Co-ecualizador

Un co- ecualizador  es una generalización teórica de categorías del concepto de un factor con respecto a la relación de equivalencia . Este concepto es dual al concepto de un ecualizador , de ahí el nombre.

Definición

Un coecualizador  es una codefinición de un diagrama que consta de dos objetos, X e Y , y dos morfismos paralelos f , g  : X → Y .

Más explícitamente, un coecualizador es un objeto Q junto con un morfismo q  : Y → Q tal que q ∘ f = q ∘ g . Además, un par ( Q , q ) tiene la propiedad universal : para cualquier otro par ( Q ′, q ′) con la misma propiedad, existe un único morfismo u  : Q → Q ′ que cierra el siguiente diagrama a uno conmutativo :

Como cualquier construcción universal, un coecualizador, si existe, se define hasta el isomorfismo. Se puede demostrar que el coecualizador q es un epimorfismo en cualquier categoría.

Ejemplos

• En la categoría de conjuntos, el coecualizador de dos funciones f , g  : X → Y  es el factor Y por la relación de equivalencia más débil , tal que para cualquier , verdadero .

• En la categoría de grupos , la situación es muy similar: si f , g  : X → Y  son homomorfismos de grupo, su coecualizador es el factor Y por la clausura normal del conjunto: .

• Para los grupos abelianos, el coecualizador es especialmente simple. Este es simplemente el grupo de factores Y / im( f  − g ) ( el conúcleo del morfismo f − g ).

• En la categoría de espacios topológicos, el círculo puede considerarse como un coecualizador de dos incrustaciones del símplex estándar de 0 dimensiones en el símplex estándar de 1 dimensión.

• Los coecualizadores pueden ser bastante grandes: hay exactamente dos funtores de la categoría 1 con un objeto y un morfismo, a la categoría 2 con dos objetos y exactamente un morfismo de no identidad. El coecualizador de estos funtores es el monoide de los números naturales por adición, considerado como una categoría con un elemento. Esto muestra que, aunque todo coecualizador es epimórfico, no es necesariamente sobreyectivo .

Literatura

• McLane S. Capítulo 3. Construcciones y límites universales // Categorías para el matemático en activo = Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .