Notación de análisis

La notación de análisis es un sistema de notación matemática utilizado en el análisis matemático , con diferentes escuelas de matemáticas que utilizan diferentes notaciones para la derivada de funciones o variables . El uso de una u otra notación depende del contexto, y una designación puede ser más conveniente que otras en un caso particular. La notación más utilizada es Leibniz , Lagrange , Euler , Newton Las notaciones también se utilizan ampliamente .

Notación de Leibniz

La notación original, utilizada por Gottfried Wilhelm Leibniz , es utilizada en todo momento por los matemáticos. Es especialmente útil cuando la expresión se considera como una relación funcional entre las variables y . La notación de Leibniz hace explícita esta conexión al escribir la derivada como $y=f(x)$ $y$ $X$

{\frac{dy}{dx}}.

La función cuyo valor en x es la derivada de f con respecto a x se escribe entonces

{\frac {df}{dx}}(x){\text{ o }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ o }}{\frac {d}{ dx}}f(x).

Las derivadas de orden superior se escriben como

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{ 4}y}{dx^{4}}},\ldots,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.

Es como la manipulación formal del personaje.

{\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2} y={\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}.

En general, estas igualdades no son teoremas . Además, son solo definiciones de notación. Además, aplicando la regla para calcular la derivada de una fracción a la notación anterior usando dd, que no debe confundirse con d 2 , da

{\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {ddy}{dx^{2}}}-{\frac {dy {dx}}{\frac {ddx}{dx^{2}}}.

El valor de la derivada de y en un punto se puede expresar usando la notación de Leibniz de dos maneras: $x=a$

\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ o }}{\frac {dy}{dx}}(a)

La notación de Leibniz permite especificar la variable con respecto a la cual se realiza la diferenciación (en el denominador). Esto es especialmente útil cuando se consideran derivadas parciales . También facilita recordar y reconocer la regla de diferenciación de funciones compuestas :

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.

La notación de Leibniz para la diferenciación no requiere dar un significado especial a símbolos como o y algunos autores no intentan dar ningún significado a estos símbolos. Leibniz interpretó estos símbolos como cantidades infinitesimales . Autores posteriores les dieron otros significados, como infinitesimales en análisis no estándar , o derivados exteriores . $dx$ $dy$

Algunos autores y revistas utilizan el símbolo de diferenciación literal d en lugar de cursiva , es decir, d x . El estándar ISO/IEC 80000 recomienda este estilo.

Notación de Leibniz para la antiderivada

Para funciones de 2 o más variables, consulte Integral múltiple

Leibniz introdujo el signo integral en Analyseos tetragonisticae pars secunda y Methodi tangentium inversae exempla (ambos de 1675). El signo se ha convertido en el símbolo estándar para la integración . $\En t$

{\begin{alineado}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\\int y\ ,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)+C_{1}\\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right) dx=\int _{X\times X}f(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\underbrace {\int \dots \int } _ {\!\!n}y\,\underbrace {dx\dots dx} _ {n}&=\int_{\underbrace {X\times \cdots \times X}_{n}}f(x) \,dx=\int s(x)\,dx=S(x)+C_{n}\end{alineado}}

Notación de Lagrange

Una de las notaciones de diferenciación más comunes lleva el nombre de Joseph Louis Lagrange , aunque Euler en realidad la introdujo , y Lagrange simplemente hizo popular la notación. En la notación de Lagrange, la prima significa la derivada. Si f es una función, entonces su derivada de x se escribe como

f'(x)

La notación apareció impresa en 1749 [1] .

Las derivadas de orden superior se muestran con signos adicionales, para la segunda derivada y para la tercera derivada . El uso de múltiples trazos tarde o temprano conduce a expresiones engorrosas. Algunos autores continúan usando números romanos , generalmente en minúsculas [2] [3] como se muestra a continuación $f''(x)$ ${\ estilo de visualización f'''(x)}$

f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots,

para denotar las derivadas cuarta, quinta, sexta y superiores. Otros autores usan números arábigos entre paréntesis como se muestra a continuación

f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .

Esta notación hace posible escribir la n-ésima derivada, donde n es una variable. se hace así

{\ estilo de visualización f ^ {(n)} (x).}

Caracteres Unicode para la notación de Lagrange:

U+2032 ◌′ carrera (derivada)
U+2033 ◌″ doble prima (segunda derivada)
U+2034 ◌‴ triple primo (tercera derivada)
U+2057 ◌⁗ cuádruple primo (cuarta derivada)

Si hay dos variables independientes para la función f ( x , y ), se pueden seguir las siguientes convenciones [4] :

{\begin{alineado}f^{\prime }&={\frac {df}{dx}}=f_{x}\\f_{\prime }&={\frac {df}{dy} }=f_{y}\\f^{\prime \prime }&={\frac {d^{2}f}{dx^{2))}=f_{xx}\\f_{\prime }^ {\prime }&={\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x\parcial y))\ =f_{xy}\\f_{\prime \prime }&={\frac {d^ {2}f}{dy^{2}}}=f_{yy}\end{alineado}}

Notación de Lagrange para la antiderivada

Para denotar la antiderivada, Lagrange siguió la notación de Leibniz [5] :

f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y\,dx.

Sin embargo, dado que la integración es lo contrario de tomar una derivada, la notación de Lagrange para derivadas de grandes potencias se extiende también a la integración. Las integrales múltiples de f se pueden escribir como

{\ estilo de visualización f ^ {(-1)} (x)}

para la integral ordinaria (que no debe confundirse con la función inversa ),

{\ estilo de visualización f ^ {-1} (x)}

{\ estilo de visualización f ^ {(-2)} (x)}

para la integral doble,

{\ estilo de visualización f ^ {(-3)} (x)}

para la integral triple

{\ estilo de visualización f ^ {(-n)} (x)}

para una integral de n veces.

Notación de Euler

La notación de Euler utiliza el operador diferencial propuesto por Louis-Francois-Antoine Arbogast , que tiene la notación ( D-operator ) [6] o ( operador de Newton-Leibniz ) [7] . Cuando se aplica a una función , el operador se define como $D$ ${\tilde {D}}$ $f(x)$

(Df)(x)={\frac {df(x)}{dx)).

Los derivados de orden superior se denotan como "potencias" del operador D (donde el índice denota la multiplicidad del operador D ) [4]

D^{2}f

para la segunda derivada,

D^{3}f

por la tercera derivada

{\ estilo de visualización D ^ {n} f}

para la n-ésima derivada.

La notación de Euler no indica explícitamente la variable con respecto a la cual se realiza la diferenciación. Sin embargo, esta variable también se puede especificar explícitamente. Si f es una función de una variable x , esto se puede expresar escribiendo [4]

{\ estilo de visualización D_ {x} f}

para la primera derivada,

D_{x}^{2}f

para la segunda derivada,

D_{x}^{3}f

por la tercera derivada

D_{x}^{n}f

para la n-ésima derivada.

Si f es una función de varias variables, es común usar " ∂ " en lugar de D. Como arriba, el subíndice significa la variable con respecto a la cual se lleva a cabo la diferenciación. Por ejemplo, las segundas derivadas parciales de una función f ( x , y ) se denotan como [4] :

\parcial _{xx}f={\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x^{2))},

\parcial _{xy}f={\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial y\parcial x)),

\parcial _{yx}f={\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x\parcial y)),

\parcial _{yy}f={\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial y^{2))}.

Ver § Derivadas parciales .

La notación de Euler es útil para formular y resolver ecuaciones diferenciales lineales , ya que simplifica la representación de las ecuaciones diferenciales, permitiendo ver más fácilmente los elementos esenciales del problema.

Notación de Euler para la antiderivada

La notación de Euler se puede usar para la antiderivada de la misma manera que la notación de Lagrange [8] de la siguiente manera [7]

D^{-1}f(x)

para el primer primitivo,

D^{-2}f(x)

para la segunda primitiva

D^{-n}f(x)

para la n-ésima antiderivada.

Notación de Newton

La notación de Newton para diferenciación coloca un punto sobre la variable dependiente. Es decir, si y es una función de t , entonces la derivada de y con respecto a t es

{\punto {y}}}

Los derivados de orden superior están representados por múltiples puntos como se muestra a continuación

{\ddot {y}},{\overset {...}{y}}

Newton difundió ampliamente esta idea [9] :

{\begin{alineado}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\ izquierda({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr)}={\frac {d} {dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\{\overset { ...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3 }y=f'''(t)=y'''_{t}\\{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y }}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\ rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...} {y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y} {dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\{\overset {\, 6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{ 6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\{\overset {\,7}{\ punto {y}}}&={\punto {\overset {...}{\overset {...}{y))))\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{ 7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\{\overset {\,10}{\ punto {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}  \equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^ {(10)}\\{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t} ^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{alineado}}

Caracteres Unicode para la notación de Newton:

U+0307 ◌̇ punto superior (derivada)
U+0308 ◌̈ dos puntos desde arriba (segunda derivada)
U+20DB ◌⃛ tres puntos desde arriba (tercera derivada).
U+20DC ◌⃜ cuatro puntos desde arriba (cuarta derivada).
U+030D ◌̍ carrera superior (integral)
U+030E ◌̎ dos golpes arriba (integral doble)
U+25AD ▭ rectángulo blanco (integral)
U+20DE ◌⃞ ambiente cuadrado (integral)
U+1DE0 ◌ᷠ ( n-ésima derivada)

La notación de Newton se usa principalmente cuando el tiempo es la variable independiente . Si la posición y es una función del tiempo t , entonces denota velocidad [10] y denota aceleración [11] . Esta notación es popular en física y física matemática . También aparece en campos matemáticos relacionados con la física como las ecuaciones diferenciales . La notación es popular solo para las derivadas primera y segunda, pero en estas aplicaciones no se requieren derivadas de orden superior. ${\punto {y}}}$ ${\ddot {y))$

Cuando se toma la derivada de la variable dependiente , existe una notación alternativa [12] : $y=f(x)$

{\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}: {\frac {dx}{dt))={\frac {\frac {dy}{dt)){\frac {dx}{dt))}={\frac {dy}{dx))={\frac {d}{dx)){\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.

Newton desarrolló los siguientes operadores de derivadas parciales basados en el punto del lado de la curva X (ⵋ). Las definiciones dadas por Whiteside son las siguientes [13] [14] :

{\begin{alineado}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\ f parcial}{\x parcial}}=xf_{x}\,,\\{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\f parcial}{\y parcial}}= yf_{y}\,,\\\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ o }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right) \ &=\ x^{2}{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x^{2))}=x^{2}f_{xx}\,,\\{\mathcal { X}}\colon \,{\text{ o }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\parcial ^{2}f}{\y parcial^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy {\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x\parcial y))=xyf_{xy}\,,\end{alineado))

Notación de Newton para la integración

Newton desarrolló muchas notaciones diferentes para la integración en Quadratura curvarum (1704) y más tarde —escribió una pequeña barra vertical o un guión sobre una variable dependiente ( ), un recuadro delante de una variable ( ) o un recuadro ( y ) para indicar cambio o integral de tiempo. ${\overset {\,\prime}{y))$ ${\Box }y$

{\begin{alineado}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t} ^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y))&=\ Caja y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{alineado}}

Para denotar integrales múltiples, Newton usó pequeños guiones verticales ( ) o una combinación de símbolos de letras previas para denotar una integral doble a lo largo del tiempo. ${\overset {\,\prime \prime}{y))$ ${\Box }{\overset {\,\prime }{y))$ ${\overset {\,\prime}{y))$

{\overset {\,\prime \prime}{y))=\Box {\overset {\,\prime {y))\equiv \int {\overset {\,\prime}{y} }\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}

Las integrales más altas a lo largo del tiempo fueron las siguientes [15] :

{\begin{alineado}{\overset {\,\prime \prime \prime {y))&=\Box {\overset {\,\prime \prime}}{y))\equiv \int { \overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\ {\overset {\,\prime \prime \prime \prime {y))&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime {y))\equiv \int {\overset {\, \prime \prime \prime {y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y))}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y))}\equiv \ int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y))}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y= S(t)+C_{n}\end{alineado}}

Estas notaciones matemáticas no se generalizaron debido a la dificultad de impresión y la disputa de Newton y Leibniz sobre la precedencia .

Derivadas parciales

Cuando se requieren tipos de diferenciación más específicos, como en el análisis de funciones de muchas variables o el análisis de tensores , se usan comúnmente otras notaciones.

Dada una función f de la variable independiente x , podemos expresar la derivada usando el índice como variable independiente:

{\begin{alineado}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2} }}.\end{alineado}}

Este tipo de notación es especialmente útil para denotar las derivadas parciales de una función de muchas variables.

Las derivadas parciales generalmente se distinguen de las derivadas ordinarias reemplazando el operador de diferenciación d con el símbolo " ∂ ". Por ejemplo, podemos expresar la derivada parcial con respecto a x pero no con respecto a y o z de varias formas: $f(x,y,z)$

{\frac {\parcial f}{\parcial x}}=f_{x}=\parcial _{x}f.

Lo que hace que esta diferencia en la notación sea importante es que una derivada simple (no un cociente) como puede , según el contexto, interpretarse como la tasa de cambio a partir de la cual todas las demás variables pueden cambiar al mismo tiempo, mientras que para una derivada del cociente , como , solo puede cambiar una variable. ${\ estilo de visualización \ estilo de texto {\ frac {df} {dx}}}$ $F$ $X$ $\textstyle {\frac {\f parcial}{\x parcial))$

Se pueden encontrar otras notaciones en varios subcampos de las matemáticas, la física y la ingeniería. Véase, por ejemplo, las relaciones de la termodinámica de Maxwell . El símbolo es la derivada de la temperatura T con respecto al volumen V manteniendo constante la entropía (índice) S , mientras que es la derivada de la temperatura con respecto al volumen manteniendo constante la presión P. Esto se vuelve necesario en situaciones donde el número de variables excede el número de grados de libertad, por lo que uno tiene que elegir qué variables mantener constantes. ${\displaystyle \left({\frac {\parcial T}{\parcial V))\right)_{\!S))$ ${\displaystyle \left({\frac {\parcial T}{\parcial V))\right)_{\!P))$

Las derivadas parciales superiores con respecto a una variable se expresan como

{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x^{2))}=f_{xx},

{\frac {\parcial ^{3}f}{\parcial x^{3))}=f_{xxx},

y así. Las derivadas parciales mixtas se pueden expresar como

{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial y\parcial x))=f_{xy}.

En este último caso, las variables se escriben en orden inverso para las dos notaciones:

{\ estilo de visualización (f_{x})_{y}=f_{xy},}

{\frac {\parcial }{\parcial y))\!\left({\frac {\parcial f}{\parcial x))\right)={\frac {\parcial ^{2}f {\parcial y\parcial x)).

El llamado índice múltiple se utiliza en situaciones en las que la notación anterior se vuelve engorrosa o no es lo suficientemente expresiva. Si consideramos funciones sobre , definimos un índice múltiple como una lista ordenada de enteros no negativos: . Definamos ahora la notación $\mathbb{R} ^{n}$ $norte$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},..,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0))$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to X$

$\parcial ^{\alpha }f={\frac {\parcial ^{\alpha _{1)}}{\parcial x_{1}^{\alpha _{1})))\cdots {\ frac {\parcial ^{\alpha _{n))}{\parcial x_{n}^{\alpha _{n))))f$

Con esta definición, algunos resultados (como la fórmula de Leibniz ), que de otro modo serían difíciles de escribir, se pueden expresar de manera concisa. Se pueden encontrar algunos ejemplos en el artículo de índice múltiple [16] .

Notación en análisis vectorial

El análisis vectorial se ocupa de tomar la derivada e integrar un campo vectorial o escalar . Para el caso de un espacio euclidiano tridimensional , se utilizan comúnmente algunas notaciones.

Supongamos que es un sistema de coordenadas cartesianas dado , A es un campo vectorial con componentes y es un campo escalar . $(x, y, z)$ $\mathbf {A} =(\mathbf {A}_{x},\mathbf {A}_{y},\mathbf {A}_{z})$ $\varphi =\varphi(x,y,z)$

El operador de diferenciación introducido por William Rowan Hamilton , escrito como y llamado nabla , se define simbólicamente como un vector, $\nabla$

\nabla =\left({\frac {\parcial }{\parcial x)),{\frac {\parcial }{\parcial y)),{\frac {\parcial }{\parcial z)) \Correcto)\!,

Aquí la expresión "en forma simbólica" refleja el hecho de que el operador puede tratarse como un vector ordinario. $\nabla$

Gradiente : El gradientecampo escalares un vector que simbólicamente se escribe como multiplicación por un campo escalar, $\mathrm {graduación\,} \varphi$ $\varphi$ $\nabla$ $\varphi$

{\begin{alineado}\operatorname {graduado} \varphi &=\left({\frac {\parcial \varphi }{\parcial x)),{\frac {\parcial \varphi }{\parcial y )),{\frac {\parcial \varphi }{\parcial z))\right)\\&=\left({\frac {\parcial }{\parcial x)),{\frac {\parcial }{ \parcial y)),{\frac {\parcial}{\parcial z))\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{alineado))

Divergencia : La divergenciade un campo vectorial A es un escalar, que se expresa simbólicamente como el producto escalar y el vector A , $\mathrm {div} \,\mathbf {A}$ $\nabla$

{\begin{alineado}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\parcial A_{x} \sobre \parcial x}+{\parcial A_{y} \sobre \parcial y}+{ \parcial A_{z} \sobre \parcial z}\\&=\left({\frac {\parcial }{\parcial x)),{\frac {\parcial }{\parcial y)),{\frac {\parcial }{\parcial z))\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{alineado))

Operador de Laplace : el laplacianocampo escalares un escalar, que se expresa simbólicamente como multiplicación escalarpor un campo escalar, ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {div} \ nombre del operador {grado} \ varphi}$ $\varphi$ $\ nabla ^ {2}$ $\varphi$

{\begin{alineado}\operatorname {div} \operatorname {graduado} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\& =\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{alineado}}

Rotación : La rotación, o, de un campo vectorial A es un vector que se expresa simbólicamente como un producto vectorial y un vector A , $\mathrm {rot} \,\mathbf {A}$ $\mathrm {rot} \,\mathbf {A}$ $\nabla$

{\begin{alineado}\operatorname {rot} \mathbf {A} &=\left({\parcial A_{z} \over {\parcial y))-{\parcial A_{y} \over { \parcial z)),{\parcial A_{x} \over {\parcial z))-{\parcial A_{z} \over {\parcial x)),{\parcial A_{y} \over {\parcial x}}-{\parcial A_{x} \over {\parcial y}}\right)\\&=\left({\parcial A_{z} \over {\parcial y}}-{\parcial A_{ y} \over {\parcial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\parcial A_{x} \over {\parcial z}}-{\parcial A_{z} \over {\parcial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\parcial A_{y} \over {\parcial x}}-{\parcial A_{x} \over {\parcial y}}\right)\ mathbf {k} \\&={\begin{vmatriz}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\parcial }{\parcial x))&{\cfrac {\parcial}{\parcial y))&{\cfrac {\parcial}{\parcial z))\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix))\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{alineado}}

Muchas operaciones de derivadas simbólicas se pueden generalizar de forma sencilla utilizando el operador gradiente en coordenadas cartesianas. Por ejemplo, la regla del producto para una variable tiene una contrapartida directa en el producto de campos escalares aplicando el operador de gradiente

(fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).

Muchas otras reglas del análisis de una sola variable tienen equivalentes en el análisis vectorial para gradiente, divergencia, rotación y laplaciano.

Además, la notación evolucionó para tipos de espacios más exóticos. Para los cálculos en el espacio de Minkowski , el operador d'Alembert , también llamado d'Alembertiano u operador de onda, se escribe como o como a menos que haya un conflicto con el símbolo laplaciano. $\Caja$ $\Delta$

Véase también

Notas

↑ Nova acta eruditorum : anno ... publicata, ... Año 1749. - Vista completa | Biblioteca digital HathiTrust . Consultado el 30 de octubre de 2021. Archivado desde el original el 28 de octubre de 2021. (indefinido)
↑ Morris, Stark, 2015 .
↑ Osborne, 1908 , pág. 63-65.
↑ 1 2 3 4 De Morgan, 1842 , pág. 267-268.
↑ Lagrange , Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries (1770), p. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031
↑ El operador D - Diferencial - Cálculo - Referencia matemática con ejemplos resueltos . www.codecogs.com . Archivado desde el original el 19 de enero de 2016. (indefinido)
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. "Operador diferencial". De MathWorld : un recurso web de Wolfram. Copia archivada . Fecha de acceso: 7 de febrero de 2016. Archivado desde el original el 21 de enero de 2016. (indefinido)
↑ Weisstein, Eric W. "Integral repetida". De MathWorld : un recurso web de Wolfram. Copia archivada . Fecha de acceso: 7 de febrero de 2016. Archivado desde el original el 1 de febrero de 2016. (indefinido)
↑
Notación de Newton tomada de:
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- Derivadas 1ª-7ª, nª y ( n +1)ª: Method of Fluxions ( Newton , 1736), pp. 313-318 y p. 265 (p. 163 en MS original: copia archivada . Consultado el 5 de febrero de 2016. Archivado desde el original el 6 de abril de 2017 ). (indefinido)
- Derivadas 1 a 5: Tratado de fluxiones (Colin MacLaurin, 1742), p. 613
- Derivadas 1.ª - 4.ª y n.ª : entradas "Diferencial" y "Fluxión" en el Diccionario de matemáticas puras y mixtas (Peter Barlow, 1814)
- Derivadas 1ª - 4ª, 10ª y nª : artículos 622, 580 y 579 en Historia de las notaciones matemáticas (F. Cajori, 1929)
- Derivadas 1.ª - 6.ª y n.ª : The Mathematical Papers of Isaac Newton vol. 7 1691-1695 (DT Whiteside, 1976), págs. 88 y 17
- Derivadas 1ª - 3ª y nª : Una historia del análisis (Hans Niels Jahnke, 2000), pp. 84-85
Se puede omitir el punto de la n-ésima derivada ( ) ${\overset {\,n}{y))$
↑ Weisstein, Eric W. "Overdot". De MathWorld : un recurso web de Wolfram. Copia archivada . Consultado el 5 de febrero de 2016. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2015. (indefinido)
↑ Weisstein, Eric W. "Doble punto". De MathWorld : un recurso web de Wolfram. Copia archivada . Fecha de acceso: 5 de febrero de 2016. Archivado desde el original el 3 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ Cajorí, 1929 .
↑ Whiteside, 1961 , pág. 361-362.378.
↑ S. I. Engelsman dio definiciones más rigurosas Engelsman (2000 , p. 223-226)
↑
La notación de Newton para la integración se toma de:
- 1ra - 3ra integrales: Quadratura curvarum ( Newton , 1704), p. 7 (p. 5r en el manuscrito original: copia archivada . Consultado el 5 de febrero de 2016. Archivado desde el original el 28 de febrero de 2016 (indefinido) ).
- 1ra - 3ra integrales: Método de fluxiones ( Newton , 1736), págs. 265-266 (pág. 163 en el manuscrito original: copia archivada . Consultado el 5 de febrero de 2016. Archivado desde el original el 6 de abril de 2017 (indefinido) ).
- 4ª integral: The Doctrine of Fluxions (James Hodgson, 1736), pp. 54 y 72
- Integrales 1ª y 2ª: artículos 622 y 365 en Historia de las notaciones matemáticas (F. Cajori, 1929)
La notación integral múltiple n-ésima se deriva de la n-ésima derivada. Es posible que se haya utilizado en Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Brook Taylor, 1715)
↑ martes, 2011 .

Literatura

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Enlace

Primeros usos de los símbolos del cálculo , mantenido por Jeff Miller ( archivado el 6 de julio de 2020 ).