Compactación Stone-Cech

La compactación Stone-Cech (también Stone-Cech o Cech-Stone compactification ) es la compactación máxima de un espacio topológico completamente regular .

La compactación Stone-Cech de un espacio generalmente se denota como . $X$ $\ beta X$

Historia

La construcción de compactación Stone-Cech fue considerada por primera vez por Tikhonov [1] en 1930. Fue descrito más explícitamente en 1937 por Stone [2] y Eduard Cech [3] .

Propiedad genérica

$\ beta X$ es un espacio de Hausdorff compacto junto con un mapeo continuo que satisface la siguiente propiedad universal : cualquier mapeo continuo a un espacio de Hausdorff compacto puede extenderse de manera única a un mapeo continuo tal que el siguiente diagrama es conmutativo : $X,$ ${\ estilo de visualización f: X \ a K}$ $k$ ${\ estilo de visualización \ beta f: \ beta X \ a K,}$

En el caso de que el espacio original fuera completamente regular, la aplicación es un homeomorfismo sobre la imagen de esta aplicación (es decir, una incrustación ). $X$ ${\ estilo de visualización X \ a \ beta X}$ $X$

Nota

Si bien la propiedad universal define de manera única una compactación hasta un isomorfismo , para probar la existencia de una compactación se debe describir una construcción explícita.

Construcción

Denote por el conjunto de todas las funciones continuas . Se puede verificar que el mapeo ( cubo de Tikhonov ) definido por la igualdad $A$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ dos puntos X \ a [0,1]}$ ${\ estilo de visualización F: X \ a [0,1] ^ {A}}$

{\displaystyle x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A))

es un homeomorfismo sobre su imagen . El cierre en y será la compactación deseada. $X$ $F(X)\subconjunto [0,1]^{A}$ ${\ estilo de visualización F (X)}$ ${\ estilo de visualización [0,1] ^ {A}}$

Propiedades

Si es un espacio discreto , su compactación es el conjunto de ultrafiltros sobre la red de subconjuntos dotados de la topología de Stone . Como base de conjuntos abiertos de la topología de Stone sobre el conjunto de ultrafiltros , podemos tomar conjuntos para todos los posibles $X$ $X,$ $GRAMO$ $D_{a}=\{U\en G|a\en U\}$ ${\ estilo de visualización a \ en P (X).}$

Notas

↑ Tychonoff, A. (1930), Über die topologische Erweiterung von Räumen, - Mathematische Annalen (Springer Berlin/Heidelberg) 102: 544-561
↑ Stone, MH (1937), Aplicaciones de la teoría de los anillos booleanos a la topología general, - Trans. amer soc. (Transacciones de la American Mathematical Society, Vol. 41, No. 3) 41 (3): 375-481
↑ Čech, E. (1937), Sobre espacios bicompactos, - Ann. Matemáticas. (Los Anales de Matemáticas, Vol. 38, No. 4) 38 (4): 823-844

Literatura

Extensión bicompacta Stone-Cech - Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . Kozhevnikova I. G.
Dror Bar-Natan , ultrafiltros, compacidad y compactación de Stone-Čech