferencia entre a / b y α no se puede reducir reemplazando a / b por otra fracción racional de menor tamaño . denominador. El problema se resolvió en el siglo XVIII mediante fracciones continuas .

Si se conocen las "mejores" aproximaciones de un número dado, la tarea principal del área es encontrar los límites superior e inferior exactos de dicha diferencia, expresados en función del denominador.

Los límites parecen depender de la naturaleza de los números reales: el límite inferior para una aproximación de números racionales por otro número racional es mayor que el límite inferior para números algebraicos , que a su vez es mayor que el límite inferior para números reales. Así, los números reales que pueden aproximarse mejor que el límite de los números algebraicos son definitivamente números trascendentales . Esto hizo posible que Liouville en 1844 obtuviera el primer número trascendental dado explícitamente. Posteriormente, utilizando un método similar, se comprobó que y son trascendentales. $\Pi$ $mi$

Así, las aproximaciones diofánticas y la teoría de los números trascendentales son áreas muy cercanas y tienen muchos teoremas y métodos generales. Las aproximaciones diofánticas también tienen importantes aplicaciones en el estudio de las ecuaciones diofánticas .

Observaciones históricas

Después de que Borel y Khinchin establecieron que casi todos los números admiten solo la "peor aproximación" por números racionales, se formó la dirección de la teoría métrica de las aproximaciones diofánticas (la teoría de las aproximaciones de cantidades independientes), que pertenece a la rama clásica de las aproximaciones diofánticas. .

Una nueva tendencia vino de una dirección inesperada. Mahler, al clasificar los números trascendentales, formuló el principal problema métrico de la teoría de los números trascendentales: la hipótesis sobre la "medida de trascendencia" de casi todos los números. Cuando se demostró la conjetura, comenzó a abrirse una profunda conexión entre la teoría clásica de las aproximaciones diofánticas y la teoría métrica de los números trascendentales. El resultado fue el desarrollo de una nueva dirección: la teoría de las aproximaciones de cantidades dependientes.

Hay tres enfoques principales en la teoría moderna.

Global, estudiando las leyes generales de aproximación. Ejemplos de declaraciones globales son los teoremas de Dirichlet y Kronecker, la conjetura de Minkowski sobre productos de formas lineales.
Un enfoque individual se refiere a las propiedades de los números especiales (números algebraicos, ) o requiere la construcción de números con ciertas propiedades (números de Liouville, números T de Mahler). ${\ estilo de visualización e, \ pi, \ ln 2}$
El enfoque métrico, que ocupa una posición intermedia. El enfoque requiere una descripción de las propiedades de aproximación de los números basada en la teoría de la medida [1] .

Las mejores aproximaciones diofánticas de números reales

Dado un número real α , hay dos formas de encontrar la mejor aproximación diofántica de α . En la primera definición [2] , un número racional p / q es la mejor aproximación diofántica de un número α si

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,

para cualquier número racional p' / q' distinto de p / q tal que 0 < q ′ ≤ q .

En la segunda definición [3] [4] , la desigualdad anterior se reemplaza por

\left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.

La mejor aproximación para la segunda definición es la mejor para la primera definición, pero lo contrario no es cierto [5] .

La teoría de las fracciones continuas le permite calcular la mejor aproximación de un número real; para la segunda definición, las fracciones convergen como fracciones continuas ordinarias [4] [5] [6] . Para la primera definición, también se deben considerar las fracciones intermedias [2] .

Nota : Estamos de acuerdo en denotar porfracciones adecuadas de una fracción continua dada. Las fraccionesforman una secuencia creciente para k par y una secuencia decreciente para k impar Los miembros extremos de esta sucesión son convergentes de la misma paridad. Los términos intermedios entre ellos se denominan fracciones intermedias [7] .

{\frac{p_{k}}{q_{k}}}

{\tfrac {p_{k-2}}{q_{k-2}}},{\tfrac {p_{k-2}+p_{k-1}}{q_{k-2}+ q_{k-1))},{\tfrac{p_{k-2}+2p_{k-1}}{q_{k-2}+2q_{k-1}}},...,{\ tfrac {p_{k-2}+a_{k}p_{k-1}}{q_{k-2}+a_{k}q_{k-1}}}={\tfrac{p_{k}} {q_{k}}}

Por ejemplo, la constante e = 2.718281828459045235… se representa como una fracción continua

[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots\;].

Sus mejores actuaciones por la segunda definición

3,{\tfrac {8}{3)),{\tfrac {11}{4)),{\tfrac {19}{7)),{\tfrac {87}{32)),\ ldots\,,

Mientras que según la primera definición, las mejores representaciones serían

3,{\tfrac {5}{2)),{\tfrac {8}{3)),{\tfrac {11}{4)),{\tfrac {19}{7)),{ \tfrac {49}{18)),{\tfrac {68}{25)),{\tfrac {87}{32)),{\tfrac {106}{39)),\ldots \,.

Una medida de la precisión de las aproximaciones

Una medida obvia de la precisión de la aproximación diofántica de un número real α por un número racional p / q es . Sin embargo, este valor siempre se puede hacer tan pequeño como se desee aumentando los valores absolutos de p y q . Por esta razón, la precisión de la aproximación suele compararse con alguna función φ del denominador q , normalmente una potencia negativa del denominador. $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|$

Se puede usar un límite superior en los límites inferiores de precisión para tal estimación. El límite inferior generalmente se describe mediante un teorema como "Para cualquier elemento α de algún subconjunto de los números reales y cualquier número racional p / q tenemos ". En algunos casos, "cualquier número racional" se puede reemplazar por "todos los números racionales excepto un número finito", y este número se tiene en cuenta al multiplicar φ por alguna constante que depende de α . $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)$

Para los límites superiores, se puede tener en cuenta el hecho de que no todas las "mejores" aproximaciones diofánticas obtenidas al construir una fracción continua pueden dar la precisión deseada. Por lo tanto, los teoremas toman la forma "Para cualquier elemento α de algún subconjunto de números reales, existen infinitos números racionales p / q tales que ". $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)$

Números mal aproximados

Un número mal aproximado es un número x para el cual existe una constante positiva c tal que para todo racional p / q tenemos

\left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .

Los números mal aproximados son números exactos con cocientes parciales acotados [8] .

Límites inferiores para aproximaciones diofánticas

Aproximación de números racionales por otros números racionales

Obviamente, un número racional se puede aproximar perfectamente mediante números para cualquier número entero positivo i . ${\ estilo de visualización \ alfa = {\ frac {a} {b}}}$ ${\tfrac {p_{i}}{q_{i}}}={\tfrac {i\,a}{i\,b}}$

si tenemos ${\tfrac {p}{q}}\not =\alpha ={\tfrac {a}{b}}\,,$

\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\ geq {\frac {1}{bq)),

porque es un número entero positivo y, por lo tanto, no menor que 1. La precisión de esta aproximación es pobre con respecto a los números irracionales (ver la siguiente sección). $|aq-pb|$

Se puede ver que la prueba anterior usa una variante del principio de Dirichlet : un número no negativo no igual a 0, no menor que 1. Esta observación obviamente trivial se usa en casi todas las pruebas para los límites inferiores de las aproximaciones diofánticas, incluso otros más complejos.

En resumen, un número racional es perfectamente aproximado por sí mismo, pero mal aproximado por cualquier otro número racional.

Aproximación de números algebraicos, resultado de Liouville

En la década de 1840, Joseph Liouville obtuvo el primer límite inferior para aproximar números algebraicos : si x es un número algebraico irracional de grado n sobre números racionales, entonces existe una constante c ( x ) > 0 tal que

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n))))

para todos los enteros p y q , donde q > 0 .

Este resultado le permitió obtener el primer ejemplo probado de un número trascendental, la constante de Liouville :

\sum _{j=1}^{\infty}10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots \,

que no satisface el teorema de Liouville, cualquiera que sea la potencia n que se elija.

Esta conexión entre las aproximaciones diofánticas y la teoría de los números trascendentales se observa hasta la actualidad. Muchas técnicas de prueba son comunes a estas dos áreas.

Aproximación de números algebraicos, teorema de Thue-Siegel-Roth

Durante más de un siglo, ha habido muchos intentos de mejorar el teorema de Liouville: cualquier mejora en el límite nos permite probar la trascendencia de más números. Axel Thue [9] , Karl Siegel [10] , Freeman Dyson [11] y Klaus Roth [12] realizaron importantes mejoras , lo que finalmente condujo al teorema de Thue-Siegel-Roth: si x es un número algebraico irracional y ε , (pequeño) número real positivo, entonces existe una constante positiva c ( x , ε ) tal que

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon)}{q^{2+\varepsilon))))

para cualesquiera enteros p y q tales que q > 0 .

En cierto sentido, este resultado es óptimo, ya que la afirmación del teorema falla para ε =0. Esta es una consecuencia directa de los límites superiores que se describen a continuación.

Aproximaciones conjuntas de datos algebraicos

Posteriormente, Wolfgang Schmidt generalizó esto al caso de aproximaciones conjuntas, demostrando que si x 1 , ..., x n son números algebraicos tales que 1, x 1 , ..., x n son linealmente independientes sobre números racionales , y se da cualquier número real positivo ε , entonces solo hay un número finito de n -tuplas racionales ( p 1 / q , ..., p n / q ) tales que

|x_{i}-p_{i}/q|<q^{-(1+1/n+\varepsilon)},\quad i=1,\ldots,n.

Nuevamente, este resultado es óptimo en el sentido de que ε no se puede eliminar del exponente.

Límites efectivos

Todos los límites inferiores anteriores no son efectivos , en el sentido de que la prueba no proporciona una forma de calcular la constante en el enunciado. Esto significa que no es posible usar la demostración del teorema para obtener cotas para las soluciones de la correspondiente ecuación diofántica. Sin embargo, esta técnica a menudo se puede utilizar para limitar el número de soluciones a dicha ecuación.

Sin embargo, el refinamiento de Feldman del teorema de Baker proporciona un límite efectivo: si x es un número algebraico de grado n sobre números racionales, entonces hay constantes efectivamente computables c ( x ) > 0 y 0 < d ( x ) < n tales que

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)))))

vale para todos los números racionales.

Sin embargo, como para cualquier versión efectiva del teorema de Baker, las constantes d y 1/ c son tan grandes que este resultado efectivo no se puede aplicar en la práctica.

Límite superior para aproximaciones diofánticas

Límite superior general

El primer resultado importante sobre los límites superiores para las aproximaciones diofánticas es el teorema de aproximación de Dirichlet , que implica que para cualquier número irracional α existen infinitas fracciones , tales que: ${\tfrac{p}{q))$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2))))

Se sigue inmediatamente que es imposible deshacerse de ε en el enunciado del teorema de Thue-Siegel-Roth.

Unos años más tarde, este teorema se mejoró al siguiente teorema de Borel (1903) [13] . Para cualquier número irracional α , existen infinitas fracciones tales que: ${\tfrac{p}{q}}\;$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}({\sqrt {5}}q^{2}}}

Por lo tanto, es el límite superior de las aproximaciones diofánticas de cualquier número irracional. La constante en este resultado no se puede mejorar sin eliminar algunos números irracionales (ver más abajo). ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2))))$

Números reales equivalentes

Definición : Dos números reales se llaman equivalentes [14] [15] si hay enteros con , tales que: $x,y$ ${\ estilo de visualización a, b, c, d \;}$ $ad-bc=\pm 1\;$

y={\frac{ax+b}{cx+d}}\,.

La equivalencia se define por la transformada entera de Möbius sobre los reales, o por un miembro del grupo modular , el conjunto de matrices invertibles de 2 × 2 sobre los números enteros. Todo número racional es equivalente a 0. Así, los números racionales son la clase de equivalencia de esta relación. ${\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )$

Esta equivalencia puede cubrir fracciones continuas ordinarias, como muestra el siguiente teorema de Serret :

Teorema : dos números irracionales x e y son equivalentes si y solo si hay dos números enteros positivos h y k tales que cuando x e y se representan como fracciones continuas

x=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots]\,,

y=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots]\,,

realizado

{\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i))

para cualquier entero no negativo i . [dieciséis]

Espectro de Lagrange

Como se indicó anteriormente, la constante en el teorema de Borel no se puede mejorar, como lo demostró Hurwitz en 1891 [17] . Sea la proporción áurea . Entonces, para cualquier constante real , solo hay un número finito de números racionales p / q tales que $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $c>{\sqrt {5}}\;$

\left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.

Por lo tanto, solo se puede obtener una mejora eliminando números equivalentes a . Más precisamente [18] [19] : Para cualquier número racional que no sea equivalente a , existen infinitas fracciones tales que $\fi$ $\alfa$ $\fi$ ${\tfrac{p}{q}}\;$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}({\sqrt {8}}q^{2}}}.

Al eliminar sucesivamente las clases de equivalencia (cada una debe excluir los números que son equivalentes ), se puede elevar el límite inferior. Los valores que se pueden obtener como resultado de este proceso son los números de Lagrange , que forman parte del espectro de Lagrange . Convergen a 3 y están relacionados con los números de Markov [20] [21] . ${\ sqrt {2}}$

El teorema de Khinchin y sus extensiones

Sea una función no creciente de números positivos a números reales positivos. Un número real x (no necesariamente algebraico) se llama - aproximable si existen infinitos números racionales p / q tales que [22] $\psi$ $\psi$

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.

Khinchin en 1926 demostró que si la secuencia diverge, entonces casi todos los números reales (en el sentido de la medida de Lebesgue ) son aproximables, y en el caso de convergencia de la secuencia, casi todos los números reales no son aproximables. ${\ estilo de visualización \ suma _ {q} \ psi (q)}$ $\psi$ $\psi$

Duffin y Shaffer [23] demostraron un teorema más general del que se deriva el resultado de Khinchin e hicieron una conjetura que ahora se conoce como la conjetura de Duffin-Schaffer [24] . Beresnevich y Velani [25] demostraron que el análogo de la conjetura de Duffin-Schaffer en la medida de Hausdorff es equivalente a la conjetura de Duffin-Schaffer original, que es a priori más débil.

Dimensión Hausdorff de conjuntos excepcionales

Un ejemplo importante de una función a la que se puede aplicar el teorema de Khinchin es una función , donde c > 1. Para esta función, la serie correspondiente converge, de modo que, según el teorema de Khinchin, el conjunto de números aproximables tiene una medida de Lebesgue cero en el eje real. El teorema de Jarnik - Besicovitch establece que la dimensión de Hausdorff de este conjunto es [26] . En particular, el conjunto de números -aproximables para algunos (conocidos como números muy aproximables ) tiene dimensión uno, mientras que el conjunto de números -aproximables para todos (conocidos como números de Liouville ) tiene dimensión cero de Hausdorff. $\psi$ ${\ estilo de visualización \ psi _ {c} (q) = q ^ {-c)}$ ${\ estilo de visualización \ psi _ {c}}$ $1/c$ ${\ estilo de visualización \ psi _ {c}}$ ${\ estilo de visualización c> 1}$ ${\ estilo de visualización \ psi _ {c}}$ ${\ estilo de visualización c> 1}$

Otro ejemplo importante es la función donde . Para esta función, las sucesiones correspondientes divergen y, según el teorema de Khinchin, casi todos los números son aproximables. En otras palabras, estos números están bien aproximados (es decir, no están mal aproximados). Así, un análogo del teorema de Yarnick-Besicovitch debe referirse a la dimensión de Hausdorff de números mal aproximados. Y Yarnik, de hecho, probó que la dimensión de Hausdorff del conjunto de tales números es igual a uno. Este resultado fue mejorado por Schmidt , quien demostró que el conjunto de números poco aproximables es incompresible en el sentido de que si es una secuencia de aplicaciones bi- Lipschitz , entonces la dimensión de Hausdorff del conjunto de números x , para los cuales todos son pobremente aproximable, es igual a uno. Schmidt generalizó el teorema de Jarnick a dimensiones superiores, lo cual es un logro significativo, ya que el razonamiento de fracción continua de Jarnick se basa en gran medida en la unidimensionalidad del espacio. ${\displaystyle \psi _{\epsilon}(q)=\epsilon q^{-1))$ $\epsilon > 0$ ${\ estilo de visualización \ psi _ {\ épsilon}}$ $f_{1},f_{2},\ldots$ $f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots$

Distribución uniforme

Otra área en estudio es la teoría de una secuencia equidistribuida módulo 1 . Tomemos una secuencia a 1 , a 2 , … de números reales y consideremos sus partes fraccionarias . Es decir, más formalmente, considere una secuencia en R/Z que es cíclica (puede pensarse como un círculo). Para cualquier intervalo I en un círculo, consideramos la fracción de elementos hasta algún número entero N que se encuentran dentro del intervalo y comparamos este valor con la fracción del círculo ocupada por el intervalo I. La distribución uniforme significa que en el límite, a medida que N crece , la fracción de aciertos en el intervalo tiende al valor 'esperado'. Weyl demostró el resultado básico de que esto es equivalente a la acotación de las sumas de Weyl formadas a partir de la secuencia. Esto muestra que las aproximaciones diofánticas están estrechamente relacionadas con el problema general de la cancelación mutua en las sumas de Weyl (estimaciones del resto) que aparecen en la teoría analítica de números .

Un tema relacionado con la distribución uniforme es el tema de las distribuciones desiguales , que tiene un carácter combinatorio .

Cuestiones no resueltas

Todavía hay problemas formulados simplemente pero sin resolver de las aproximaciones diofánticas, como la conjetura de Littlewood y la conjetura del corredor solitario . Tampoco se sabe si hay números algebraicos con coeficientes ilimitados en la expansión de fracciones continuas.

Investigaciones recientes

En la reunión plenaria del Congreso Internacional de Matemáticos en Kioto (1990) , Grigory A. Margulis esbozó un amplio programa basado en la teoría ergódica , que permite probar resultados de teoría numérica utilizando las propiedades dinámicas y ergódicas de las acciones de subgrupos de Lie semisimple. grupos _ El trabajo de D. Ya. Kleinbock y G. A. Margulis (con coautores) demuestra el poder de este nuevo enfoque de los problemas clásicos de las aproximaciones diofánticas. Los logros notables incluyen la demostración de Margulis de la conjetura de Oppenheim presentada hace décadas con más extensiones (Dani y Margulis, Eskin-Margulis-Moses), y la demostración de Kleinbock y Margulis de las conjeturas de Baker y Sprindzhuk sobre aproximaciones diofánticas en colectores. Se han obtenido varias generalizaciones de los resultados de Khinchin anteriores sobre aproximaciones métricas diofánticas utilizando este método.

Véase también

Teorema de Davenport-Schmidt
Hipótesis de Duffin-Shaffer
Secuencia uniformemente distribuida

Notas

↑ Sprindzhuk, 1977 , pág. 4-5 Prólogo.
↑ 1 2 Khinchin, 1978 , pág. 32.
↑ Cassels, 1961 , pág. diez.
↑ 1 2 Leng, 1970 , pág. 19
↑ 1 2 Khinchin, 1978 , pág. 35.
↑ Cassels, 1961 , pág. 10–17.
↑ Khinchin, 1978 , pág. 21-22.
↑ Bugeaud, 2012 , pág. 245.
↑ Jueves, 1909 .
↑ Siegel, 1921 .
↑ Dyson, 1947 .
↑ Roth, 1955 .
↑ Perron, 1913 , pág. Capítulo 2, Teorema 15.
↑ Hurwitz, 1891 , pág. 284.
↑ Hardy y Wright 1979 , pág. Capítulo 10.11.
↑ Véase el artículo de Perron ( Perron 1929 , Capítulo 2, Teorema 23, p. 63)
↑ Hardy y Wright 1979 , pág. 164.
↑ Cassels, 1961 , pág. 21
↑ Hurwitz, 1891 .
↑ Cassels, 1961 , pág. 29
↑ Véase Michel Waldschmidt: Introducción a los métodos diofánticos, irracionalidad y trascendencia . Archivado el 9 de febrero de 2012 en Wayback Machine , págs. 24-26.
↑ Sprindzhuk, 1977 , pág. Capítulo 9
↑ Duffin, Schaeffer, 1941 .
↑ Sprindzhuk, 1977 , pág. 23
↑ Beresnevich, Velani, 2006 .
↑ Bernik, Beresnevich, Götze, Kukso, 2013 , pág. 24

Literatura

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V. Bernik, V. Beresnevich, F. Götze, O. Kukso. Distribución de números algebraicos y teoría métrica de aproximación diofantiana // Teoremas de límite en probabilidad, estadística y teoría de números: en honor a Friedrich Götze / Peter Eichelsbacher, Guido Elsner, Holger Kösters, Matthias Löwe, Franz Merkl, Silke Rolles. - Heidelberg: Springer, 2013. - T. 42. - S. 23-48. - (Procedimientos de Springer en Matemáticas y Estadística). -doi : 10.1007 / 978-3-642-36068-8_2 .
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Enlaces

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