Matrices de Pauli

Las matrices de Pauli son un conjunto de tres matrices hermitianas y simultáneamente unitarias de 2×2 , que constituyen una base en el espacio de todas las matrices hermitianas de 2×2 con traza cero . Fueron propuestos por Wolfgang Pauli para describir el espín de un electrón en la mecánica cuántica . Las matrices parecen

\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),

\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix)),

\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

En cambio , la notación y se utiliza a veces . ${\ estilo de visualización \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {x}, \ sigma _ {y}, \ sigma _ {z}}$ ${\ estilo de visualización X, Y, Z}$

A menudo también se usa matriz

\sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),

coincidiendo con la matriz identidad , que también se denota a veces como . $yo$ $mi$

Las matrices de Pauli, junto con la matriz , forman una base en el espacio de todas las matrices hermitianas de 2×2 (no solo las matrices con traza cero). $\sigma _{0}$

Propiedades

Razones básicas

Hermiticidad : $\sigma _{i}^{\daga}=\sigma _{i};$
Igualdad a cero traza : $\operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0,\quad\i=1,2,3$
$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}^{2}=yo,$ donde es una matriz identidad de 2×2 . ${\ estilo de visualización I = \ sigma _ {0}}$
Unitaridad : ${\ Displaystyle \ sigma _ {i} ^ {\ daga} = \ sigma _ {i} ^ {-1} = \ sigma _ {i}}$
El determinante de las matrices de Pauli es −1.
El álgebra generada por los elementos es isomorfa al álgebra de cuaterniones . ${\ estilo de visualización \ sigma _ {0},-i \ sigma _ {x},-i \ sigma _ {y},-i \ sigma _ {z}}$ ${\ estilo de visualización \ ángulo 1, i, j, k \ ángulo}$

Reglas de multiplicación de matrices de Pauli

{\ estilo de visualización \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} = i \ sigma _ {3},}

{\ estilo de visualización \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} = i \ sigma _ {2},}

{\ estilo de visualización \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} = i \ sigma _ {1},}

{\ estilo de visualización \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = - \ sigma _ {j} \ sigma _ {i}}

por

i\neq j.

Estas reglas de multiplicación se pueden reescribir en una forma compacta

\sigma_{i}\sigma_{j}=i\varepsilon_{ijk}\sigma_{k}+\delta_{ij}\cdot \sigma_{0},\quad i,j ,k=1,2,3

donde es el símbolo de Kronecker y ε ijk es el símbolo de Levi-Civita . $\delta _{{ij}}$

De estas reglas de multiplicación se siguen las relaciones de conmutación

{\begin{matriz}[\sigma_{i},\sigma_{j}]&=&2i\,\varepsilon_{ijk}\,\sigma_{k},\\\{\sigma _{i},\sigma_{j}\}&=&2\delta_{ij}\cdot \sigma_{0}.\end{matriz}}

Los corchetes significan conmutador , los corchetes significan anticonmutador .

Además, las identidades de Firtz son válidas para las matrices de Pauli .

Conexión con álgebras de Lie

Las relaciones de conmutación de las matrices coinciden con las relaciones de conmutación de los generadores del álgebra de Lie su(2). De hecho, toda esta álgebra, que consta de matrices antihermitianas de 2 × 2, se puede construir a partir de combinaciones lineales arbitrarias de matrices . en particular, esto explica la importancia de las matrices de Pauli para la física. ${\ Displaystyle i \ sigma _ {k}}$ $i\sigmak}\;.$

Aplicaciones en física

En mecánica cuántica , las matrices son generadoras de rotaciones infinitesimales para partículas no relativistas con espín ½. Los elementos de la matriz del operador de espín para partículas con espín semientero se expresan en términos de las matrices de Pauli [1] como ${\ estilo de visualización i \ sigma _ {j}/2}$

$(s_{x})_{\sigma ,\sigma -1}=(s_{x})_{\sigma -1,\sigma }={\frac {1}{2)){\sqrt {(s+\sigma)(s-\sigma +1)}}$

$(s_{y})_{\sigma ,\sigma -1}=-(s_{y})_{\sigma -1,\sigma }={\frac {-i}{2}}{ \sqrt {(s+\sigma )(s-\sigma +1)}}$

${\ estilo de visualización (s_ {z}) _ {\ sigma \ sigma} = \ sigma}$

El vector de estado de dichas partículas es un espinor de dos componentes [2] . Los espinores de dos componentes forman el espacio de la representación fundamental del grupo SU(2).

Véase también

Identidades de Firtz

Notas

↑ Landau, L. D. , Lifshitz, E. M. § 55. Operador de giro // Mecánica cuántica (teoría no relativista). — Edición 5ª. — M .: Fizmatlit , 2001. — S. 258. — 808 p. - ( Física Teórica , Tomo III). — ISBN 5-9221-0057-2 .
↑ Landau, L. D. , Lifshitz, E. M. § 56. Spinors // Mecánica cuántica (teoría no relativista). — Edición 5ª. — M .: Fizmatlit , 2001. — S. 258. — 808 p. - ( Física Teórica , Tomo III). — ISBN 5-9221-0057-2 .

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecánica cuántica (teoría no relativista). — Edición 4ª. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Física Teórica ", Tomo III). - ISBN 5-02-014421-5 .