Método de aplicación directa de las leyes de Kirchhoff

El método de aplicación directa de las reglas de Kirchhoff para el cálculo de un circuito eléctrico consiste en compilar un sistema de B ecuaciones con B incógnitas (B es el número de ramas del circuito considerado) según dos reglas de Kirchhoff y su posterior solución.

Descripción del método de cálculo

Considere el cálculo de un circuito eléctrico que no contiene fuentes de corriente . La cadena en cuestión consta de ramas B y nodos Y. Su cálculo se reduce a encontrar corrientes en las ramas B. Para hacer esto, es necesario componer ( Y - 1) ecuaciones independientes de acuerdo con la primera regla de Kirchhoff y K \u003d ( B - Y + 1) ecuaciones independientes de acuerdo con la segunda regla de Kirchhoff . Los nodos y contornos correspondientes a estas ecuaciones se denominan independientes (es decir, que contienen al menos una rama que no pertenece a otros nodos/contornos).

Para resolver el sistema compilado de ecuaciones algebraicas lineales , puedes usar la forma matricial

AI=BE

dónde

A

y son matrices cuadradas de coeficientes en corrientes y EMF de orden B ;

B

yo

y son matrices de columna de corrientes desconocidas y EMF dada.

mi

Solución del sistema:

I=A^{-1}BE=GE

$A^{{-1}}$	$={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1B}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2B}\\\vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\a_{B1}&a_{B2}&\cdots &a_{BB}\end{bmatriz}}^{-1}=$
	$={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{12}&\cdots &\Delta _{1B}\\\Delta _{ 21}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{2B}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{B1}&\Delta _{B2}&\cdots &\Delta _{BB}\end{bmatriz}}^{T}=$
	$={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{21}&\cdots &\Delta _{B1}\\\Delta _{ 12}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{B2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{1B}&\Delta _{2B}&\cdots &\Delta _{BB}\end{bmatriz}}$

- matriz inversa; es el determinante de la matriz A ; - complementos algebraicos de elementos (ver formas de encontrar la matriz inversa ). $\Delta$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {ik}}$ $a_{{ik}}$

G=A^{-1}B={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&\cdots &g_{1B}\\g_{21}&g_{22}&\cdots &g_{2B }\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\g_{B1}&g_{B2}&\cdots &g_{BB}\end{bmatrix}}

es la matriz de conductividades intrínseca y mutua (ver método de superposición ). ${\ Displaystyle g_ {ii}}$ $g_{{ik}}$

\left\{{\begin{matriz}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+\cdots +g_{1B}E_{B};\\ I_{2}=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+\cpuntos +g_{2B}E_{B};\\\vpuntos \\I_{B}=g_{B1} E_{1}+g_{B2}E_{2}+\cdots +g_{BB}E_{B};\end{matriz}}\right.

es un sistema de ecuaciones que determina las corrientes de rama.

A menudo, cuando se calculan circuitos con este método, es necesario compilar una gran cantidad de ecuaciones y luego calcular matrices de alto orden. Por lo tanto, en la práctica se utilizan otros métodos de cálculo.

Un ejemplo del uso de

Como ejemplo, considere el cálculo del circuito, cuyo diagrama se muestra en la figura: contiene U \u003d 2 nodos y B \u003d 3 ramas, es decir, K \u003d B - Y + 1 \u003d 3 - 2 + 1 \u003d 2 contornos independientes (en la figura, los contornos están marcados con una línea discontinua; puede elegir cualquier par de ellos: 1 y 2 , o 2 y 3 , o 1 y 3 ).

Elegimos arbitrariamente las direcciones positivas de las corrientes de rama , , (las direcciones ya están marcadas en la figura). De acuerdo con la primera ley de Kirchhoff, se puede componer una ecuación independiente ( Y − 1 = 2 − 1 = 1 ), por ejemplo, para el nodo a $yo_1$ $yo_{2}$ $yo_3$

{\ estilo de visualización -I_{1}-I_{2}+I_{3}=0}

y de acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff: dos (K = 2) ecuaciones independientes, por ejemplo, para los circuitos 1 y 2

{\displaystyle r_{1}I_{1}+r_{3}I_{3}=E_{1}+E_{2))

;

{\displaystyle r_{2}I_{2}+r_{3}I_{3}=E_{2}+E_{3))

Representemos el sistema de estas tres ecuaciones en forma matricial:

{\begin{matriz}Y-1&\left\{~\right.\\K&\left\{{\begin{matriz}~\\~\end{matriz}}\right.\end{matriz }}{\begin{bmatrix}1&1&-1\\r_{1}&0&r_{3}\\0&r_{2}&r_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_ {2}\\I_{3}\end{bmatrix}}=AI={\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_ {2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=BE

${\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\end{bmatrix}}$	$={\begin{bmatrix}1&1&-1\\r_{1}&0&r_{3}\\0&r_{2}&r_{3}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix} 0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatriz}}{\begin{bmatriz}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatriz}}=$
	$={\frac {1}{-(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3))))){\begin{bmatrix}- r_ {2}r_{3}&-r_{1}r_{3}&r_{1}r_{2}\\-(r_{2}+r_{3})&r_{3}&-r_{2} \ \r_{3}&-(r_{1}+r_{3})&-r_{1}\end{bmatriz}}^{T}{\begin{bmatriz}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end { bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{r^{2}}}{\begin{bmatrix}r_{2}r_{3}&r_{2}+r_{3}&-r_{3}\\r_ {1}r_{3}&-r_{3}&r_{1}+r_{3}\\-r_{1}r_{2}&r_{2}&r_{1}\end{bmatrix}}{\begin {bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{r^{2}}}{\begin{bmatrix}r_{2}+r_{3}&-r_{3}&r_{2}\\-r_{3} &r_{1}+r_{3}&r_{1}\\r_{2}&r_{1}&r_{1}+r_{2}\end{bmatriz}}{\begin{bmatriz}E_{1}\\ E_{2}\\E_{3}\end{bmatriz}}=[G][E].$

Ahora componemos un sistema de ecuaciones actuales:

\left\{{\begin{matriz}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+g_{13}E_{3};\\I_{2 }=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+g_{23}E_{3};\\I_{3}=g_{31}E_{1}+g_{32}E_ {2}+g_{33}E_{3},\end{matriz}}\derecha.

dónde

g_{11}=(r_{2}+r_{3})/r^{2}

;

{\displaystyle g_{22}=(r_{1}+r_{3})/r^{2))

;

g_{33}=(r_{1}+r_{2})/r^{2}

;

{\displaystyle g_{12}=g_{21}=-r_{3}/r^{2))

;

g_{13}=g_{31}=r_{2}/r^{2}

;

g_{23}=g_{32}=r_{1}/r^{2}

;

{\displaystyle r={\sqrt {r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3))))

Cálculo de circuitos con fuentes de corriente

Al calcular circuitos equivalentes con fuentes de corriente , son posibles simplificaciones, ya que se conocen las corrientes de las ramas con fuentes de corriente y no es necesario calcularlas. Por lo tanto, el número de circuitos independientes (sin fuentes de corriente), para los cuales es necesario componer ecuaciones de acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff, es igual a K \u003d (B - B - Y + 1), donde B es el número de sucursales con fuentes actuales. ${\ estilo de visualización _ {J}}$ ${\ estilo de visualización _ {J}}$

Literatura

Ingeniería Eléctrica: Proc. para universidades / A. S. Kasatkin, M. V. Nemtsov.- 7ma ed., Sr. - M.: Superior. escuela, 2003. - 542 p.: il. ISBN 5-06-003595-6

Métodos de cálculo de circuitos eléctricos.
aplicación directa de las reglas de Kirchhoff corrientes de bucle potenciales nodales dos nodos coagulación Cauera generador equivalente superposiciones de superposición amplitudes complejas secciones determinantes del circuito clásico operador