Función lineal

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Función lineal - función de la forma

y=kx+b

(para funciones de una variable).

La principal propiedad de las funciones lineales es que el incremento de la función es proporcional al incremento del argumento. Es decir, la función es una generalización de proporcionalidad directa .

La gráfica de una función lineal es una línea recta , por lo que su nombre es conexo. Esto se refiere a una función real de una variable real.

En algunos casos, las funciones lineales se denominan homogéneas (esto es esencialmente un sinónimo de proporcionalidad directa), en contraste con las funciones lineales no homogéneas . $b=0$ $b\neq 0$

Propiedades

$k$ ( pendiente de la línea ) es la tangente del ángulo que forma la línea con la dirección positiva del eje x , y se puede encontrar a partir de la fórmula . $\alpha \in \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2));\pi \right),$ $k=\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{1} -y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$
Cuando , la línea forma un ángulo agudo con la dirección positiva del eje x . $k>0$
Cuando , la línea forma un ángulo obtuso con la dirección positiva del eje x . $k<0$
En , la línea recta es paralela al eje x . $k=0$

El ángulo entre dos líneas rectas dado por las ecuaciones y está determinado por la igualdad: donde , es decir, las líneas no son mutuamente perpendiculares; para y las rectas son paralelas. $y=k_{1}x+b_{1},$ $y=k_{2}x+b_{2},$ ${\mathrm {tg}}\,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,$ $k_{1}k_{2}\neq -1,$ $k_{1}=k_{2},~\alfa =0$

$b$ es el índice de la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje y .
Para , la recta pasa por el origen. $b=0$

Una función lineal es monótona y no convexa en todo el dominio de definición , la derivada y la antiderivada de la función se escribirán: ${\ estilo de visualización (\ mathbb {R})}$ $f'(x)$ $F(x)$ ${\ estilo de visualización f (x) = kx + b}$

${\ estilo de visualización f' (x) = k}$
$F(x)={\frac{kx^{2}}{2}}+bx+C$

Función inversa a : $f(x)$ $f^{-1}(x)={\frac {1}{k}}\,x-{\frac {b}{k}}$

Función lineal de varias variables

Función lineal de variables - función de la forma $norte$ $x=(x_{1},x_{2},\puntos,x_{n})$

f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\puntos +a_{n}x_{n}

donde están algunos números fijos. El dominio de definición de una función lineal es el espacio de todas las dimensiones de variables reales o complejas . Cuando una función lineal se denomina forma homogénea , o lineal . $a_{0},a_{1},a_{2},\puntos,a_{n}$ $norte$ $x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}$ $a_{0}=0$

Si todas las variables y coeficientes son números reales, entonces la gráfica de una función lineal en un espacio bidimensional de variables es un hiperplano bidimensional . $x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}$ $a_{0},a_{1},a_{2},\puntos,a_{n}$ $(n+1)$ $x_{1},x_{2},\puntos,x_{n},y$ $norte$

y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\puntos +a_{n}x_{n}

en particular, at es una línea recta en el plano. $n=1$

Álgebra abstracta

El término "función lineal" o, más precisamente, "función homogénea lineal", se usa a menudo para un mapeo lineal de un espacio vectorial sobre algún campo dentro de este campo, es decir, para un mapeo tal que para cualquier elemento y cualquier igualdad $X$ $k$ ${\ estilo de visualización f: X \ a K}$ $x,y\en X$ ${\ estilo de visualización \ alfa, \ beta \ en K}$

f(\alfa x+\beta y)=\alfa f(x)+\beta f(y)

además, en este caso, en lugar del término "función lineal", también se utilizan los términos funcional lineal y forma lineal , lo que también significa una función homogénea lineal de una clase determinada.

Álgebra de la lógica

Una función booleana se llama lineal si existe tal , donde , que para cualquiera se cumple la igualdad: $f(x_{1},x_{2},\puntos,x_{n})$ $a_{0},a_{1},a_{2},\puntos,a_{n}$ $a_{i}\en \{0,1\},\forall i=\overline {1,n}$ $x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}$

f(x_{1},x_{2},\puntos,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\ oplus \puntos \oplus a_{n}\cdot x_{n}

Funciones no lineales

Para funciones que no son lineales, utilice el término funciones no lineales . Lo mismo se aplica al uso de la palabra no lineal en relación con otros objetos que no tienen la propiedad de linealidad, por ejemplo, ecuaciones diferenciales no lineales . Por lo general, el término se usa cuando la dependencia funcional se aproxima primero a ser lineal, y luego se procede al estudio de un caso más general, a menudo a partir de potencias más bajas, por ejemplo, considerando correcciones cuadráticas.

Las ecuaciones no lineales son bastante arbitrarias. Por ejemplo, la función es no lineal . $y=x^2$

En algunos casos, este término también se puede aplicar a dependencias , donde , es decir, a funciones lineales no homogéneas, ya que no tienen la propiedad de linealidad, a saber, en este caso, y . Por ejemplo, se considera una relación no lineal para un material con endurecimiento (ver teoría de la plasticidad ). $f=kx+b$ $b\neq 0$ $f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})$ $f(cx)\neq cf(x)$ $\sigma (\tau)$

Véase también

Literatura

Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios. Bronstein I. N., Semendyaev K. A. - M .: Nauka, 1981. - 720 págs., il.