Matriz jacobiana

La matriz de Jacobi de una aplicación en un punto describe la parte lineal principal de una aplicación arbitraria en un punto . ${\mathbf {u}}\dos puntos \mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $x\en \mathbb{R} ^{n}$ $\mathbf{u}$ $X$

Definición

Sea dada una aplicación que tenga en algún punto todas las derivadas parciales de primer orden. La matriz compuesta por las derivadas parciales de estas funciones en el punto se denomina matriz de Jacobi del sistema de funciones dado. $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots,u_{m}) ^{T},u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots,x_{n}),i=1,\lldots,m,$ $X$ $j$ $X$

J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \parcial x_{1}}(x)&{\parcial u_{1} \over \parcial x_{2}} (x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \parcial x_{n}}(x)\\{\parcial u_{2} \over \parcial x_{1}}(x)&{\ parcial u_{2} \sobre \parcial x_{2}}(x)&\cdots &{\parcial u_{2} \sobre \parcial x_{n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\parcial u_{m} \sobre \parcial x_{1}}(x)&{\parcial u_{m} \sobre \parcial x_{2}}(x)&\cdots &{\ parcial u_{m} \over \parcial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}

En otras palabras, la matriz de Jacobi es la derivada de una función vectorial de un argumento vectorial.

Definiciones relacionadas

Si , entonces el determinante de la matriz de Jacobi se denomina determinante de Jacobi o jacobiano del sistema de funciones . $m=n$ $|J|$ $u_{1},\ldots,u_{n}$
Una aplicación se llama no degenerada si su matriz jacobiana tiene el rango máximo posible ; eso es, ${\mathrm {rango}}\,J=\min(m,n)$

Propiedades

Si todos son continuamente diferenciables en un vecindario , entonces $tu_{yo}$ ${\mathbf {x}}_{0}$ ${\mathbf {u}}(x)={\mathbf {u}}(x_{0})+J(x_{0})({\mathbf {x}}-{\mathbf {x}}_{ 0})+o(|{\mathbf{x}}-{\mathbf{x}}_{0}|)$
Sean aplicaciones diferenciables y sean sus matrices de Jacobi. Entonces la matriz de Jacobi de la composición de aplicaciones es igual al producto de sus matrices de Jacobi (la propiedad funcional ): $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},~\psi \colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^ {k}$ $J_{\varfi},J_{\psi}$ $J_{{\psi \circ \varphi }}(x)=J_{\psi }(\varphi (x))J_{\varphi }(x)$

Véase también

jacobiano

Calculo diferencial

Principal

vistas privadas

Operadores diferenciales
( en varias coordenadas )

Primer orden	operador nabla Degradado Divergencia Rotor Helmholtziano
segundo orden	Operador elíptico operador de Laplace Operador vectorial de Laplace Operador D'Alembert Operador de Laplace-Beltrami
órdenes superiores	Operador hipoelíptico

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