Notación de Leibniz

La notación de Leibniz es una notación matemática desarrollada por Leibniz para el análisis de infinitesimales y ampliamente utilizada en el análisis matemático (junto con otras notaciones ). Los símbolos principales son y para representar un incremento infinitesimal y una función de una variable , respectivamente, así como para incrementos finitos y, respectivamente [1] . $dx$ $dy$ $X$ $y$ $X$ ${\ estilo de visualización {\ Delta} x}$ ${\Delta }y$ $X$ $y$

La derivada con respecto a , que luego pasó a ser considerada como un límite : $y$ $X$

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x )-f(x)}{\Delta x))

era, según Leibniz, la razón de un incremento infinitesimal a un incremento infinitesimal : $y$ $X$

{\frac {dy}{dx}}=f'(x)

donde el lado derecho es la notación de la derivada de la función con respecto a la notación de Lagrange . Los incrementos infinitesimales se llaman diferenciales . Relacionado con este concepto está el concepto de integral , en el que se suman incrementos infinitesimales (por ejemplo, para calcular la longitud, el área o el volumen como la suma de piezas diminutas). Para escribir integrales, Leibniz propuso una notación estrechamente relacionada que utiliza los mismos diferenciales. Esta notación fue de gran importancia en el desarrollo de las matemáticas europeas continentales. $F$ $X$

El concepto de infinitesimales de Leibniz no fue riguroso durante mucho tiempo, pero con el tiempo se complementó con formulaciones rigurosas desarrolladas por Weierstrass y otros matemáticos del siglo XIX. Como consecuencia, la notación fraccionaria de Leibniz pasó a ser vista no como una simple división, sino que fue definida a través del paso al límite . En el siglo XX, se propusieron varios otros formalismos para dar rigor a la notación infinitesimal, incluido el análisis no estándar , el espacio tangente , el uso de "O" grande[ especificar ] .

Las derivadas e integrales del análisis matemático pueden verse desde el punto de vista de la teoría moderna de las formas diferenciales , en la que la derivada es de hecho el cociente de dos diferenciales, y la integral se comporta exactamente de acuerdo con la notación de Leibniz. Sin embargo, esto requiere que la derivada y la integral se definan en un sentido diferente, lo que refleja la consistencia y la eficiencia computacional de la notación de Leibniz.

Historia

En el siglo XVII, los matemáticos Newton y Leibniz de forma independiente comenzaron a desarrollar el cálculo, operando con cantidades infinitesimales . Mientras Newton trabajaba con fluxiones , Leibniz basó su enfoque en la generalización de sumas y diferencias [2] . Leibniz fue el primero en utilizar el símbolo . Este símbolo se deriva de la palabra latina summa ("suma"), que el erudito escribió como ſumma usando la letra alargada s , que se usaba a menudo en Alemania en ese momento. Considerando la diferenciación como la operación inversa a la suma [3] , Leibniz usó el símbolo - la primera letra de la palabra latina differentia ("diferencia") [2] . $\estilo de texto \int$ $d$

Leibniz era quisquilloso con la notación, pasó años experimentando, retocando, seleccionando y poniéndose de acuerdo con otros matemáticos [4] . La notación que usó para el diferencial variable cambió gradualmente de , a la notación final [5] . Su signo integral apareció por primera vez en el artículo "De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum" (Sobre la geometría oculta y el análisis de lo indivisible y el infinito), publicado en la revista Acta Eruditorum en junio de 1686 [6] [7] , pero fue utilizado en manuscritos privados por al menos desde 1675 [8] [9] [10] Leibniz utilizó por primera vez la designación en el artículo " Nova Methodus pro Maximis et Minimis ", también publicado en la revista Acta Eruditorum en 1684 [11] . Aunque la expresión apareció en un manuscrito privado de 1675 [12] [13] , no se utilizó de esta forma en las obras publicadas mencionadas. En forma impresa, Leibniz usó expresiones para la diferenciación en la forma y [11] . $y$ $\omega$ $yo$ ${\tfrac{y}{d))$ $dy$ $dx$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}}$ $dyaddx$ $dy:dx$

Los matemáticos ingleses utilizaron la notación de puntos de Newton hasta 1803, cuando Robert Woodhouse publicó una descripción de la notación continental. Posteriormente la Sociedad Analítica de la Universidad de Cambridge promovió la adaptación de la notación de Leibniz.

A fines del siglo XIX, los seguidores de Weierstrass dejaron de tomar literalmente la notación de Leibniz para derivadas e integrales. Los matemáticos sintieron que el concepto de infinitesimales contenía una contradicción lógica. Algunos matemáticos del siglo XIX (Weierstrass y otros) formularon métodos matemáticamente rigurosos para tratar con derivadas e integrales sin usar infinitesimales. La formalización matemática de Weierstrass utilizó el concepto de límite , como se muestra arriba. Al mismo tiempo, Cauchy usó tanto infinitesimales como límites (ver Cours d'Analyse ). Por el momento, la notación de Leibniz continúa usándose activamente, pero no debe tomarse literalmente. La notación de Leibniz es a menudo más simple que las notaciones alternativas: por ejemplo, cuando se usa la técnica de separación de variables al resolver ecuaciones diferenciales. También la notación de Leibniz está en armonía con el análisis dimensional . Por ejemplo, sea el desplazamiento, que se mide en metros, y sea el tiempo, medido en segundos. Los incrementos de cantidades tienen las dimensiones correspondientes, es decir, tiene la dimensión de longitud y la dimensión de tiempo. La derivada determinará la velocidad con la dimensión m/s . De igual forma, la integral determinará el desplazamiento medido en metros. $S t)$ $t$ $ds$ $dt$ $v(t)=ds/dt$ ${\textstyle s=\int v(t)\,dt}$

Notación de Leibniz para diferenciación

Sea la variable dependiente una función de la variable independiente : . Entonces, la derivada de la función en notación de Leibniz para diferenciación se puede escribir como: $y$ $F$ $X$ $y=f(x)$ $F$

{\frac {dy}{dx))\quad

o o .

\quad {\frac {d}{dx}}y\quad

\quad {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr)}}{dx}}

La expresión de Leibniz, escrita como , es una de las notaciones generalmente aceptadas para la derivada. Las alternativas son la notación de Lagrange con prima $dy/dx$

{\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x)

y una notación en notación newtoniana que requiere colocar un punto sobre la variable dependiente (en este caso ): $y$

{\frac {dy}{dt}}={\dot {y}}

La notación newtoniana se usa a menudo para escribir derivadas con respecto al tiempo (similar a la velocidad ). La notación de " trazo " de Lagrange es más concisa y permite escribir la derivada de una función en un punto particular. Por ejemplo, la entrada denota la primera derivada de la función en el punto . Sin embargo, la designación de Leibniz tiene sus ventajas, lo que le permite seguir siendo popular después de muchos años. $f'(x_{0})$ $f(x)$ $x = x_0$

En la interpretación moderna, la expresión debe considerarse no como una relación directa de dos cantidades infinitesimales y (como imaginó Leibniz), sino como una sola expresión, que es una abreviatura de redistribución: ${\ Displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}}$ $dy$ $dx$

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))

el signo utilizado aquí es , que denota una diferencia finita, en lugar de , que denota un infinitesimal según la interpretación de Leibniz. ${\Delta}$ $d$

Una expresión también puede entenderse como la acción de un operador diferencial (nuevamente, un solo símbolo) sobre una variable , que se trata como una función de la variable independiente . Este operador también se escribe en notación de Euler . Leibniz no usó esta forma, pero aplicó el símbolo muy de cerca al concepto moderno. ${\tfrac{d}{dx))$ $y$ $X$ $D$ $d$

Aunque la notación de Leibniz no implica ninguna división real, la notación del cociente es útil en muchas situaciones. Dado que el operador de derivada se comporta de manera similar a la operación de división en muchos casos, la notación de Leibniz facilita la comprensión y el recuerdo de algunos resultados relacionados con las derivadas [14] . Entonces, ya se mencionó anteriormente que las dimensiones de las cantidades durante la derivación se comportan como en la división ordinaria, otro ejemplo ilustrativo es la regla de derivación de una función compleja , que en la notación de Leibniz es obvia y toma una forma cercana a una tautología:

{\frac {dy}{dt}}\,=\,{\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}

La notación de Leibniz tiene una vida tan larga porque alcanza el núcleo mismo de las aplicaciones geométricas y mecánicas del análisis [15] .

Notación de Leibniz para derivadas de orden superior

Si , entonces la -ésima derivada de la función en notación de Leibniz viene dada por la expresión [16] $y=f(x)$ $norte$ $F$

{\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n))))

Esta notación para la segunda derivada se obtiene usándola como operador de la siguiente manera [16] : ${\tfrac{d}{dx))$

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}} \Correcto)

La tercera derivada, que se puede escribir como:

{\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,

se puede obtener de:

{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y {dx^{2))}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{ dx}}\derecho)\derecho)

De manera similar, se pueden obtener derivados de órdenes superiores a partir de instrucciones. Aunque, con definiciones cuidadosamente elegidas, la expresión puede interpretarse como un cociente de dos diferenciales , esto no debe hacerse para formas diferenciales de orden superior [17] . ${\ Displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}}$

Esta designación no fue utilizada por Leibniz. En las obras impresas, no utilizó notación de varias etapas ni exponentes numéricos (hasta 1695). Por ejemplo, para escribir , Leibniz podría usar la notación aceptada en ese momento . El cuadrado de la diferencial, que aparece, por ejemplo, en la fórmula de la longitud de la curva , se escribió como . Además, Leibniz usó su notación en el sentido en que ahora se usan los operadores, es decir, podía escribir la segunda derivada como , y la tercera como . En 1695, Leibniz comenzó a escribir para y para y respectivamente, pero Lopital , en un libro sobre cálculo escrito por la misma época, utilizó la forma original de la notación de Leibniz [18] . $x^{3}$ ${\ estilo de visualización xxx}$ ${\ estilo de visualización dxdx}$ $d$ $dy$ $papá$ $d^{2}\cdot {x}$ $d^{3}\cdot {x}$ ${\ estilo de visualización ddx}$ ${\ estilo de visualización ddx}$

Uso en varias fórmulas

Una de las razones por las que la notación de Leibniz ha perdurado tanto tiempo en el cálculo es que facilita recordar las diversas fórmulas utilizadas para la derivación y la integración. Por ejemplo, la fórmula para derivar una función compleja . Sea la función diferenciable con respecto a y sea la función diferenciable con respecto a . La composición de funciones es diferenciable con respecto a y su derivada se puede expresar en notación de Leibniz como [19] $g(x)$ $X$ ${\ estilo de visualización y = f (u)}$ ${\ estilo de visualización u = g (x)}$ ${\ estilo de visualización y (x) = f (g (x))}$ $X$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}

La fórmula se puede generalizar para trabajar con una composición de varias funciones relacionadas definidas de manera apropiada ${\displaystyle u_{1},u_{2},\puntos,u_{n))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}

La fórmula para el cambio de variable en la integral se puede representar mediante la expresión [20] :

\int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,

donde se considera como función de una nueva variable , la función de la izquierda se expresa en términos de y la de la derecha en términos de . $X$ $tu$ $y$ $X$ $tu$

Sea , donde es una función diferenciable invertible , entonces la derivada de la función inversa (si existe) se puede expresar como [21] $y=f(x)$ $F$

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right))),

donde se agregan los corchetes para enfatizar el hecho de que la derivada no es un cociente, sino que la expresión debe considerarse como un todo. Sin embargo, al resolver algunos tipos de ecuaciones diferenciales, se permite operar con diferenciales y por separado . Considere uno de los tipos más simples de ecuaciones diferenciales [22] ${\ estilo de texto {\ frac {dy} {dx}}}$ $dy$ $dx$

M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,

donde y son funciones continuas de sus argumentos. La solución (implícitamente) de tal ecuación se puede obtener examinando la ecuación en su forma diferencial . $METRO$ $norte$

{\ estilo de visualización M (x) \, dx + N (y) \, dy = 0}

Después de la integración, obtenemos

\int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.

Esta técnica para resolver ecuaciones diferenciales se denomina método de separación de variables .

En cada uno de los ejemplos, la notación de Leibniz para la derivada se manifiesta como un cociente, a pesar de que en la interpretación moderna la expresión no se trata como una verdadera división. ${\ estilo de texto {\ frac {dy} {dx}}}$

Justificación moderna para los infinitesimales

En la década de 1960, basándose en los primeros trabajos de Edwin Hewitt y Jerzy Los Abraham Robinson propuso una justificación matemática para los infinitesimales de Leibniz que era aceptable para los estándares de rigor actuales y desarrolló un análisis no estándar basado en estas ideas. El enfoque ganó cierta popularidad, Jerome Keisler basándose en él, escribió un libro de texto para el primer curso "Los comienzos del análisis: el enfoque infinitamente pequeño", pero los métodos de Robinson no se utilizaron ampliamente.

Desde el punto de vista de la teoría moderna de los infinitesimales , es un incremento infinitesimal , es el incremento correspondiente , y la derivada es la parte estándar de la razón infinitesimal: ${\ estilo de visualización {\ Delta} x}$ $X$ ${\Delta }y$ $y$

{\displaystyle f'(x)={\rm {st)){\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x)){\Bigg )))

Luego igualamos , , por lo que por definición es una relación con . $dx=\Deltax$ $dy=f'(x)dx$ $f'(x)$ $dy$ $dx$

Asimismo, aunque la mayoría de los matemáticos entienden la integral:

\int f(x)\,dx

como límite:

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{i}f(x_{i})\,\Delta x

donde es un intervalo que contiene , Leibniz lo vio como la suma (el símbolo integral denotaba suma para él) de un número infinitamente grande de cantidades infinitesimales . Desde el punto de vista del análisis no estándar, es correcto considerar la integral como la parte estándar de tal suma infinita. ${\ estilo de visualización {\ Delta} x}$ $x_{yo}$ ${\ estilo de visualización f (x) dx}$

A cambio, para la precisión del concepto, es necesario extender el conjunto de los números reales al conjunto de los números hiperreales .

Otras designaciones de Leibniz

Leibniz experimentó con muchas notaciones diferentes en varias áreas de las matemáticas. Sintió que la buena notación cumplía un papel fundamental en el estudio de las matemáticas. En una carta a Lopital en 1693, escribe [23] :

Uno de los secretos del análisis es la caracterización, es decir, el arte del uso magistral de los símbolos disponibles, y usted ve, señor, que detrás de las pequeñas barreras [para los determinantes] Vieta y Descartes no vieron todos los secretos

Refinó su criterio de buena notación con el tiempo y entendió el significado de "usar un simbolismo que se puede escribir en una cadena como una letra simple sin tener que ampliar el ancho de las líneas para escribir caracteres con partes espaciosas". [24] Por ejemplo, en sus primeros trabajos a menudo usaba una barra superior para agrupar caracteres, pero luego sugirió usar un par de paréntesis para esto, facilitando así el trabajo de los tipógrafos, quienes ahora ya no necesitan expandir el espacio entre líneas en un página, y las páginas comenzaron a verse más atractivas [25] .

Muchos de los 200 nuevos símbolos introducidos por Leibniz todavía están en uso hoy [26] . Además de las diferenciales y el signo integral ( ), también introdujo dos puntos ( ) para la división, un punto ( ) para la multiplicación, signos geométricos de similitud ( ) y congruencia ( ), el uso del signo igual de Record ( ) para proporciones (en lugar de la notación de Ottred ), y un sufijo doble para determinantes [23] . $dx$ $dy$ $\estilo de texto \int$ ${\ estilo de visualización \ dos puntos}$ $\cdot$ $\sim$ $\cong$ $=$ ${\ estilo de visualización \ dos puntos \ dos puntos}$

Véase también

Notas

↑ Stewart, 2008 .
↑ 1 2 Katz, 1993 , pág. 524.
↑ Katz, 1993 , pág. 529.
↑ Mazur, 2014 , pág. 166.
↑ Cajori, 1993 , p. vol. II 203 nota al pie 4.
↑ Swetz, 2015 .
↑ Stillwell, 1989 , pág. 110.
↑ Leibniz, 2005 , pág. 73–74, 80.
↑ Leibniz, 2008 , pág. 288-295, 321-331.
↑ Aldrich, John. Primeros usos de los símbolos del cálculo . Consultado el 20 de abril de 2017. Archivado desde el original el 1 de mayo de 2015. (indefinido)
↑ 1 2 Cajori, 1993 , p. vol. II 204.
↑ Leibniz, 2008 , pág. 321–331, 328.
↑ Cajori, 1993 , p. vol. II 186.
↑ Jordan, Smith, 2002 , pág. 58.
↑ Cajori, 1993 , p. vol. II 262.
↑ 1 2 Briggs, Cochran, 2010 , pág. 141.
↑ Swokowski, 1983 , pág. 135.
↑ Cajori, 1993 , p. vol. II 204-205.
↑ Briggs, Cochran, 2010 , pág. 176.
↑ Swokowski, 1983 , pág. 257.
↑ Swokowski, 1983 , pág. 369.
↑ Swokowski, 1983 , pág. 895.
↑ 1 2 Cajori, 1993 , p. vol. II 185.
↑ Cajori, 1993 , p. vol. II 184.
↑ Mazur, 2014 , pág. 167-168.
↑ Mazur, 2014 , pág. 167.

Literatura

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