Matriz de turnos

Una matriz de desplazamiento (también una matriz de desplazamiento ) es una matriz binaria con unos solo en la superdiagonal o subdiagonal principal y ceros en el resto. Una matriz de desplazamiento U con unidades en la superdiagonal se denomina matriz de desplazamiento superior . La matriz subdiagonal L correspondiente se denomina matriz de cambio inferior . Los componentes de las matrices U y L con índices ( i , j ) tienen la forma

U_{ij}=\delta_{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta_{i,j+1},

donde está el símbolo delta de Kronecker . $\delta _{{ij}}$

Por ejemplo, una matriz de cambio de 5 × 5

U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0 \\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{matrix}}.

Obviamente, la transposición de una matriz de desplazamiento inferior da como resultado una matriz de desplazamiento superior, y viceversa. La multiplicación desde la izquierda de una matriz A arbitraria por una matriz de desplazamiento inferior conduce a un desplazamiento de los elementos de la matriz A una posición hacia abajo, y la fila superior de la matriz resultante se llena con ceros. La multiplicación a la derecha de una matriz A arbitraria por una matriz de desplazamiento inferior da como resultado un desplazamiento a la izquierda de una posición, llenando la columna de la derecha con ceros. Operaciones similares que involucran la matriz de desplazamiento superior conducen a desplazamientos opuestos.

Todas las matrices de desplazamiento son nilpotentes : la matriz S de desplazamiento n×n a la potencia igual a su dimensión n es igual a la matriz cero .

Propiedades

Sean L y U matrices de desplazamiento de n×n , inferior y superior, respectivamente. Las siguientes propiedades son verdaderas para ambas matrices U y L (así que solo las enumeramos para U ):

Determinante det( U ) = 0 ( degeneración );
Rastrear tr( U ) = 0;
rango rango( U ) = n − 1
El polinomio característico de la matriz U tiene la forma:

p_{U}(\lambda)=(-1)^{n}\lambda^{n}.

U n = 0 (nilpotencia). Esta propiedad se sigue de la anterior por el teorema de Hamilton-Cayley .

Permanente por( U ) = 0.

Las siguientes propiedades muestran cómo se relacionan las matrices U y L :

LT \ u003dU ; _ TU = L . _

Kernels de las matrices U y L :

\operatorname {ker} (U)=\operatorname {span} \{(1,0,\ldots,0)^{T}\},

\operatorname {ker} (L)=\operatorname {span} \{(0,\ldots,0,1)^{T}\}.

El espectro de las matrices U y L es cero (es decir, tienen un solo valor propio y es igual a cero): . La multiplicidad algebraica de este cero es n , y su multiplicidad geométrica es 1. De las expresiones para los núcleos se deduce que el único vector propio (a escala) de la matriz U tiene la forma y el único vector propio de la matriz L tiene la forma forma $\{0\}$ $(1,0,\ldots,0)^{T},$ ${\ estilo de visualización (0, \ ldots, 0,1) ^ {T}.}$

Para productos LU y UL tenemos:

UL=I-\operatorname {diag} (0,\ldots,0,1),

LU=I-\operatorname {diag} (1,0,\ldots,0).

Ambas matrices son idempotentes , simétricas y tienen el mismo rango que U y L.

L n − a U n − a + L a U a = U n − a L n − a + U a L a = I ( matriz identidad ), para cualquier entero a de 0 a n inclusive.

Ejemplos

S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix));\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\ 1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{matrix}}.

Después: $SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix));\quad AS={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\ 2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{matrix}}.$

Obviamente, hay muchas permutaciones diferentes. Por ejemplo, la matriz corresponde al desplazamiento de la matriz A hacia arriba y hacia la izquierda a lo largo de la diagonal principal. $S^{T}AS$

S^{T}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix)).

Véase también

Matriz nilpotente

Enlaces

Matriz de desplazamiento—entrada en el Manual de referencia de Matrix