Mucho nivel

En matemáticas , el conjunto de nivel de una función real f de n variables reales es un conjunto de la forma

L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots,x_{n}) =c\derecha\}~,

es decir, el conjunto en el que la función toma un valor constante c dado .

Cuando el número de variables es dos, normalmente el nivel establecido es una curva llamada línea de nivel, isolínea o línea de contorno. Entonces, la curva de nivel es el conjunto de todas las soluciones reales de la ecuación en dos variables x 1 y x 2 . Cuando , el conjunto de niveles se denomina superficie de nivel (o también isosuperficie ), y en el caso de un mayor número de variables n , el conjunto de niveles es una hipersuperficie. Así, una superficie de nivel es el conjunto de todas las raíces reales de una ecuación en tres variables y , y una hipersuperficie de nivel es un conjunto de todas las raíces reales de una ecuación en n ( n > 3) variables. $n=3$ $x_{1},x_{2}$ $x_{3}$

El conjunto de niveles es un caso especial de la capa .

Títulos alternativos

Varios niveles aparecen en muchas aplicaciones, a menudo con diferentes nombres.

Por ejemplo, una curva implícita es un conjunto de niveles que se considera por separado de las curvas vecinas, lo que enfatiza que dicha curva está definida por una función implícita . Del mismo modo, una superficie nivelada a veces se denomina superficie implícita o isosuperficie .

A veces también se utiliza el nombre isocontorno [1] , que denota un contorno de igual altura. En varias áreas, los isocontornos reciben nombres específicos, que a menudo reflejan la naturaleza de los valores de la función en consideración, como isobar , isotherm , isogon , isochron , isoquant y curva de indiferencia .

Ejemplos

Considere la distancia euclidiana bidimensional

d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

El conjunto de niveles de esta función está formado por puntos situados a una distancia del origen, conjunto conocido como círculo . Por ejemplo, porque Geométricamente esto significa que el punto se encuentra en un círculo de radio 5 con centro en el origen. Un ejemplo más general, una esfera en un espacio métrico con radio y centro en puede definirse como un conjunto de niveles . ${\ estilo de visualización L_ {r} (d)}$ $r$ ${\ estilo de visualización (3,4) \ en L_ {5} (d)}$ ${\ estilo de visualización d (3,4) = 5.}$ $(3.4)$ ${\ estilo de visualización (M, m)}$ $r$ $x \en M$ $L_{r}(y\mapsto m(x,y))$

El segundo ejemplo es el gráfico de la función Himmelblau que se muestra en la figura de la derecha. Cada curva que se muestra es una curva de nivel de la función y están separadas logarítmicamente entre sí: si la curva representa el nivel , entonces la curva "interior" más cercana representa el nivel y la curva "exterior" más cercana representa el nivel . ${\ Displaystyle L_ {x}}$ ${\ estilo de visualización L_ {x/10}}$ ${\ estilo de visualización L_ {10x}}$

Conjuntos de niveles y degradados

Teorema : si una función f es diferenciable , el gradiente de f en un punto es cero o perpendicular al conjunto de niveles de f en el punto.

Para entender lo que esto significa, imaginemos que dos peatones están en el mismo lugar en la ladera de una montaña. Uno de ellos tiene confianza y decide ir en la dirección de la subida más empinada, el otro es más cauteloso, no va a subir ni a bajar, sino que elige un camino con la misma altura sobre el nivel del mar. En nuestra analogía, el teorema anterior dice que ambos peatones partirán en direcciones perpendiculares entre sí.

Una consecuencia de este teorema (y su demostración) es que si f es derivable, el conjunto de niveles es una hipersuperficie y una variedad fuera de los puntos críticos de f . En un punto crítico, el conjunto de niveles puede reducirse a un punto (por ejemplo, en el extremo local de la función f ), o el punto crítico puede resultar ser una singularidad , como un punto de autointersección o cúspide _

Conjuntos de subnivel y supernivel

mucho tipo

L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots,x_ {n})\leqslant c\derecho\}

se llama el conjunto de subniveles de la función f . El conjunto de subnivel estricto de la función f se define como

{\displaystyle \left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots,x_{n})<c\right\))

Similarmente

L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots,x_ {n})\geqslant c\right\}

se llama el conjunto de supernivel de la función f [3] [4] . El conjunto del supernivel estricto de la función se define de manera similar

{\displaystyle \left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots,x_{n})>c\right\))

Los conjuntos de subniveles son importantes en la teoría de la minimización . La acotación de algún conjunto de subnivel no vacío y la semicontinuidad inferior implican que la función alcanza su mínimo por el teorema de Weierstrass . La convexidad de todos los conjuntos de subniveles caracteriza las funciones cuasi-convexas [5] .

Véase también

epiplot
Nivel Función Método
Conjunto de niveles (estructuras de datos)

Notas

↑ Consulte, por ejemplo, Métodos de representación visual de geocampos . Archivado el 16 de junio de 2017 en Wayback Machine .
↑ Simionescu, 2011 .
↑ Voitsekhovskii, 2001 .
↑ Weisstein, Eric W. Level Set en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Kiwiel, 2001 , pág. 1–25.

Literatura

Simionescu PA Algunos avances para visualizar funciones restringidas y desigualdades de dos variables // Journal of Computing and Information Science in Engineering. - 2011. - T. 11 , núm. 1 . -doi : 10.1115/ 1.3570770 .
Conjunto de niveles Voitsekhovskii MI // Enciclopedia de Matemáticas. — Prensa EMS, 2001.
Krzysztof C. Kiwiel. Convergencia y eficiencia de los métodos de subgradiente para la minimización cuasiconvexa // Programación matemática, Serie A. - Berlín, Heidelberg: Springer, 2001. - Vol. 90 , no. 1 . — ISSN 0025-5610 . -doi : 10.1007/ PL00011414 .