El reino de los ideales principales
El dominio de los ideales principales es el dominio de la integridad , en el cual cualquier ideal es principal . Un concepto más general es el de anillo de ideales principales , del que no se exige integridad (sin embargo, algunos autores, como Bourbaki , se refieren al anillo de ideales principales como anillo integral).
Los elementos de un anillo ideal principal son, en cierto modo, como números : para cualquier elemento hay una descomposición en factores primos única, para dos elementos cualesquiera hay un máximo común divisor .
Los dominios ideales principales se pueden indicar en la siguiente cadena de inclusiones:
Anillos conmutativos ⊃ Dominios de integridad ⊃ Anillos factoriales ⊃ Dominios ideales principales ⊃ Anillos euclidianos ⊃ CamposAdemás, todos los dominios de los ideales principales son anillos de Noether y Dedekind .
Ejemplos
- anillo de enteros
- El anillo de polinomios sobre el campo k - k[x] , así como el anillo de series de potencias formales
- Z [ i ] es el anillo de enteros gaussianos
- Eisenstein anillo de enteros
Ejemplos de anillos integrales que no son anillos ideales principales:
- Z [ x ] es un anillo polinomial con coeficientes enteros (el ideal (2, x) no puede ser generado por un solo polinomio)
- Anillo de polinomio en dos variables k[x, y] (ideal (x, y) no es principal)
Módulos
El principal resultado aquí es el siguiente teorema: si R es un dominio de ideales principales y M es un módulo finitamente generado sobre R , entonces M se descompone en una suma directa de módulos cíclicos, es decir, módulos generados por un solo elemento. Dado que existe un homomorfismo sobreyectivo de R a un módulo cíclico sobre él (enviando una unidad al generador), por el teorema del homomorfismo cualquier módulo cíclico tiene la forma de algún .
En particular, cualquier submódulo de un módulo libre sobre un dominio ideal principal es libre. Esto no es cierto para anillos arbitrarios, como contraejemplo se puede dar -module embedding .
![{\ estilo de visualización \ mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a538d203a057d4c604f799c28e9a7be410fdcac)
![{\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be8fb440b3ba1d061407ab402fc6f2d4a51cbca)
Véase también
Literatura
- Zarissky O., Samuel P. Álgebra conmutativa vols.1-2. - M: IL, 1963
- Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, VV Kirichenko . Álgebras, anillos y módulos . Editores académicos de Kluwer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
- Nathan Jacobson . Álgebra básica I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1