Función cero

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El cero de una función en matemáticas es un elemento del dominio de una función , en el que toma un valor cero. Por ejemplo, para una función dada por la fórmula $F$

f(x)=x^{2}-6x+9\,.

$x=3$ es cero porque

f(3)=3^{2}-6\cdot 3+9=0

El concepto de ceros de una función se puede considerar para cualquier función cuyo rango contenga cero o un elemento cero de la estructura algebraica correspondiente .

Para una función de una variable real, los ceros son los valores en los que la gráfica de la función se cruza con el eje x . $f:\mathbb {R} \a \mathbb {R}$

Encontrar los ceros de una función a menudo requiere el uso de métodos numéricos (por ejemplo, método de Newton , métodos de gradiente ).

Uno de los problemas matemáticos no resueltos es encontrar los ceros de la función zeta de Riemann .

Raíz de polinomio

Teorema fundamental del álgebra

El Teorema Fundamental del Álgebra establece que todo polinomio de grado n tiene n raíces complejas , dada su multiplicidad. La ecuación cúbica, como se muestra arriba, siempre tiene tres raíces complejas, teniendo en cuenta la multiplicidad. Todas las raíces imaginarias de un polinomio, si las hay, siempre se incluyen en pares conjugados solo si todos los coeficientes del polinomio son reales. Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. La conexión entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes se establece mediante el teorema de Vieta .

Análisis complejo

Un cero simple de una función holomorfa en algún dominio es un punto en alguna vecindad de la cual se cumple la representación , donde es holomorfa en y no se anula en ese punto. $G\subconjunto \mathbb {C}$ $F$ $z_{0}\en G$ $f(z)=(z-z_{0})g(z)$ $gramo$ $z_{0}$

El orden cero de $k$ una función holomorfa en algún dominio es un punto en alguna vecindad de la cual se cumple la representación , donde es holomorfa en y no se anula en ese punto. $G\subconjunto \mathbb {C}$ $F$ $z_{0}\en G$ $f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z)$ $gramo$ $z_{0}$

Ceros de una función holomorfa aislada .

Otras propiedades específicas de los ceros de funciones complejas se expresan en varios teoremas:

Historia

Ecuaciones cúbicas

Históricamente, el concepto de números imaginarios se desarrolló resolviendo ecuaciones de tercer grado con tres raíces reales diferentes. Según la fórmula de Cardano, las tres raíces de la ecuación son iguales $X$ $x^{3}+kx+l=0$

$\left({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C+{\frac {-k}{3}}\left[\left ({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C\right]^{-1},$

donde (en lugar de más o menos, caben ambos signos, a menos que C vaya a 0), y son todas posibles raíces complejas de 3er grado a partir de 1 , a saber , $C^{3}={\tfrac {-l}{2}}\pm {\sqrt ({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3} {27}}}}$ ${\ estilo de visualización n \ en \ {0,1,2 \},}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}$ $una$ ${\tfrac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}.$

Si el número debajo de la raíz cuadrada es menor que cero, y k y l son reales, entonces y son números conjugados no reales , lo que significa que cuando se suman, se obtendrán tres raíces reales diferentes de la ecuación cúbica. ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\right)^{-1}$
Si es igual a cero, entonces la ecuación cúbica tiene una raíz triple o dos raíces diferentes, una de las cuales es doble. ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$
Si es mayor que cero, y k y l son reales, entonces uno de los números es real , sin embargo, ya no son conjugados: tienen diferentes módulos , - y como resultado, la ecuación cúbica tiene una sola raíz real , y la otros dos no . _ ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\right)^{-1}$

$-108({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}})$ - este es el discriminante de la ecuación , cuyo signo solo determina la realidad y la multiplicidad de las raíces. $x^{3}+kx+l=0,$

A primera vista, los párrafos 1 y 3 presentan casos paradójicos. Esta rareza fue resuelta y fundamentada por Rafael Bombelli y le permitió legalizar por completo los números imaginarios, así como los números negativos que no estaban reconocidos en Europa antes que él.

Literatura

Función cero : artículo de la Gran Enciclopedia Soviética .
Weisstein, Eric W. Root (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .