La desigualdad de Ptolomeo

La desigualdad de Ptolomeo es una desigualdad de 6 distancias entre cuatro puntos en un plano.

Nombrado en honor al difunto matemático helenístico Claudio Ptolomeo .

Redacción

Para cualquier punto del plano, la desigualdad $A B C D$

AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD,

además, la igualdad se logra si y solo si es un cuadrilátero inscrito convexo , o los puntos se encuentran en una línea recta. $A B C D$ $A B C D$

Una versión de la prueba de la desigualdad se basa en el uso de la inversión sobre un círculo con centro en el punto ; esto reduce la desigualdad de Ptolomeo a la desigualdad del triángulo para las imágenes de los puntos , , . [una] $A$ $B$ $C$ $D$
Hay una manera de probarlo usando la línea de Simson .
El teorema de Ptolomeo se puede probar de la siguiente manera (cerca de la prueba del mismo Ptolomeo, dada por él en el libro Almagesto ): introduce un punto tal que , y luego a través de la semejanza de triángulos . $mi$ $\ángulo ABE=\ángulo DBC$
El teorema es también una consecuencia de la relación de Bretschneider .

El teorema de Pompeyo . [2] Considere un puntoy un triángulo regular . Entonces a partir de los segmentos,yes posible hacer un triángulo, y este triángulo es degenerado si y sólo si el puntose encuentra en el círculo circunscrito del triángulo. $X$ $A B C$ $XA$ $XB$ $XC$ $X$ $A B C$

Si AC es el diámetro del círculo, entonces el teorema se convierte en la regla de la suma de los senos . Fue esta consecuencia que Ptolomeo usó para compilar una tabla de senos.

Relación Bretschneider
Las desigualdades de Ptolomeo se pueden extender a seis puntos: si son puntos arbitrarios del plano (esta generalización se llama teorema de Ptolomeo para un hexágono , y en la literatura extranjera teorema de Fuhrmann [3] ), entonces $A_{1},A_{2},\puntos A_{6}$

A_{1}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{3}A_{6}\leq A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{6 }\cdot A_{4}A_{5}+A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+

+A_{2}A_{3}\cdot A_{1}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5 }\cdot A_{1}A_{6}+A_{3}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{1}A_{6},

donde se alcanza la igualdad si y sólo si es un hexágono inscrito.

A_{1}\puntos A_{6}

Teorema de Casey ( teorema de Ptolomeo generalizado ): Considere círculosya un círculo dado en los vérticesycuadrilátero convexo. Sea la longitud de la tangente común a las circunferenciasy(externa, si ambos toques son internos o externos a la vez, e interna, si un toque es interno y el otro externo); etc. se definen de manera similar. Después $\alfa,\beta,\gamma$ $\delta$ $A B C$ $D$ $A B C D$ $t_{{\alfa \beta }}$ $\alfa$ $\beta$ $t_{{\beta\gamma}},t_{{\gamma\delta}}$

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

↑ Una prueba del teorema de Ptolomeo usando inversión . Archivado el 26 de mayo de 2009 en Wayback Machine . Punto de consulta remota de matemáticas MCNMO .
↑ Acerca del teorema de D. Pompeiu. Archivado el 17 de diciembre de 2004 en Wayback Machine . Punto de consulta remota de matemáticas MCNMO .
↑ Teorema de Ptolomeo . Consultado el 17 de mayo de 2011. Archivado desde el original el 26 de mayo de 2009. (indefinido)
↑ Howorka, Edward (1981), Una caracterización de los gráficos ptolemaicos , Journal of Graph Theory Vol. 5 (3): 323–331 , DOI 10.1002/jgt.3190050314 .

Curso optativo de matemáticas. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M .: Educación , 1991. - S. 328-329. — 383 pág. — ISBN 5-09-001287-3 .
Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 tomos - M. : MTSNMO , 2004. - S. 61-63. — ISBN 5-94057-170-0 .