Signos de semejanza de triángulos

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Los triángulos semejantes en geometría euclidiana son triángulos cuyos ángulos son respectivamente iguales y cuyos lados son respectivamente proporcionales . Son figuras similares .

Este artículo analiza las propiedades de los triángulos semejantes en la geometría euclidiana . Algunas afirmaciones no son ciertas para geometrías no euclidianas .

Signos de semejanza de triángulos

Los criterios de similitud para triángulos son características geométricas que te permiten establecer que dos triángulos son similares sin usar todos los elementos de la definición.

Primera señal

Si dos ángulos de un triángulo son respectivamente iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

eso es: $\triángulo ABC \sim \triángulo A_1 B_1 C_1 \Leftrightarrow \ángulo A = \ángulo A_1,\ \ángulo B= \ángulo B_1.$

Dado: y $\triángulo ABC$ $\triángulo A_1 B_1 C_1,\ \ángulo A = \ángulo A_1,\ \ángulo B = \ángulo B_1.$

Demostrar: $\triángulo ABC \sim \triángulo A_1 B_1 C_1.$

Prueba Del teorema de los ángulos de los triángulos, podemos concluir que todos los ángulos de los triángulos son iguales. Colóquelos de modo que el ángulo se superponga con el ángulo . Del teorema de Tales generalizado (se puede probar sin similitud, ver, por ejemplo, un libro de texto sobre geometría 7-9 de Sharygin o Pogorelov) . De manera similar, se puede probar que las proporciones de los otros lados correspondientes son iguales, lo que significa que los triángulos son similares por definición, etc.

\ángulo BAC

{\ estilo de visualización \ ángulo B_{1}A_{1}C_{1))

{\displaystyle AC/A_{1}C_{1}=BC/B_{1}C_{1))

Consecuencias del primer signo de similitud

Si tres lados del triángulo original son paralelos por pares (dos veces antiparalelos o perpendiculares) a tres lados de otro triángulo, entonces estos dos triángulos son semejantes . Para ver ejemplos de la aplicación de este corolario, consulte las secciones a continuación: "Ejemplos de triángulos semejantes" y "Propiedades del paralelismo (antiparalelismo) de los lados de triángulos relacionados".
Los lados doblemente antiparalelos significan lo siguiente. Por ejemplo, los lados de un triángulo acutángulo dado son antiparalelos a los lados correspondientes del ortotriángulo contra el que se encuentran. En tal caso, los lados correspondientes del ortotriángulo de un ortotriángulo (doblemente ortotriángulo) son dos veces antiparalelos a los lados correspondientes del triángulo original , es decir, simplemente paralelos. Por lo tanto, por ejemplo, el ortotriángulo de un ortotriángulo y el triángulo original son similares como triángulos con lados paralelos.

El segundo signo

Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados de otro triángulo y los ángulos comprendidos entre estos lados son iguales, entonces tales triángulos son semejantes.

Dado: y $\triángulo ABC$ $\triángulo A_1 B_1 C_1,\ \ángulo A = \ángulo A_1,\ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$

Demostrar: $\triángulo ABC \sim \triángulo A_1 B_1 C_1.$

Prueba

1) Considere , en el cual y $\triángulo ABC_2$ $\ángulo BAC_2=\ángulo A_1$ $\ángulo ABC_2=\ángulo B_1:$

\triángulo ABC_2\sim \triángulo A_1 B_1 C_1

( primera señal )

\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.

2) Por condición:

\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\Rightarrow AC=AC_2 \Rightarrow \triángulo ABC = \triángulo ABC_2

( primera señal ) ( primera señal ).

\Flecha derecha \ángulo B=\ángulo ABC_2 \Flecha derecha \triángulo ABC \sim \triángulo A_1 B_1 C_1

El tercer signo

Si los tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a los tres lados de otro, entonces los triángulos son semejantes.

Dado : y = = . $\triángulo ABC$ ${\displaystyle \triángulo A_{1}B_{1}C_{1},{\frac {AB}{A_{1}B_{1))))$ $\frac{AC}{A_1C_1}$ $\frac{BC}{B_1C_1}$

probar : $\triángulo ABC \sim \triángulo A_1 B_1 C_1.$

Prueba

1) Considere , en el cual y $\triángulo ABC_2$ $\ángulo BAC_2=\ángulo A_1$ $\ángulo ABC_2=\ángulo B_1:$

\triángulo ABC_2\sim \triángulo A_1 B_1 C_1

( primera señal )

\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.

2) Por condición:

\frac{AB}{A_1B_1}

= = AC=AC 2 , BC=BC 2 => ∆ABC = ∆ABC 2 ( tercera característica ); ∆ABC 2 ∆A 1 segundo 1 C 1 => .

\frac{AC}{A_1C_1}

{\frac {BC}{B_{1}C_{1))}\Rightarrow \

\sim

{\displaystyle \triángulo ABC\sim \triángulo A_{1}B_{1}C_{1))

Signos de semejanza de triángulos rectángulos

En un ángulo agudo , vea el primer signo ;
En dos piernas - vea el segundo signo ;
En el cateto y la hipotenusa , vea el tercer signo .

Propiedades de triángulos semejantes

La razón de las áreas de triángulos semejantes es igual al cuadrado del coeficiente de semejanza
La razón de perímetros y longitudes de bisectrices , medianas , alturas y medias perpendiculares es igual al coeficiente de similitud.

Ejemplos de triángulos semejantes

Los siguientes tipos de triángulos son semejantes:

El triángulo complementario y el triángulo anticomplementario son semejantes; sus lados correspondientes son paralelos.
El triángulo ABC es similar a su triángulo complementario ; sus lados correspondientes son paralelos y están relacionados como 2:1.
El triángulo ABC es similar a su triángulo anticomplementario ; sus lados correspondientes son paralelos y están relacionados como 1:2.
El triángulo original con respecto al ortotriángulo es un triángulo de tres mediatrices exteriores [1] . $\Delta ABC$
Un ortotriángulo y un triángulo tangencial son similares (Zetel, corolario 1, § 66, p. 81).
El ortotriángulo del ortotriángulo y el triángulo original son semejantes.
El triángulo de tres bisectrices exteriores del triángulo de tres bisectrices exteriores y el triángulo original son semejantes.
Deje que los puntos de contacto del círculo inscrito en un triángulo dado estén conectados por segmentos, luego obtenemos el triángulo de Gergonne y las alturas se dibujan en el triángulo resultante. En este caso, las líneas que conectan las bases de estas alturas son paralelas a los lados del triángulo original. Por lo tanto, el ortotriángulo del triángulo de Gergonne y el triángulo original son similares.
Las propiedades anteriores de similitud de triángulos relacionados son una consecuencia de las propiedades de paralelismo de los lados de los triángulos relacionados enumerados a continuación .
Teorema : un triángulo circunferencial-ceviano es similar a uno subdérmico [2] . Definiciones usadas aquí:
- Un triángulo con vértices en los segundos puntos de intersección de rectas trazadas por los vértices y un punto dado, con una circunferencia circunscrita, se denomina triángulo circunferencial-ceviano .
- Un triángulo con vértices en las proyecciones de un punto dado sobre los lados se llama triángulo subdérmico o pedal de este punto.

Propiedades del paralelismo (antiparalelismo) de los lados de triángulos relacionados

Los lados correspondientes del triángulo complementario , el triángulo anticomplementario y el triángulo original son paralelos por pares.
Los lados de un triángulo acutángulo dado son antiparalelos a los lados correspondientes del ortotriángulo contra el que se encuentran.
Los lados de un triángulo tangencial son antiparalelos a los lados opuestos correspondientes del triángulo dado (por la propiedad de antiparalelismo de las tangentes a un círculo).
Los lados de un triángulo tangencial son paralelos a los lados correspondientes de un ortotriángulo .
Deje que los puntos de contacto del círculo inscrito en un triángulo dado estén conectados por segmentos, luego obtenemos el triángulo de Gergonne y las alturas se dibujan en el triángulo resultante. En este caso, las líneas que conectan las bases de estas alturas son paralelas a los lados del triángulo original. Por lo tanto, el ortotriángulo del triángulo de Gergonne y el triángulo original son similares.

Semejanza en un triángulo rectángulo

Los triángulos en los que la altura bajada del ángulo recto divide el triángulo rectángulo son similares al triángulo completo en el primer criterio , lo que significa:

La altura de un triángulo rectángulo, bajada a la hipotenusa, es igual a la media geométrica de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa ,
El cateto es igual a la media geométrica de la hipotenusa y la proyección de este cateto sobre la hipotenusa.

Definiciones relacionadas

El coeficiente de semejanza es el número k, igual a la razón de los lados semejantes de triángulos semejantes.
Los lados semejantes de triángulos semejantes son los lados que forman ángulos iguales opuestos.

Véase también

Notas

↑ Starikov V. N. Geometry research // Colección de publicaciones de la revista científica Globus basada en los materiales de la V-ésima conferencia científico-práctica internacional "Logros y problemas de la ciencia moderna", San Petersburgo: una colección de artículos (nivel estándar, nivel académico). S-P.: Revista científica Globus , 2016. S. 99-100
↑ Sistema de problemas de geometría por R. K. Gordin. Tarea 6480 . Consultado el 26 de abril de 2016. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. (indefinido)

Literatura

Geometría 7-9 / L. S. Atanasyan et al. - 12ª ed. - M.: Ilustración, 2002. - 384 p.:
Zetel S.I. Nueva geometría triangular. Una guía para profesores. 2ª edición. M.: Uchpedgiz, 1962. 153 p.

Enlaces

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex