Cuadrado mágico

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Magia o cuadrado mágico : una tabla cuadrada llena de diferentes números de tal manera que la suma de los números en cada fila, cada columna y en ambas diagonales es la misma. Si las sumas de números solo en filas y columnas son iguales en un cuadrado, entonces se llama semimagia . Un cuadrado normal es un cuadrado mágico lleno de números naturales desde hasta . Un cuadrado mágico se llama asociativo o simétrico si la suma de dos números situados simétricamente alrededor del centro del cuadrado es igual a . $n\veces n$ $n^{2}$ $una$ $n^{2}$ $n^{2}+1$

Los cuadrados mágicos normales existen para todos los órdenes excepto para , aunque el caso es trivial: el cuadrado consta de un solo número. El caso mínimo no trivial se muestra a continuación, tiene orden 3. ${\ estilo de visualización n \ geq 1}$ $n=2$ $n=1$

		3	9	ocho	$\flecha correcta$	quince
		diez	6	2	$\flecha correcta$	quince
		5	cuatro	9	$\flecha correcta$	quince
	${\ estilo de visualización \ swarrow}$	$\flecha hacia abajo$	$\flecha hacia abajo$	$\flecha hacia abajo$	${\ estilo de visualización \ flecha}$
quince		quince	quince	quince		quince

La suma de los números en cada fila, columna y diagonal se llama constante mágica , M. La constante mágica de un cuadrado mágico normal depende solo de n y viene dada por

M(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2))

¿Por que es esto entonces?

Que haya un cuadrado con un lado Entonces habrá números en él. ${\ estilo de visualización n.}$ $n^{2}$

Por un lado, la suma de números $S=1+2+3+\ldots +n^{2}={\cfrac {n^{2}}{2}}(n^{2}+1).$

Por otra parte, $S=nM.$

Igualando, obtenemos la fórmula deseada.

Los primeros valores de las constantes mágicas se dan en la siguiente tabla (secuencia A006003 en OEIS ):

Ordenar $norte$	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez	once	12	13
${\ estilo de visualización M (n)}$	quince	34	sesenta y cinco	111	175	260	369	505	671	870	1105

4+5+6 = 15

7+8+9+10 = 34

11+12+15+16+17 = 65

18+19+20+21+22+23 = 111

24+25+26+27+28+29+30 = 175

Cuadrados mágicos históricamente significativos

Plaza Lo Shu

Lo Shu ( chino trad. 洛書, ex. 洛书, pinyin luò shū ) El único cuadrado mágico normal de 3×3. Era conocido en la antigua China , la primera imagen en un caparazón de tortuga data del 2200 a.C. mi.

5	diez	3
cuatro	6	ocho
9	2	7

En la tradición europea occidental, este cuadrado se llama el Sello de Saturno (Sigillum Saturni). Parámetros cuadrados: 3, 9, 15, 45 (3x3, 9 celdas, la suma en todas las direcciones es 15, la suma de todos los números en el cuadrado es 45). [una]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

45 : 3 = 15

Cuadrado encontrado en Khajuraho (India)

El primer cuadrado mágico único se encuentra en una inscripción del siglo XI en la ciudad india de Khajuraho :

7	12	una	catorce
2	13	ocho	once
dieciséis	3	diez	5
9	6	quince	cuatro

Este es el primer cuadrado mágico perteneciente a la variedad de los llamados cuadrados "diablos" [2] .

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Cuadrado mágico de Yang Hui (China)

En el siglo XIII. el matemático Yang Hui abordó el problema de los métodos para construir cuadrados mágicos. Su investigación fue luego continuada por otros matemáticos chinos. Yang Hui consideró cuadrados mágicos no solo del tercero, sino también de órdenes superiores. Algunos de sus cuadrados eran bastante complejos, pero siempre dio reglas para construirlos. Se las arregló para construir un cuadrado mágico de sexto orden, y este último resultó ser casi asociativo (solo dos pares de números centralmente opuestos en él no suman 37) [3] :

27	29	2	cuatro	13	36
9	once	veinte	22	31	Dieciocho
32	25	7	3	21	23
catorce	dieciséis	34	treinta	12	5
28	6	quince	17	26	19
una	24	33	35	ocho	diez

la suma de los 36 numeros es 666

666 : 6 = 111

Plaza de Albrecht Dürer

El cuadrado mágico de 4x4 representado en el grabado de Albrecht Dürer " Melancolía I " se considera el más antiguo del arte europeo [4] . Los dos números del medio en la fila inferior indican la fecha en que se creó el grabado ( 1514 ).

17	cuatro	3	catorce
6	12	13	9
diez	ocho	9	13
5	17	dieciséis	2

La suma de los números en cualquier horizontal, vertical y diagonal es 34. Esta suma también ocurre en todos los cuadrados de las esquinas 2×2, en el cuadrado central (10+11+6+7), en el cuadrado de las celdas de las esquinas (16+ 13+4+1 ), en los cuadrados construidos por el "movimiento del caballo" (2+12+15+5 y 3+8+14+9), en los vértices de los rectángulos paralelos a las diagonales (2+8+ 15+9 y 3+12+14+5 ), en rectángulos formados por pares de celdas intermedias en lados opuestos (3+2+15+14 y 5+8+9+12). La mayoría de las simetrías adicionales se deben al hecho de que la suma de dos números con simetría central es 17.

Este cuadrado es el "Sello de Júpiter" (Sigillum Iouis), tiene parámetros: 4, 16, 34, 136 (tamaño 4x4, 16 celdas, la suma de las direcciones es 34, la suma de todos los números es 136). [una]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Cuadrados mágicos de Athanasius Kircher [1]

Plaza de Marte

El cuadrado o sello de Marte (Sigillum Martis) tiene los siguientes parámetros: 5, 25, 65, 325 (tamaño 5x5, 25 celdas, la suma de las direcciones es 65, la suma de todos los números es 325).

12	25	ocho	21	cuatro
5	13	26	9	17
Dieciocho	6	catorce	22	diez
once	19	2	quince	23
24	7	veinte	3	dieciséis

325 : 5 = 65

Plaza del Sol

El Sello del Sol (Sigillum Solis) tiene los siguientes parámetros: 6, 36, 111, 666 (tamaño 6x6, 36 celdas, la suma en direcciones es 111, la suma de todos los números es 666).

6	32	3	34	35	una
7	once	27	28	ocho	treinta
19	catorce	dieciséis	quince	23	24
Dieciocho	veinte	22	21	17	13
25	29	diez	9	26	12
36	5	33	cuatro	2	31

666 : 6 = 111

Plaza de Venus

El sello de Venus (Sigillum Veneris) tiene los siguientes parámetros: 7, 49, 175, 1225 (tamaño 7x7, 49 celdas, la suma de las direcciones es 175, la suma de todos los números es 1225).

22	47	dieciséis	41	diez	35	cuatro
5	23	48	17	42	once	29
treinta	6	24	49	Dieciocho	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	catorce	32	una	26	44	veinte
21	39	ocho	33	2	27	45
46	quince	40	9	34	3	28

1225: 7 = 175

Mercurio cuadrado

El sello de Mercurio (Sigillum Mercurio) tiene los parámetros: 8, 64, 260, 2080 (tamaño 8x8, 64 celdas, la suma de las direcciones es 260, la suma de todos los números es 2080).

ocho	58	59	5	cuatro	62	63	una
49	quince	catorce	52	53	once	diez	56
41	23	22	44	45	19	Dieciocho	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	treinta	31	33
17	47	46	veinte	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	cincuenta	dieciséis
64	2	3	61	60	6	7	57

2080: 8 = 260

Plaza de la Luna

El Sello de la Luna (Sigillum Lune) tiene los siguientes parámetros: 9, 81, 369, 3321 (tamaño 9x9, 81 celdas, la suma de las direcciones es 369, la suma de todos los números es 3321).

37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	treinta	71	22	63	catorce	46
47	7	39	80	31	72	23	55	quince
dieciséis	48	ocho	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	sesenta y cinco	25
26	58	Dieciocho	cincuenta	una	42	74	34	66
67	27	59	diez	51	2	43	75	35
36	68	19	60	once	52	3	44	76
77	28	69	veinte	61	12	53	cuatro	45

3321: 9 = 369

Cuadrados de Henry E. Dudeney y Allan W. Johnson Jr.

Si una serie de números no estrictamente natural se ingresa en una matriz cuadrada n × n , entonces este cuadrado mágico no es tradicional . A continuación se muestran dos cuadrados mágicos llenos de números primos (aunque el 1 no se considera un número primo en la teoría de números moderna). El primero tiene orden n=3 (cuadrado de Dudeney); el segundo ( 4x4 de tamaño ) es un cuadrado de Johnson. Ambos fueron desarrollados a principios del siglo XX [5] :

68	2	44
catorce	38	62
32	74	ocho

cuatro	62	veinte	40
44	32	cuatro	42
ocho	12	74	treinta
68	Dieciocho	24	quince

Hay varios otros ejemplos similares:

17	89	71
113	59	5
47	29	101

una	823	821	809	811	797	19	29	313	31	23	37
89	83	211	79	641	631	619	709	617	53	43	739
97	227	103	107	193	557	719	727	607	139	757	281
223	653	499	197	109	113	563	479	173	761	587	157
367	379	521	383	241	467	257	263	269	167	601	599
349	359	353	647	389	331	317	311	409	307	293	449
503	523	233	337	547	397	421	17	401	271	431	433
229	491	373	487	461	251	443	463	137	439	457	283
509	199	73	541	347	191	181	569	577	571	163	593
661	101	643	239	691	701	127	131	179	613	277	151
659	673	677	683	71	67	61	47	59	743	733	41
827	3	7	5	13	once	787	769	773	419	149	751

El último cuadrado, construido en 1913 por J. N. Munsey, destaca por estar formado por 143 primos consecutivos, a excepción de dos puntos: se trata de una unidad, que no es un número primo, y el único número primo par 2 no se usa

Cuadrados con propiedades adicionales

Cuadrado mágico pandiagonal

Un pandiagonal o cuadrado del diablo es un cuadrado mágico en el que las sumas de números a lo largo de diagonales rotas (diagonales que se forman cuando un cuadrado se pliega en un toro ) en ambas direcciones también coinciden con una constante mágica .

Hay 48 cuadrados del diablo de 4x4 en la forma estándar de Frenicle , hasta rotaciones y reflejos. El cuadrado pandiagonal conserva propiedades cuando se envuelven filas o columnas en paralelo . Por lo tanto, la unidad se puede mover a la esquina superior izquierda. Hay 12 de estos cuadrados pandiagonales en el plano, que se dan a continuación:

una	ocho	diez	quince
catorce	once	5	cuatro
7	2	dieciséis	9
12	13	3	6

una	ocho	diez	quince
12	13	3	6
7	2	dieciséis	9
catorce	once	5	cuatro

una	12	7	catorce
quince	6	9	cuatro
diez	3	dieciséis	5
ocho	13	2	once

una	catorce	7	12
quince	cuatro	9	6
diez	5	dieciséis	3
ocho	once	2	13

una	ocho	13	12
quince	diez	3	6
cuatro	5	dieciséis	9
catorce	once	2	7

una	ocho	13	12
catorce	once	2	7
cuatro	5	dieciséis	9
quince	diez	3	6

una	12	13	ocho
catorce	7	2	once
cuatro	9	dieciséis	5
quince	6	3	diez

una	12	13	ocho
quince	6	3	diez
cuatro	9	dieciséis	5
catorce	7	2	once

una	ocho	once	catorce
quince	diez	5	cuatro
6	3	dieciséis	9
12	13	2	7

una	ocho	once	catorce
12	13	2	7
6	3	dieciséis	9
quince	diez	5	cuatro

una	catorce	once	ocho
quince	cuatro	5	diez
6	9	dieciséis	3
12	7	2	13

una	12	6	quince
catorce	7	9	cuatro
once	2	dieciséis	5
ocho	13	3	diez

En el toro, cada cuatro de estos cuadrados corresponde a un cuadrado. Esto se debe a que si corta el toro, comenzando desde la celda unitaria como una esquina, esto se puede hacer de cuatro maneras, asignando a cada una de las cuatro esquinas de la celda unitaria el ángulo de un cuadrado plano. Por lo tanto, solo hay 3 cuadrados pandiagonales en el toro. Cualquiera de los cuatro correspondientes puede usarse para representar un cuadrado tórico en un plano.

Los cuadrados pandiagonales existen para orden impar n>3, para cualquier orden de paridad doble n=4k (k=1,2,3…) y no existen para orden de paridad simple ( ). ${\ estilo de visualización n = 4k + 2}$ $k=1,2,3,\puntos$

Los cuadrados pandiagonales de cuarto orden tienen una serie de propiedades adicionales por las que se denominan perfectos . Los cuadrados perfectos de orden impar no existen. Entre los cuadrados pandiagonales de doble paridad por encima de 4 hay perfectos [6] .

Cuadrados pandiagonales de quinto orden 3600 . Incluyendo las traslaciones paralelas tóricas, hay 144 cuadrados pandiagonales diferentes. Uno de ellos se muestra a continuación.

una	quince	24	ocho	17
9	Dieciocho	2	once	25
12	21	diez	19	3
veinte	cuatro	13	22	6
23	7	dieciséis	5	catorce

Si el cuadrado pandiagonal también es asociativo, entonces se llama ideal [7] . Un ejemplo de un cuadrado mágico perfecto:

21	32	70	26	28	69	22	36	sesenta y cinco
40	81	2	39	77	7	44	73	6
62	diez	51	58	Dieciocho	47	57	catorce	52
66	23	34	71	19	33	67	27	29
cuatro	45	74	3	41	79	ocho	37	78
53	55	quince	49	63	once	48	59	dieciséis
treinta	68	25	35	64	24	31	72	veinte
76	9	38	75	5	43	80	una	42
17	46	60	13	54	56	12	cincuenta	61

Se sabe que no existen cuadrados mágicos ideales de orden n = 4k+2 ni cuadrados de orden n = 4 . Al mismo tiempo, existen cuadrados perfectos de orden n = 8 . Utilizando el método de construcción de cuadrados compuestos, es posible construir, a partir de un cuadrado dado de octavo orden, cuadrados ideales de orden n = 8k, k=5,7,9… y de orden n = 8^p, p=2,3,4… En 2008 se desarrolló un método combinatorio construyendo cuadrados perfectos de orden n = 4k, k = 2, 3, 4,…

Construcción de cuadrados mágicos

Método de terraza

Descrito por Yu. V. Chebrakov en The Theory of Magic Matrices .

Para un n impar dado, dibuje una tabla cuadrada de n por n. Adjuntaremos terrazas (pirámides) a esta mesa en los cuatro lados. Como resultado, obtenemos una figura simétrica escalonada.

$Y$
cuatro						5
3					cuatro		diez
2				3		9		quince
una			2		ocho		catorce		veinte
0		una		7		13		19		25
-una			6		12		Dieciocho		24
-2				once		17		23
-3					dieciséis		22
-cuatro						21
.
	$X$	cuatro	3	2	una	0	una	2	3	cuatro

Comenzando desde el vértice izquierdo de la figura escalonada, llena sus filas diagonales con números naturales consecutivos del 1 al . $N^2$

Después de eso, para obtener una matriz clásica de orden N, los números de las terrazas se colocan en aquellos lugares de la tabla NxN en los que estarían si se movieran junto con las terrazas hasta que las bases de las terrazas se unan a las lado opuesto de la mesa.

$Y$
cuatro
3
2				3	dieciséis	9	22	quince
una				veinte	ocho	21	catorce	2
0				7	25	13	una	19
-una				24	12	5	Dieciocho	6
-2				once	cuatro	17	diez	23
-3
-cuatro
.
	$X$	-cuatro	-3	-2	-una	0	una	2	3	cuatro

3	dieciséis	9	22	quince
veinte	ocho	21	catorce	2
7	25	13	una	19
24	12	5	Dieciocho	6
once	cuatro	17	diez	23

Además, este método también es válido si el cuadrado mágico debe estar compuesto no por números del 1 al N, sino también de K a N, donde 1 <= K< N.

Otras formas

Las reglas para construir cuadrados mágicos se dividen en tres categorías, dependiendo de si el orden del cuadrado es impar, igual al doble de un número impar o igual al cuádruple de un número impar. Se desconoce el método general para construir todos los cuadrados, aunque se utilizan ampliamente varios esquemas. [8] [9] Es posible encontrar todos los cuadrados mágicos de orden solo para , por lo tanto, procedimientos particulares para construir cuadrados mágicos para . La construcción más simple es para un cuadrado mágico de orden impar. Debe poner un número en la celda con coordenadas (donde y cambiar de 1 a ) (Nota: esta fórmula es válida para todos los cuadrados de orden impar, excepto para los cuadrados de la forma . En estos cuadrados, la suma de los números en la diagonal principal es N más que la constante mágica.) $norte$ $n/l 4$ $n>4$ $(yo, j)$ $i$ $j$ $norte$ ${\ estilo de visualización n = 6k + 3, k = 0,1,2...}$

1+((i+j-1+(n-1)/2){\bmod {n)))n+((i+2j+2){\bmod {n))).

Es aún más fácil construir la construcción de la siguiente manera. Se toma una matriz nxn. En su interior se construye un rombo escalonado. En él, las celdas de la izquierda hacia arriba a lo largo de las diagonales se llenan con una fila consecutiva de números impares. Se determina el valor de la celda central C. Entonces los valores en las esquinas del cuadrado mágico serán los siguientes: celda superior derecha C-1; celda inferior izquierda C+1 ; celda inferior derecha Cn; celda superior izquierda C+n. El llenado de celdas vacías en triángulos de esquina escalonada se lleva a cabo de acuerdo con reglas simples: 1) en filas, los números aumentan de izquierda a derecha en incrementos de n + 1; 2) en columnas de arriba a abajo, los números aumentan con un paso de n-1.

También se han desarrollado algoritmos para construir cuadrados pandiagonales [10] [11] y cuadrados mágicos ideales de 9x9. [12] [13] Estos resultados nos permiten construir cuadrados mágicos de orden perfecto para . [7] [14] También existen métodos generales para organizar cuadrados mágicos perfectos de orden impar . [15] [16] Se han desarrollado métodos para construir cuadrados mágicos ideales de orden n=8k, k=1,2,3… [17] y cuadrados mágicos perfectos. [18] Los cuadrados pandiagonales e ideales de orden par-impar solo se pueden combinar si no son tradicionales. [19] [20] [21] Sin embargo, es posible encontrar cuadrados casi pandiagonales [22] Se encuentra un grupo especial de cuadrados mágicos idealmente perfectos (tradicionales y no tradicionales) [23] . ${\ estilo de visualización n = 9 (2k + 1)}$ $k=0,1,2,3,\puntos$ $n>3$

Ejemplos de cuadrados más complejos

Los cuadrados mágicos de orden impar y el orden de doble paridad se han elaborado de forma metódica y estricta. [24] La formalización de cuadrados del orden de paridad única es mucho más difícil, como ilustran los siguientes esquemas:

Dieciocho	24	5	6	12
22	3	9	quince	dieciséis
una	7	13	19	25
diez	once	17	23	cuatro
catorce	veinte	21	2	ocho

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	cincuenta	dieciséis
17	47	46	veinte	21	43	42	24
40	26	27	37	36	treinta	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	Dieciocho	48
49	quince	catorce	52	53	once	diez	56
ocho	58	59	5	cuatro	62	63	una

100	99	93	7	5	6	cuatro	ocho	92	91
once	89	88	84	dieciséis	quince	17	83	82	veinte
treinta	22	78	77	75	26	74	73	29	21
61	39	33	67	66	sesenta y cinco	64	38	32	40
60	52	48	44	56	55	47	43	49	51
cincuenta	42	53	54	46	45	57	58	59	41
31	62	63	37	36	35	34	68	69	70
71	72	28	27	25	76	24	23	79	80
81	19	Dieciocho	catorce	85	86	87	13	12	90
diez	9	3	94	95	96	97	98	2	una

Hay docenas de otros métodos para construir cuadrados mágicos.

Enfoque de ajedrez

Se sabe que el ajedrez , al igual que los cuadrados mágicos, apareció hace decenas de siglos en la India . Por lo tanto, no fue por casualidad que surgió la idea de un enfoque ajedrecístico para la construcción de cuadrados mágicos. Esta idea fue expresada por primera vez por Euler . Trató de obtener el cuadrado mágico completo caminando continuamente alrededor del caballero. Sin embargo, no lo hizo, porque en las diagonales principales las sumas de los números diferían de la constante mágica. Sin embargo, el diseño de ajedrez te permite crear cualquier cuadrado mágico. Los números se completan regularmente y línea por línea, teniendo en cuenta el color de las celdas.

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 Athanasius Kircher. aritmología. - ROMAE: Typographia Varesij, 1665. - S. 64-72. — 317 pág.
↑ Dedicado a Júpiter . Consultado el 8 de febrero de 2011. Archivado desde el original el 8 de febrero de 2011. (indefinido)
↑ V. E. Eremeev " Ciencia tradicional de China Copia de archivo fechada el 25 de febrero de 2008 en Wayback Machine " , Capítulo 5: Matemáticas .
↑ N. Makarova " Dürer's Magic Square Archival copy of July 1, 2011 at the Wayback Machine "
↑ A. K. Dudeni " Sifting the Numerical Sand in Search of Primes Archivado el 21 de septiembre de 2008 en Wayback Machine "
↑ N. Makarova " Cuadrados mágicos perfectos Copia archivada del 28 de abril de 2011 en Wayback Machine "
↑ 1 2 G. Aleksandrov " Cuadrados mágicos de orden ideal , donde ${\ estilo de visualización n = 9 + 18k}$ $k=2,3,4,\puntos$ Copia de archivo del 20 de noviembre de 2012 en Wayback Machine "
↑ Cuadrado mágico . Enciclopedia "Circumnavegación" . Archivado desde el original el 12 de enero de 2002. (indefinido)
↑ N. Makarova " Métodos para construir cuadrados mágicos (artículo de revisión) Copia archivada del 25 de abril de 2009 en Wayback Machine "
↑ G. Alexandrov " Un método para construir un cuadrado mágico ideal de orden impar Copia archivada del 29 de enero de 2008 en Wayback Machine "
↑
G.Aleksandrov
- " Perfect panmagic Archivado el 3 de noviembre de 2012 en Wayback Machine "
- " Pandiagonal square order 4k Archivado el 3 de noviembre de 2012 en Wayback Machine "
- « Programa Yabasic para construir un cuadrado pandiagonal de orden n = 4 Archivado el 3 de noviembre de 2012 en Wayback Machine »
↑
G.Aleksandrov
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Enlaces

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N. Skryabina, V. Dubovskoy Cuadrados mágicos
Enfoque de ajedrez
Cuadrados mágicos no tradicionales a partir de números primos
Mínimos cuadrados mágicos de números primos
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Cuadrados mágicos // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.

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