Matriz pascual

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En matemáticas , especialmente en teoría de matrices y combinatoria , la matriz de Pascal es una matriz infinita cuyos elementos son coeficientes binomiales . Hay tres opciones para la disposición de los elementos en la matriz: en forma de matriz triangular superior , triangular inferior o simétrica . Las restricciones de 5 × 5 de tales matrices tienen la forma:

Matriz triangular superior:

matriz triangular inferior

matriz simétrica

Estas matrices satisfacen la relación S n = L n U n . A partir de aquí es fácil ver que las tres matrices tienen un determinante unitario , ya que el determinante de las matrices triangulares L n y U n es igual al producto de sus elementos diagonales. En otras palabras , las matrices Sn , Ln y Un son unimodulares . La traza de las matrices L n y U n es igual a n .

Los elementos de la matriz de Pascal simétrica tienen la forma:

Equivalente:

Así, la traza de la matriz S n es

dependiendo de n formando la secuencia: 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275,... secuencia A006134 en OEIS .

Edificio

La matriz de Pascal se puede construir tomando el exponente de una matriz subdiagonal o sobrediagonal de un tipo especial. El siguiente ejemplo construye matrices de 7 × 7, pero este método funciona para cualquier matriz Pascal de n × n . (Los puntos denotan elementos nulos).

Es importante notar que uno no puede simplemente poner exp( A )exp( B ) = exp( A  +  B ) para las matrices A y B de n × n , tal igualdad se cumple solo cuando AB = BA (es decir, cuando las matrices A y B conmutan ). En la construcción anterior de matrices de Pascal simétricas, las matrices sobrediagonales y subdiagonales no conmutan. Por lo tanto, la simplificación (posiblemente) esperada que implica la suma de las matrices no se puede llevar a cabo.

Una propiedad útil de las matrices subdiagonales y sobrediagonales utilizadas en esta construcción es su nilpotencia , es decir, cuando se elevan a una potencia entera suficientemente grande, degeneran en una matriz cero . (Consulte la matriz de desplazamiento para obtener más detalles). Dado que las matrices de desplazamiento n × n generalizadas utilizadas aquí se vuelven cero cuando se elevan a la potencia de n , solo se debe considerar el primer término n  + 1 de la serie infinita al calcular el exponente de la matriz para obtener resultado exacto.

Opciones

Se pueden obtener variaciones interesantes mediante modificaciones obvias de las matrices PL 7 de las que se toma el exponente.

El primer ejemplo a continuación utiliza los valores cuadrados en PL 7 en lugar de los originales y da como resultado una matriz de Laguerre de 7×7 (una matriz cuyos elementos son polinomios de Laguerre ).

(La matriz de Laguerre en realidad usa una escala diferente y los signos de algunos de los coeficientes).

El segundo ejemplo usa v ( v  + 1) como elementos si v son elementos de la matriz original. Conduce a la construcción de una matriz de Lach de 7×7 (una matriz con elementos en forma de números de Lach ).

El uso de v ( v  − 1) da como resultado un desplazamiento diagonal hacia abajo y hacia la derecha.

El tercer ejemplo utiliza el cuadrado de la matriz PL 7 original dividido por 2, es decir, los coeficientes binomiales de primer orden sobre la segunda subdiagonal, y conduce a la construcción de una matriz que surge en relación con las derivadas e integrales de la Gaussiana . función de error :

Si esta matriz se invierte (por ejemplo, tomando nuevamente el exponente , pero con un signo diferente), entonces los signos de los coeficientes cambian y dan los coeficientes de las derivadas de la función de error gaussiana.

Se puede obtener otra opción expandiendo la matriz original por números negativos:


Véase también

Literatura

Enlaces