Variable aleatoria multivariante

Una variable aleatoria multivariante o vector aleatorio ( matemáticas , probabilidad y estadística ) es una lista de variables matemáticas , el valor de cada una de las cuales se desconoce, ya sea porque el valor aún no se ha producido o debido a un conocimiento imperfecto de su valor. Las variables individuales en un vector aleatorio se agrupan porque son parte de un solo sistema matemático; a menudo representan diferentes propiedades de unidades estadísticas individuales. Por ejemplo, que una persona en particular tenga cierta edad, altura y peso. La totalidad de estas características en una persona aleatoria del grupo será un vector aleatorio. Normalmente, cada elemento de un vector aleatorio es un número real .

Los vectores aleatorios se utilizan a menudo como la implementación subyacente de varios tipos de colecciones de variables aleatorias , como matrices aleatorias, árboles aleatorios, secuencias aleatorias, procesos aleatorios , etc.

Más formalmente, una variable aleatoria multivariante es un vector columna (o su matriz transpuesta , que es un vector fila), cuyos componentes son valores escalares de variables aleatorias en el mismo espacio de probabilidad , donde este es el espacio de eventos elementales , este es un sigma-álgebra (el conjunto de todos los eventos), y existe una probabilidad de medición (una función que devuelve la probabilidad de cada evento). ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T))$ $(\Omega ,{\mathcal {F)),P)$ $\Omega$ ${\ matemáticas {F}}$ $PAGS$

Distribución de probabilidad

Cada vector aleatorio genera una medida de probabilidad en el álgebra de Borel subyacente al álgebra sigma. Esta medida también se conoce como distribución de probabilidad conjunta, distribución conjunta o distribución vectorial aleatoria multivariante. $\mathbb{R} ^{n}$

La distribución de cada uno de los componentes de las variables aleatorias se denominan distribuciones marginales . La distribución de probabilidad condicional dada es la distribución de probabilidad cuando se conoce como un valor particular. $X_{yo}$ $X_{yo}$ $X_{j}$ $X_{yo}$ $X_{j}$

Operaciones sobre vectores aleatorios

Los vectores aleatorios pueden someterse a las mismas operaciones algebraicas que los vectores no aleatorios: suma, resta, multiplicación por un escalar y producto escalar .

De manera similar, se puede definir un nuevo vector aleatorio aplicando una transformación afín al vector aleatorio : $\mathbf{Y}$ ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $\mathbf{X}$

\mathbf {Y} ={\mathcal {A}}\mathbf {X} +b

, donde es una matriz y es un vector que consta de una columna

\mathcal{A}

{\ estilo de visualización n \ veces n}

b

{\ estilo de visualización n \ veces 1}

Si es reversible y la densidad de probabilidad es , entonces la densidad de probabilidad $\mathcal{A}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ mathbf {X}}$ $f_{\matemáticas{X} }$ $\mathbf{Y}$

f_{\mathbf {Y} }(y)={\frac {f_{\mathbf {X} }({\mathcal {A}}^{-1}(yb))}{|\det { \mathcal {A}}|}}

Expectativa, covarianza y covarianza cruzada

La expectativa matemática o media de un vector aleatorio es un vector fijo cuyos elementos son los valores esperados de las correspondientes variables aleatorias. $\mathbf{X}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {E} [\ mathbf {X}]}$

Una matriz de covarianza (también llamada matriz de varianza-covarianza) es un vector aleatorio cuya matriz es una matriz de tamaño en la que el ( i,j ) ésimo elemento es la covarianza entre la i ésima y la j ésima variable aleatoria. La matriz de covarianza es la expectativa elemento por elemento de una matriz de tamaño obtenida por multiplicación de matrices , donde el superíndice T se refiere a la transposición del vector especificado: $n veces 1$ $n\veces n$ $n\veces n$ ${\displaystyle [\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]][\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]]^{T))$

\operatorname {Var} [\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\ nombre del operador {E} [\mathbf {X} ])^{T}].

Además de esto, y ( tiene elementos y tiene elementos) es una matriz $\mathbf{X}$ $\mathbf{Y}$ $\mathbf{X}$ $norte$ $\mathbf{Y}$ $pags$ ${\ estilo de visualización n \ veces p}$

\operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\ mathbf {Y} -\nombre del operador {E} [\mathbf {Y} ])^{T}],

Donde nuevamente la expectativa de matriz especificada se toma paso a paso en la matriz. En ella, el ( i,j ) -ésimo elemento es la covarianza entre el i-ésimo elemento de la matriz y el j -ésimo elemento de la matriz.La matriz de covarianza cruzada se obtiene fácilmente transponiendo lo obtenido . $\mathbf{X}$ $\mathbf {Y} .$ $\operatorname {Cov} [\mathbf {Y},\mathbf {X}]$ $\operatorname {Cov} [\mathbf {X},\mathbf {Y}]$

Propiedades adicionales

Expectativa de una forma cuadrática

Tome la expectativa de una forma cuadrática en un vector aleatorio X de la siguiente manera : pp.170–171

\operatorname {E} (X^{T}AX)=[\operatorname {E} (X)]^{T}A[\operatorname {E} (X)]+\operatorname {tr} (AC ),

Donde C es la matriz de covarianza de X y tr es la traza de la matriz, es decir, la suma de los elementos en su diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha). Dado que la forma cuadrática es un escalar, esta es también su expectativa matemática.

Prueba : Sea un vector aleatorio de tamaño c y sea una matriz no estocástica de tamaño ${\ estilo de visualización \ mathbf {z}}$ $m\veces 1$ $\operatorname {E} [\mathbf {z} ]=\mu$ $\operatorname {Cov} [\mathbf {z} ]=V$ $A$ $m \veces m$

Entonces, con base en la fórmula básica para la covarianza, si denotamos y (donde a continuación el signo principal denota transposición), vemos: $\mathbf {z} '=\mathbf {X}$ $\mathbf {z} 'A'=\mathbf {Y}$ $'$

\operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ']-\operatorname {E} [\mathbf { X} ]\nombre del operador {E} [\mathbf {Y} ]'

Como consecuencia,

{\begin{alineado}E(XY')&=\operatorname {Cov} (X,Y)+E(X)E(Y)'\\E(z'Az)&=\operatorname {Cov } (z',z'A')+E(z')E(z'A')'\\&=\nombre del operador {Cov} (z',z'A')+\mu '(\mu ' A')'\\&=\nombre del operador {Cov} (z',z'A')+\mu 'A\mu ,\end{alineado}}

lo que nos lleva a

\operatorname {Cov} (z',z'A')=\operatorname {tr} (AV).

Esto es cierto debido al hecho de que al rastrear sin cambiar el resultado final, puede reorganizar cíclicamente las matrices (por ejemplo, tr (AB) = tr (BA)).

Vemos que la covarianza

{\begin{alineado}\operatorname {Cov} (z',z'A')&=E\left[\left(z'-E(z')\right)\left(z'A' -E\izquierda(z'A'\derecha)\derecha)'\derecha]\\&=E\izquierda[(z'-\mu ')(z'A'-\mu 'A')'\derecha ]\\&=E\left[(z-\mu )'(Az-A\mu )\right].\end{alineado}}

y entonces

\left({z-\mu }\right)'\left({Az-A\mu }\right)

es un escalar , entonces

(z-\mu )'(Az-A\mu )=\operatorname {tr} \left[{(z-\mu )'(Az-A\mu )}\right]=\operatorname {tr } \left[(z-\mu )'A(z-\mu )\right]

trivialmente Usando la permutación, obtenemos:

\operatorname {tr} \left[{(z-\mu )'A(z-\mu )}\right]=\operatorname {tr} \left[{A(z-\mu )(z- \mu )'}\derecho],

Y al incluir esto en la fórmula original, obtenemos:

{\begin{alineado}\operatorname {Cov} \left({z',z'A'}\right)&=E\left[{\left({z-\mu }\right)'( Az-A\mu )}\right]\\&=E\left[\operatorname {tr} \left[A(z-\mu )(z-\mu )'\right]\right]\\&= \operatorname {tr} \left[{A\cdot E\left[(z-\mu )(z-\mu )'\right]}\right]\\&=\operatorname {tr} [AV].\ fin{alineado}}

La expectativa matemática del producto de dos formas cuadráticas diferentes

Tomemos la expectativa del producto de dos formas cuadráticas diferentes en un vector aleatorio gaussiano X con media cero de la siguiente manera: :p. 162–176

\operatorname {E} [X^{T}AX][X^{T}BX]=2\operatorname {tr} (ACBC)+\operatorname {tr} (AC)\operatorname {tr} (BC )

Donde nuevamente C es la matriz de covarianza de X. Nuevamente, dado que ambas formas cuadráticas son escalares y, por lo tanto, su producto es un escalar, la media de su producto también es un escalar.

Serie temporal de vectores

La evolución de un vector aleatorio k × 1 a lo largo del tiempo se puede modelar como vector de autorregresión (VAR) de la siguiente manera: $\mathbf{X}$