Función multivaluada

Una función multivaluada es una generalización del concepto de función que permite varios valores de función para un argumento [1] .

Definición

Una función que asocia cada elemento del conjunto con un cierto subconjunto del conjunto se llama función multivaluada [2] si al menos para uno el valor contiene más de un elemento $F$ $X$ $Y,$ $x\en X$ $F(x)$ ${\ estilo de visualización Y.}$

Las funciones ordinarias (de un solo valor) se pueden considerar como un caso especial de las de varios valores, en las que el valor consiste exactamente en un elemento.

Ejemplos

El ejemplo más simple es una función de raíz cuadrada de dos valores de un número positivo, tiene dos valores que difieren en signo. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 tiene dos significados, y ${\ estilo de visualización +4}$ ${\ estilo de visualización -4.}$

Otro ejemplo son las funciones trigonométricas inversas (por ejemplo, arcoseno ), ya que los valores de las funciones trigonométricas directas se repiten con un período , o luego los valores de las funciones inversas son multivaluados ("infinitos") , todos tienen la forma o donde es un número entero arbitrario. $2\pi$ $\Pi ,$ ${\ estilo de visualización \ varphi + 2k \ pi}$ ${\ estilo de visualización \ varphi + k \ pi,}$ $k$

Las funciones multivaluadas son inconvenientes para usar en fórmulas, por lo tanto, a menudo se destaca uno de sus valores, que se llama el principal . Para una raíz cuadrada, este es un valor no negativo, para un arcoseno, un valor que cae dentro del intervalo , y así sucesivamente. $\left[-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2))\right]$

La función antiderivada ( integral indefinida ) también se puede considerar como una función de valor infinito, ya que se define hasta una constante de integración .

En análisis complejo y álgebra

Un ejemplo típico de funciones multivaluadas son algunas funciones analíticas en análisis complejo . La ambigüedad surge de la continuación analítica por diferentes caminos . También, a menudo, las funciones de valores múltiples se obtienen tomando funciones inversas .

Por ejemplo, la raíz enésima de cualquier número complejo distinto de cero toma valores exactos . El logaritmo complejo tiene un número infinito de valores, uno de ellos se declara el principal. $norte$

En el análisis complejo, el concepto de función multivaluada está estrechamente relacionado con el concepto de superficie de Riemann, una superficie en un espacio complejo multidimensional en el que una función dada se convierte en un solo valor.

Véase también

Pantalla multivalor

Nota

↑ G. Korn, T. Korn . manual de matemáticas. Para científicos e ingenieros. M., 1973 Capítulo 4. Funciones y límites, cálculo diferencial e integral. 4.2. Funciones. 4.2-2. Funciones con propiedades especiales . ( a ), p.99. . Fecha de acceso: 26 de enero de 2012. Archivado desde el original el 19 de enero de 2015. (indefinido)
↑ Kudryavtsev L. D. Función multivaluada // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1984. - T. 4. - S. 720.

Literatura

Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Métodos de la teoría de funciones de una variable compleja. - 4 ª ed. - M . : Nauka , 1972 .
Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka , 1969 . — 577 pág.